七下代數重點概念匯總

陳妹

一、 冪的運算

本章核心內容是冪的運算性質，運用冪的運算性質進行運算是一般到特殊的過程，學生要能正確進行計算，能“以理馭算”，為后續整式乘法的學習做鋪墊.

【內容】對于任意底數a，b，當m，n為正整數時，有

am·an=am+n（同底數冪相乘，底數不變，指數相加）

（am）n=amn（冪的乘方，底數不變，指數相乘）

（ab）n=anan（積的乘方，把積的每一個因式乘方，再把所得的冪相乘）

am÷an=am-n（同底數冪相除，底數不變，指數相減）

a0=1（a≠0）（任何不等于0的數的0次冪等于1）

a-n=1/an（a≠0）（任何不等于0 的數的-n次冪等于這個數的n次冪的倒數）

【舉例】教材第1節中，計算“地球與太陽之間的距離”；第2節中，解決“100個104相乘黑板上寫不下”的問題；第3節中“我國人均水資源量”的問題，通過這些問題引導學生感受生活中處處有數學，幫助學生更好地感受數學的本質.

二、 整式乘法與因式分解

本章核心內容為整式乘法與因式分解，其中整式乘法中包含：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式的基本法則及完全平方公式和平方差公式的運用.

【內容】1. 單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.如： ac5bc2=（a·b）·（c5·c2）=abc5+2

=abc7.

2. 單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，書中用不同方法計算長（b+c+d）、寬a的長方形的面積得到a（b+c+d）=ab+ac+ad.

【說明】計算過程中要不重不漏，按照順序，注意常數項、負號，理解單項式與多項式相乘的本質是乘法分配律.

3. 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相乘，例如：（a+b）（m+n）=am+an+

bm+bn.

4. 乘法公式：

（1） 平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

字母表示：（a+b）（a-b）=a2-b2.

（2） 完全平方公式：兩數和[或差]的平方，等于它們的平方和加[或減]它們積的2倍.

（a±b）2=a2±2ab+b2.

5. 因式分解：把一個多項式化成幾個整式積的形式，也叫作把這個多項式分解因式.

【解讀】

（1） 提公因式法. 關鍵：找出公因式.

公因式三部分：①系數（數字）——各項系數最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數.步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

【說明】注意：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的.

（2） 公式法.①a2-b2=（a+b）（a-b），其中 a、b可以是數也可是式子；②a2±2ab+b2=（a±b）2.

因式分解三要素：（1） 分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式；（2） 因式分解必須是恒等變形；（3） 因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

三、 二元一次方程組

本章核心概念有：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解.概念簡單，但方程是中學數學的一項重要內容，也是解決問題的重要工具，因此熟練掌握二元一次方程組尤為重要.

【內容】1. 含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫作二元一次方程.

【解讀】既要看原始形式，又要看它的最終形式.

【舉例】x+y-1=2x.

2. 含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的方程組叫作二元一次方程組.

3. 二元一次方程組中兩個方程的公共解叫作二元一次方程組的解.

4. （1） 代入消元法：把二元一次方程中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法.

（2） 加減消元法：當方程組中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法.

四、 一元一次不等式

本章核心概念有：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式、不等式的性質，生活中處處都有量與量之間的不等關系，不等式是刻畫現實世界不等關系的有效模型.

【內容】

知識點一：不等式的概念

1. 不等式：

用“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）等不等號表示大小關系的式子，叫作不等式.用“≠”表示不等關系的式子也是不等式.

【解讀】（1） 不等號的類型：

① “≠”讀作“不等于”，它說明兩個量之間的關系是不等的，但不能明確兩個量哪個大哪個小；

（2） 要正確用不等式表示兩個量的不等關系，就要正確理解“非負數”、“非正數”、“不大于”、“不小于”等數學術語的含義.

2. 不等式的解：

能使不等式成立的未知數的值，叫作不等式的解.

【解讀】由不等式的解的定義可以知道，當對不等式中的未知數取一個數，若該數使不等式成立，則這個數就是不等式的一個解，我們可以和方程的解進行對比理解，一般地，要判斷一個數是否為不等式的解，可將此數代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進行判斷.

3. 不等式的解集：

一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫作解不等式.如：不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集與不等式的解的區別：解集是能使不等式成立的未知數的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知數的值.二者的關系是：解集包括解，所有的解組成了解集.

【解讀】不等式的解集必須符合兩個條件：

（1） 解集中的每一個數值都能使不等式成立；

（2） 能夠使不等式成立的所有的數值都在解集中.

知識點二：不等式的基本性質

基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；

符號語言表示為：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；

基本性質2：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

符號語言表示為：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc（或>）；

基本性質3：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

符號語言表示為：如果a>b，并且c<0，那么ac

【解讀】（1） 不等式的基本性質1的學習與等式的性質的學習類似，可對比等式的性質掌握；

（2） 要理解不等式的基本性質1中的“同一個整式”的含義不僅包括相同的數，還有相同的單項式或多項式；

（3） “不等號的方向不變”，指的是如果原來是“>”，那么變化后仍是“>”；如果原來是“≤”，那么變化后仍是“≤”；“不等號的方向改變”指的是如果原來是“>”，那么變化后將成為“<”；如果原來是“≤”，那么變化后將成為“≥”；

（4） 運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質3，在乘（除）同一個數時，必須先弄清這個數是正數還是負數，如果是負數，要記住不等號的方向一定要改變.

知識點三：一元一次不等式的概念

只含有一個未知數，且含未知數的式子都是整式，未知數的次數是1，系數不為0.這樣的不等式，叫作一元一次不等式.

【解讀】（1） 一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解：

①左右兩邊都是整式（單項式或多項式），②只含有一個未知數，③未知數的最高次數為1；

（2） 一元一次不等式和一元一次方程可以對比理解.

相同點：二者都是只含有一個未知數，未知數的最高次數都是1，左右兩邊都是整式；

不同點：一元一次不等式表示不等關系（用“>”“<”“≥”“≤”連接），一元一次方程表示相等關系（用“=”連接） .

知識點四：一元一次不等式的解法

1. 解不等式：

求不等式解的過程叫作解不等式.

2. 一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據是不等式的基本性質，解一元一次不等式的一般步驟為：（1） 去分母；（2） 去括號；（3） 移項；（4） 合并同類項；（5） 系數化為1.

【解讀】（1） 在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據具體問題靈活運用.

（2） 解不等式應注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數，尤其不要漏乘常數項；②移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數時，不等號的方向要改變.

3. 不等式的解集在數軸上表示：

在數軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助.

【解讀】在用數軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

（1） 邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左.

【說明】1. 不等式的基本性質是解不等式的主要依據（性質2、3要倍加小心）.

2. 檢驗一個數值是不是已知不等式的解，只要把這個數代入不等式，然后判斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立，則就不是不等式的解.

3. 解一元一次不等式是一個有目的、有根據、有步驟的不等式變形，最終目的是將原不等式變為x>a或x

4. 將一元一次不等式的解集在數軸上表示出來，是數學中數形結合思想的重要體現，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.

5. 用一元一次不等式解答實際問題，關鍵在于尋找問題中的不等關系，從而列出不等式并求出不等式的解集，最后解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）