峰回路轉(zhuǎn)識圖形

姜紅

七年級下學(xué)期的課本中與幾何有關(guān)的章節(jié)是第七章和第十二章，分別是《平面圖形的認識（二）》和《證明》.第七章大致可分為兩部分：平行線和三角形.平行線的相關(guān)性質(zhì)和定理是初中幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，比如三角形的內(nèi)角和定理就是依據(jù)平行線的相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出來的.因此可以認為，第七章里前面平行線的相關(guān)內(nèi)容是為后面三角形的內(nèi)容做鋪墊，而多邊形內(nèi)角和、外角和又是三角形相關(guān)內(nèi)容的延伸.整個第七章是一個邏輯嚴密的整體，它還是八年級學(xué)習(xí)等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等內(nèi)容的基礎(chǔ)，是初中幾何知識最重要的基礎(chǔ).第十二章《證明》則簡要介紹了常見的說理證明的方法.內(nèi)容比較簡略，本文不贅述.為了讓同學(xué)們更好地掌握第七章的內(nèi)容，下面給同學(xué)們解讀一下其中的重要知識點.

重點1：平行線的判定（即直線平行的條件）

關(guān)于這個內(nèi)容，課本共有三條結(jié)論：1. 同位角相等，兩直線平行；2. 內(nèi)錯角相等，兩直線平行；3. 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.其中，結(jié)論1是基本事實，是人們公認的真命題，無須證明.結(jié)論2和結(jié)論3，可以用定理“對頂角相等”、“同角的補角相等”再經(jīng)由結(jié)論1加以證明，是平行線的判定定理.

例1 如圖1，直線l1、l2被直線l3、l4所截，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠3

B. ∠5=∠4

C. ∠5+∠3=180°

D. ∠4+∠2=180°

【分析】依據(jù)平行線的判定的三條結(jié)論可知：

A. 已知∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可以判斷，故命題正確；

B. 不能判斷；

C. 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確；

D. 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，可以判斷，故命題正確.

故選B.

【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩直線平行.

重點2：平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)定理，課本共有三條結(jié)論，合起來可以說成：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補.其中“兩直線平行，同位角相等”在證明時還初步使用了反證法進行說理（參看教材16頁）.后兩個定理，可以經(jīng)由“兩直線平行，同位角相等”直接加以證明.

例2 （1） 如圖甲，AB∥CD，試問∠2與∠1+∠3的關(guān)系是什么？為什么？

（2） 如圖乙，AB∥CD，試問∠2+∠4與∠1+∠3+∠5一樣大嗎？為什么？

（3） 如圖丙，AB∥CD，試問∠2+∠4+∠6與∠1+∠3+∠5+∠7哪個大？為什么？

你能將它們推廣到一般情況嗎？請寫出你的結(jié)論.

【分析】看這“峰回路轉(zhuǎn)”的折線夾在兩條平行線之間，容易聯(lián)想到內(nèi)錯角這一形象.這樣就可以依據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”來添加輔助線進行解題.具體解法如下：

（1） ∠2=∠1+∠3.

過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠1，

∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；

（2） ∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

分別過點E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，

∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；

（3） ∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

分別過點E，G，M，K，P，作EF∥AB，

GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

同（2）可得

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

歸納：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等.

重點3：圖形的平移

圖形的平移是初中學(xué)習(xí)的三種最重要的幾何變換之一.另外兩種重要的幾何變換——軸對稱、旋轉(zhuǎn)將在八年級學(xué)習(xí).平移的兩個要素是方向和距離.這可以分別用具體的方向和距離給出，也可以用一個有向線段給出，比如像“把△ABC平移，使頂點A移動到點A′的位置”這樣的說法.圖形的平移的結(jié)論有：平移前后的圖形中，對應(yīng)點的連線平行（或在同一直線上）且相等.此外，同學(xué)們還要掌握平移圖形的畫法.

例3 如圖5，經(jīng)過平移，四邊形ABCD的頂點A移到點A′，做出平移后的四邊形.

【分析】依據(jù)“平移前后的圖形中，對應(yīng)點的連線平行且相等”，過點B、C、D分別作直線AA′的平行線，并在直線上分別截取BB′=CC′=DD′=AA′，再順次連接A′、B′、C′、D′即可（如圖6）.

【點評】考查平移變換作圖.關(guān)鍵在于做出平移后的對應(yīng)點.

重點4：三角形的重要線段

三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段.解題時要依據(jù)其定義，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系，再加以運用.通過畫圖，同學(xué)們可以總結(jié)出：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點，三條中線交于三角形內(nèi)一點.這兩個結(jié)論的證明比較有難度，將分別在八年級和九年級給出.三角形的三條高（所在直線）交于一點，這點的位置與三角形的形狀有關(guān).銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)；直角三角形的三條高的交點在直角頂點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點，在三角形外部.

例4 在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4幅圖中畫法正確的是（ ）.

【分析】作哪一條邊上的高，從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可.故而，在△ABC中，畫出邊AC上的高，即是過點B作AC邊的垂線段，正確的是C.故選C.

【點評】此題主要考查了三角形的高，要抓住定義“在三角形中，從一個頂點向它的對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段叫作三角形的高”.

重點5：多邊形的外角和與內(nèi)角和

這一部分內(nèi)容包含：三角形的內(nèi)角和定理，n邊形的內(nèi)角和公式，多邊形的外角和定理.其中，三角形的內(nèi)角和定理是基礎(chǔ)和出發(fā)點.

在小學(xué)，我們就已經(jīng)知曉“三角形的內(nèi)角和為180°”這個結(jié)論.到了初中，同學(xué)們還需要掌握這個結(jié)論的證明方法.這個定理的證明方法有多種，以下僅舉出其中一種：

如圖7所示，在△ABC中，過A引l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠B=∠1，∠C=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.

即三角形的內(nèi)角和為180°.

由三角形的內(nèi)角和定理還直接得出以下結(jié)論：①直角三角形兩銳角互余，②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.對n邊形適當分割，使其轉(zhuǎn)化為若干個三角形，還可以得出n邊形內(nèi)角和公式（n-2）·180°，并最終得出n邊形外角和為360°.

例5 認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究一：如圖8，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，

通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A.

（1） 探究2：如圖9中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？并說明理由.

（2） 探究3：如圖10，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）結(jié)論：_________.

（3） 拓展：如圖11，在四邊形ABCD中，已知O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）結(jié)論：__________.

【分析】（1） 根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；

（2） 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；

（3） 同（1）的求解思路.

具體解法如下：

（1） 探究2結(jié)論：∠BOC=∠A.

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一個外角，

∴∠2=∠ACD

=（∠A+∠ABC）

=∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一個外角，

∴∠BOC=∠2-∠1

=∠A+∠1-∠1

=∠A，

即∠BOC=∠A；

（2） 根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，

∠OBC=（∠A+∠ACB），

∠OCB=（∠A+∠ABC），

在△BOC中，

∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），

=180°-（180°+∠A），

=90°-∠A；

（3） ∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），

在△BOC中，

∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）

=（∠A+∠D）.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準確識圖、整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.本題的四個圖形屬于同一個系列，放在一起比較更容易相互聯(lián)系進行理解.

在幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)的時候，“轉(zhuǎn)化”是常出現(xiàn)的字眼.“轉(zhuǎn)化”是重要的數(shù)學(xué)思想，我們不斷建構(gòu)新知識的過程，往往也是不斷把新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識的過程.望同學(xué)們能領(lǐng)略其中的奧妙，學(xué)得輕松，學(xué)得高效.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）