七下代數(shù)重點概念匯總

陳妹

一、 冪的運算

本章核心內容是冪的運算性質，運用冪的運算性質進行運算是一般到特殊的過程，學生要能正確進行計算，能“以理馭算”，為后續(xù)整式乘法的學習做鋪墊.

【內容】對于任意底數(shù)a，b，當m，n為正整數(shù)時，有

am·an=am+n（同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加）

（am）n=amn（冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘）

（ab）n=anan（積的乘方，把積的每一個因式乘方，再把所得的冪相乘）

am÷an=am-n（同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減）

a0=1（a≠0）（任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1）

a-n=1/an（a≠0）（任何不等于0 的數(shù)的-n次冪等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù)）

【舉例】教材第1節(jié)中，計算“地球與太陽之間的距離”；第2節(jié)中，解決“100個104相乘黑板上寫不下”的問題；第3節(jié)中“我國人均水資源量”的問題，通過這些問題引導學生感受生活中處處有數(shù)學，幫助學生更好地感受數(shù)學的本質.

二、 整式乘法與因式分解

本章核心內容為整式乘法與因式分解，其中整式乘法中包含：單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式的基本法則及完全平方公式和平方差公式的運用.

【內容】1. 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.如： ac5bc2=（a·b）·（c5·c2）=abc5+2

=abc7.

2. 單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，書中用不同方法計算長（b+c+d）、寬a的長方形的面積得到a（b+c+d）=ab+ac+ad.

【說明】計算過程中要不重不漏，按照順序，注意常數(shù)項、負號，理解單項式與多項式相乘的本質是乘法分配律.

3. 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相乘，例如：（a+b）（m+n）=am+an+

bm+bn.

4. 乘法公式：

（1） 平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

字母表示：（a+b）（a-b）=a2-b2.

（2） 完全平方公式：兩數(shù)和[或差]的平方，等于它們的平方和加[或減]它們積的2倍.

（a±b）2=a2±2ab+b2.

5. 因式分解：把一個多項式化成幾個整式積的形式，也叫作把這個多項式分解因式.

【解讀】

（1） 提公因式法. 關鍵：找出公因式.

公因式三部分：①系數(shù)（數(shù)字）——各項系數(shù)最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù).步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

【說明】注意：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數(shù)是正的.

（2） 公式法.①a2-b2=（a+b）（a-b），其中 a、b可以是數(shù)也可是式子；②a2±2ab+b2=（a±b）2.

因式分解三要素：（1） 分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式；（2） 因式分解必須是恒等變形；（3） 因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

三、 二元一次方程組

本章核心概念有：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解.概念簡單，但方程是中學數(shù)學的一項重要內容，也是解決問題的重要工具，因此熟練掌握二元一次方程組尤為重要.

【內容】1. 含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程.

【解讀】既要看原始形式，又要看它的最終形式.

【舉例】x+y-1=2x.

2. 含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的方程組叫作二元一次方程組.

3. 二元一次方程組中兩個方程的公共解叫作二元一次方程組的解.

4. （1） 代入消元法：把二元一次方程中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法.

（2） 加減消元法：當方程組中兩個方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法.

四、 一元一次不等式

本章核心概念有：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式、不等式的性質，生活中處處都有量與量之間的不等關系，不等式是刻畫現(xiàn)實世界不等關系的有效模型.

【內容】

知識點一：不等式的概念

1. 不等式：

用“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）等不等號表示大小關系的式子，叫作不等式.用“≠”表示不等關系的式子也是不等式.

【解讀】（1） 不等號的類型：

① “≠”讀作“不等于”，它說明兩個量之間的關系是不等的，但不能明確兩個量哪個大哪個小；

（2） 要正確用不等式表示兩個量的不等關系，就要正確理解“非負數(shù)”、“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學術語的含義.

2. 不等式的解：

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解.

【解讀】由不等式的解的定義可以知道，當對不等式中的未知數(shù)取一個數(shù)，若該數(shù)使不等式成立，則這個數(shù)就是不等式的一個解，我們可以和方程的解進行對比理解，一般地，要判斷一個數(shù)是否為不等式的解，可將此數(shù)代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進行判斷.

3. 不等式的解集：

一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫作解不等式.如：不等式x-4<1的解集是x<5. 不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.二者的關系是：解集包括解，所有的解組成了解集.

【解讀】不等式的解集必須符合兩個條件：

（1） 解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；

（2） 能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在解集中.

知識點二：不等式的基本性質

基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；

符號語言表示為：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；

基本性質2：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

符號語言表示為：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc（或>）；

基本性質3：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

符號語言表示為：如果a>b，并且c<0，那么ac

【解讀】（1） 不等式的基本性質1的學習與等式的性質的學習類似，可對比等式的性質掌握；

（2） 要理解不等式的基本性質1中的“同一個整式”的含義不僅包括相同的數(shù)，還有相同的單項式或多項式；

（3） “不等號的方向不變”，指的是如果原來是“>”，那么變化后仍是“>”；如果原來是“≤”，那么變化后仍是“≤”；“不等號的方向改變”指的是如果原來是“>”，那么變化后將成為“<”；如果原來是“≤”，那么變化后將成為“≥”；

（4） 運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質3，在乘（除）同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，要記住不等號的方向一定要改變.

知識點三：一元一次不等式的概念

只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0.這樣的不等式，叫作一元一次不等式.

【解讀】（1） 一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解：

①左右兩邊都是整式（單項式或多項式），②只含有一個未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)為1；

（2） 一元一次不等式和一元一次方程可以對比理解.

相同點：二者都是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是1，左右兩邊都是整式；

不同點：一元一次不等式表示不等關系（用“>”“<”“≥”“≤”連接），一元一次方程表示相等關系（用“=”連接） .

知識點四：一元一次不等式的解法

1. 解不等式：

求不等式解的過程叫作解不等式.

2. 一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質，解一元一次不等式的一般步驟為：（1） 去分母；（2） 去括號；（3） 移項；（4） 合并同類項；（5） 系數(shù)化為1.

【解讀】（1） 在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈活運用.

（2） 解不等式應注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；②移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變.

3. 不等式的解集在數(shù)軸上表示：

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多個解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助.

【解讀】在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

（1） 邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左.

【說明】1. 不等式的基本性質是解不等式的主要依據(jù)（性質2、3要倍加小心）.

2. 檢驗一個數(shù)值是不是已知不等式的解，只要把這個數(shù)代入不等式，然后判斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立，則就不是不等式的解.

3. 解一元一次不等式是一個有目的、有根據(jù)、有步驟的不等式變形，最終目的是將原不等式變?yōu)閤>a或x

4. 將一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，是數(shù)學中數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn)，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.

5. 用一元一次不等式解答實際問題，關鍵在于尋找問題中的不等關系，從而列出不等式并求出不等式的解集，最后解決實際問題.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）