峰回路轉識圖形

姜紅

七年級下學期的課本中與幾何有關的章節是第七章和第十二章，分別是《平面圖形的認識（二）》和《證明》.第七章大致可分為兩部分：平行線和三角形.平行線的相關性質和定理是初中幾何學習的基礎，比如三角形的內角和定理就是依據平行線的相關性質推導出來的.因此可以認為，第七章里前面平行線的相關內容是為后面三角形的內容做鋪墊，而多邊形內角和、外角和又是三角形相關內容的延伸.整個第七章是一個邏輯嚴密的整體，它還是八年級學習等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等內容的基礎，是初中幾何知識最重要的基礎.第十二章《證明》則簡要介紹了常見的說理證明的方法.內容比較簡略，本文不贅述.為了讓同學們更好地掌握第七章的內容，下面給同學們解讀一下其中的重要知識點.

重點1：平行線的判定（即直線平行的條件）

關于這個內容，課本共有三條結論：1. 同位角相等，兩直線平行；2. 內錯角相等，兩直線平行；3. 同旁內角互補，兩直線平行.其中，結論1是基本事實，是人們公認的真命題，無須證明.結論2和結論3，可以用定理“對頂角相等”、“同角的補角相等”再經由結論1加以證明，是平行線的判定定理.

例1 如圖1，直線l1、l2被直線l3、l4所截，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠3

B. ∠5=∠4

C. ∠5+∠3=180°

D. ∠4+∠2=180°

【分析】依據平行線的判定的三條結論可知：

A. 已知∠1=∠3，根據內錯角相等，兩直線平行可以判斷，故命題正確；

B. 不能判斷；

C. 同旁內角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確；

D. 同旁內角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確.

故選B.

【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題的關鍵，不能遇到相等或互補關系的角就誤認為具有平行關系，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出兩直線平行.

重點2：平行線的性質

平行線的性質定理，課本共有三條結論，合起來可以說成：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.其中“兩直線平行，同位角相等”在證明時還初步使用了反證法進行說理（參看教材16頁）.后兩個定理，可以經由“兩直線平行，同位角相等”直接加以證明.

例2 （1） 如圖甲，AB∥CD，試問∠2與∠1+∠3的關系是什么？為什么？

（2） 如圖乙，AB∥CD，試問∠2+∠4與∠1+∠3+∠5一樣大嗎？為什么？

（3） 如圖丙，AB∥CD，試問∠2+∠4+∠6與∠1+∠3+∠5+∠7哪個大？為什么？

你能將它們推廣到一般情況嗎？請寫出你的結論.

【分析】看這“峰回路轉”的折線夾在兩條平行線之間，容易聯想到內錯角這一形象.這樣就可以依據“兩直線平行，內錯角相等”來添加輔助線進行解題.具體解法如下：

（1） ∠2=∠1+∠3.

過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，

∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2） ∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，

∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（3） ∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，

GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

同（2）可得

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

歸納：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等.

重點3：圖形的平移

圖形的平移是初中學習的三種最重要的幾何變換之一.另外兩種重要的幾何變換——軸對稱、旋轉將在八年級學習.平移的兩個要素是方向和距離.這可以分別用具體的方向和距離給出，也可以用一個有向線段給出，比如像“把△ABC平移，使頂點A移動到點A′的位置”這樣的說法.圖形的平移的結論有：平移前后的圖形中，對應點的連線平行（或在同一直線上）且相等.此外，同學們還要掌握平移圖形的畫法.

例3 如圖5，經過平移，四邊形ABCD的頂點A移到點A′，做出平移后的四邊形.

【分析】依據“平移前后的圖形中，對應點的連線平行且相等”，過點B、C、D分別作直線AA′的平行線，并在直線上分別截取BB′=CC′=DD′=AA′，再順次連接A′、B′、C′、D′即可（如圖6）.

【點評】考查平移變換作圖.關鍵在于做出平移后的對應點.

重點4：三角形的重要線段

三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段.解題時要依據其定義，轉化為相應的數量關系或者位置關系，再加以運用.通過畫圖，同學們可以總結出：三角形的三條角平分線交于三角形內一點，三條中線交于三角形內一點.這兩個結論的證明比較有難度，將分別在八年級和九年級給出.三角形的三條高（所在直線）交于一點，這點的位置與三角形的形狀有關.銳角三角形的三條高的交點在三角形內；直角三角形的三條高的交點在直角頂點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點，在三角形外部.

例4 在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4幅圖中畫法正確的是（ ）.

【分析】作哪一條邊上的高，從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可.故而，在△ABC中，畫出邊AC上的高，即是過點B作AC邊的垂線段，正確的是C.故選C.

【點評】此題主要考查了三角形的高，要抓住定義“在三角形中，從一個頂點向它的對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段叫作三角形的高”.

重點5：多邊形的外角和與內角和

這一部分內容包含：三角形的內角和定理，n邊形的內角和公式，多邊形的外角和定理.其中，三角形的內角和定理是基礎和出發點.

在小學，我們就已經知曉“三角形的內角和為180°”這個結論.到了初中，同學們還需要掌握這個結論的證明方法.這個定理的證明方法有多種，以下僅舉出其中一種：

如圖7所示，在△ABC中，過A引l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠B=∠1，∠C=∠2（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.

即三角形的內角和為180°.

由三角形的內角和定理還直接得出以下結論：①直角三角形兩銳角互余，②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.對n邊形適當分割，使其轉化為若干個三角形，還可以得出n邊形內角和公式（n-2）·180°，并最終得出n邊形外角和為360°.

例5 認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究一：如圖8，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，

通過分析發現∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A.

（1） 探究2：如圖9中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？并說明理由.

（2） 探究3：如圖10，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（直接寫出結論）結論：_________.

（3） 拓展：如圖11，在四邊形ABCD中，已知O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）結論：__________.

【分析】（1） 根據角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；

（2） 根據三角形的外角性質以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據三角形的內角和定理解答；

（3） 同（1）的求解思路.

具體解法如下：

（1） 探究2結論：∠BOC=∠A.

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一個外角，

∴∠2=∠ACD

=（∠A+∠ABC）

=∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一個外角，

∴∠BOC=∠2-∠1

=∠A+∠1-∠1

=∠A，

即∠BOC=∠A；

（2） 根據三角形的外角性質和角平分線的定義，

∠OBC=（∠A+∠ACB），

∠OCB=（∠A+∠ABC），

在△BOC中，

∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），

=180°-（180°+∠A），

=90°-∠A；

（3） ∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），

在△BOC中，

∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）

=（∠A+∠D）.

【點評】本題考查了三角形的外角性質、角平分線的定義、三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖、整體思想的利用是解題的關鍵.本題的四個圖形屬于同一個系列，放在一起比較更容易相互聯系進行理解.

在幾何內容學習的時候，“轉化”是常出現的字眼.“轉化”是重要的數學思想，我們不斷建構新知識的過程，往往也是不斷把新知識轉化為已學知識的過程.望同學們能領略其中的奧妙，學得輕松，學得高效.

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校）