高速永磁同步電機電樞電流諧波分析

于吉坤，　李立毅，　杜鵬程，　張江鵬

(哈爾濱工業大學 電氣工程及自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

?

高速永磁同步電機電樞電流諧波分析

于吉坤，李立毅，杜鵬程，張江鵬

(哈爾濱工業大學 電氣工程及自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要:在高速永磁同步電機諧波分析中，主要有解析和仿真兩種方法。解析法則適用于連續系統，而仿真法適用于離散系統的，但兩種方法之間關聯性問題研究相對較少，針對此問題，提出一種基于空間矢量脈寬調制(SVPWM)技術電樞電流諧波解析法和仿真法內在關聯的分析方法。根據連續函數和離散函數的傅里葉級數公式，分析了這兩種方法在諧波計算中偏差的分布規律。分析結果表明，采樣頻率和負載是離散電樞諧波計算的主要影響因素，隨著采樣頻率的升高電樞電流諧波呈現振蕩阻尼衰減的特性，并收斂于連續系統的解析值，而負載則能降低振蕩幅值和提高收斂速度。構建了基于DSP的永磁同步電機系統實驗平臺，實驗結果驗證了該分析方法的有效性。

關鍵詞:高速永磁同步電機；空間矢量脈寬調制；電樞電流；諧波分析；離散傅里葉變換

0引言

由于采用磁能積高的稀土永磁材料作勵磁，與傳統的電機相比，高速永磁電機具有更高的功率密度，更高的可靠性，以及更小的尺寸比等優勢，近年來引起業界極大興趣和廣泛研究[1-2]。這種類型的電機有許多工業應用，如壓縮機，真空泵，渦輪發電機，飛輪儲能系統，鉆孔工具，摩擦焊接設備等。在這些高速工業單元中，省去了變速箱中間環節，應用直接與電機的轉軸連接，不僅縮小了設備體積，而且提高了設備的傳動效率和系統可靠性[3-4]。

高速永磁電機磁路中串聯的稀土鈷和釹鐵硼永磁材料導磁性能很弱，相對磁導率約為1，另外，高速永磁電機電路通入電流頻率很高，減少了電樞匝數，降低高速永磁電機的電感值。在高速電機驅動控制系統中，主電路廣泛使用電壓源型PWM逆變電路，電樞電壓在正負母線頻繁切換，與反電勢的壓差降落在小電感繞組電路中，會產生豐富的諧波電樞電流，引入額外的電磁損耗和機械振動等問題，而這些問題又多以電流諧波作為理論分析出發點[5]。目前諧波分析主要有仿真法[6-10]和解析法[11-12]兩種方法，仿真法適用性很強，諧波含量直觀清晰，但與電機系統參數之間的關系不夠明確，解析法以數學表達式的形式建立起與電機系統參數之間的聯系，能夠深刻的揭示諧波隨參數變化規律，但推導復雜，僅少數PWM調制方式的電樞電流諧波能得到完美的解析解，在簡化解析計算中也多以電壓諧波分析為主[13-14]。目前有關電機電壓和電流諧波分析中，多以離散仿真方法驗證解析方法，而對于兩種方法之間的關系研究的很少，尚未見諸他刊。

本文以SVPWM調制技術的高速永磁同步電機系統為例，研究高速電樞電流在實際連續時間系統與在仿真和實驗測試離散時間系統的諧波計算方法的問題，揭示兩種系統中諧波分析結果的內在聯系和區別。連續系統中電樞電流諧波解析算法可以作為其他諧波損耗和振動的理論基礎，又能為離散系統離散的電樞電流諧波準確計算提供指導。

1SVPWM工作原理

在變壓變頻調速系統中，永磁同步電機通常由電壓型三相橋式PWM逆變電路供電，如圖1所示，圖中，電容C假想中性點O接地，三相橋臂組成半橋拓撲形式，橋臂與電機相繞組一一對應連接，每相電阻繞組等效為電阻R、電感L和反電勢e串聯等效電路圖，三相繞組星接，其中性點用N表示。

圖1　三相橋式PWM逆變電路Fig.1　Three phase bridge PWM inverter circuit

每相橋臂由互補導通的功率開關器件組成，當上橋臂器件導通時用數字1表示，而下橋臂器件導通時用數字0表示，三相橋臂開關器件共有8種工作狀態，分別是100、110、010、011、001、101、000、111，并分別用8個矢量U1～U8表示，它們共同組成了圖2所示電壓空間矢量六邊形，公式形式如式(1)所示。

