為何要學習因式分解

葉軍

在學習“因式分解”時，不少同學總是不明白“為什么”要學習因式分解；學會了的同學大多只是記住了分解的步驟，“知其然而不知其所以然”，甚至過一段時間就會忘記.種種困惑，其實是對這一部分內容沒有透徹的理解.本文采用“自問自答”的形式，對因式分解的相關內容作一點剖析，希望對初學者有所幫助.

1. 如何區別因式分解和整式乘法？

一般地，多項式有兩種表示形式：和的形式、積的形式.如果用“項鏈”比作和的形式，那么不妨也用“磁鐵”來表示積的形式.借助于以上比喻，整式乘法是把多項式算成“項鏈”，而因式分解需要算成“磁鐵”的形式.

因式分解是整式的一種恒等變形，其涉及的運算有：加減法和乘法，其基本原理是基于分配律的逆用.因此，因式分解是整式乘法的逆過程.它們有如下的區別：

（1） 運算的結果形式不同.因式分解要求多項式化成整式之積的形式；而整式的乘法要求結果是單項式的和的形式.

（2） 所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法運算，由此可以得出一系列重要的公式，比如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，等等.這些公式可以極大地簡化運算步驟，提高效率.因式分解是基于分配律的逆用，采用的方法較多，最基本的有提取公因式法、公式法（公式又有很多）等等.這些方法，都是后人為了使得分解進行下去而總結提煉的結果，如果多掌握一點，可以提高運算的效率，領略代數計算的魅力.

（3） 適用范圍不同.理論上講，不管多復雜的整式的乘法運算，都可以得到最后的“和的形式”.但對于因式分解，不是任何多項式都可以因式分解的.不能分解的多項式，叫作“不可約多項式”，一次多項式就不能再分解了，因此所有的一次多項式都是不可約多項式，比如x+y，a-b+1等.初中階段更多地關注含有一個字母的二次多項式可不可以分解，其一般形式為ax2+bx+c，一般地，我們可以用根的判別式Δ=b2-4ac的符號進行判定：如果Δ≥0，則ax2+bx+c可以在實數范圍內分解；如果Δ<0，則不可以在實數范圍內分解.這里，“在實數范圍內分解”，或“在有理數范圍內分解”的意思是：分解后的因式的系數是實數或有理數.在不同的學習階段，因式分解的要求有所不同，比如初一剛學習因式分解，我們還不認識有理數之外的無理數，因此可以分解x2-4，x2-x-2這樣的多項式，諸如x2-3，x2-x-1這樣的式子則不能分解.但是到了初二，認識了無理數之后，x2-3，x2-x-1又可以分解了.到了初三，我們就能很明白，為何x2-x+2不能因式分解.我們看一個例子.

（作者單位：江蘇省南京師大附中江寧分校）