圖2　電壓空間矢量六邊形Fig.2　Hexagonal voltage space vector

(1)

式中：s(s=1,2,3,……)為扇區號，Us、θs為合成電壓矢量的幅值、相角。

根據矢量合成法則，可根據前面所述6個非零電壓空間矢量獲得所需幅值和相位的電壓空間矢量，如圖3所示。通常根據目標矢量所在的扇區，表示為相鄰的矢量線性組合，見式(2)。將式(1)代入式(2)，就可以求解出相鄰矢量作用時間，如式(3)所示，一般相鄰矢量作用時間和小于扇區時間Tc，剩余時間T0就作為零矢量作用時間即式(4)。

圖3　空間電壓矢量的線性組合Fig.3　The linear combination of space voltage vector

(2)

(3)

(4)

表1列出了任意目標矢量在相應扇區合成所需的非零相鄰矢量及相應的作用時間，作用時間與目標矢量幅值和相位直接相關，其中M表示調制比，是目標矢量幅值U與電容電壓UC之半的比值。

表1　目標矢量所需的非零相鄰矢量及其作用時間

以A相橋臂為例，根據表1信息，就可以得出每個扇區內A相高電平作用時間T和占空比D，見表2。為降低器件通斷損耗，常插入零矢量，以確保每次工作狀態切換時只改變一個橋臂器件通斷狀態，從表2中可以看出每個扇區內切換時都有零矢量作用時間，或是000，或是111，它們各占零矢量時間T0的二分之一。

表2　A相高電平時間及其占空比

2諧波分析

電機穩態工作時，三相繞組電壓空間合成矢量以同步角頻率ω1勻速旋轉且重復循環，因此，施加在繞組上電壓、電流和磁鏈是連續時間周期函數曲線，統一用f(t)表示，周期函數就可以表示為三角函數的傅里葉級數的形式，其余弦系數an和正弦系數bn表達式為：

(5)

式中：T1為同步輸出周期，滿足T1=2π/ω1。

然而，在實際永磁同步電機控制系統中，六拍階梯波的逆變電路是不能使電機平滑運轉的，需對扇區細致劃分，劃分以開關周期為單位，每個開關周期內都有一個PWM脈沖，如圖4所示，給出第k個開關周期內PWM脈沖的通斷時序，通斷時間分別用t2k和t2k-1表示，據此可得到每個開關周期內PWM脈沖通斷時刻的表達式(6)。

圖4　第k個開關周期內PWM脈沖通斷時序Fig.4　　　　On-off time sequence of PWM pulse in　　　 the kth switching period

(6)

經推導可得到周期變化相電壓PWM傅里葉級數系數表達式

(7)

式中：anu為相電壓余弦系數，bnu為相電壓正弦系數，Nc為載波比。特別地，當n為3的整數倍時，anu和bnu均為零。進一步地，將式(7)代入永磁同步電機電壓平衡方程式就可以推導出，電樞繞組電流諧波系數表達式

(8)

式中：ani為相電壓余弦系數，bni為相電壓正弦系數，an(u-e)為相電壓與相反電勢之差的余弦系數，bn(u-e)為相電壓與相反電勢之差正弦系數。

表3列出了本文所用系統的電機模型參數和控制參數，采用轉子磁場定向矢量控制方式，根據電樞電流諧波解析表達式，分別繪制了電機空載和負載時前60次的頻譜圖。從頻譜圖中可以看出，主要諧波集中在載波比倍次附近，如Nc±2、2Nc±1、3Nc±2，除此之外，還在幅值較高的低次諧波如2次和4次。表4列出空載和負載時基波、低次諧波(2次和4次)、載波比倍次諧波(13次、29次和43次)具體解析結果，從表中數據對比來看，在本系統參數情況下，負載對電樞電流諧波幅值影響較小。

表3　仿真系統及實驗系統所使用電機及控制的參數

圖5　載波比Nc=15時電流諧波解析結果Fig.5　　　　Analytical results of the current harmonics　　　 with carrier ratio Nc=15

諧波次數124132943空載00.450.651.993.940.99負載38.210.480.692.113.900.99

3仿真結果

在Matlab/SIMULINK環境中對所提出的電樞電流諧波計算方法進行了仿真分析，仿真系統所用的電機模型參數和控制參數見表2。以時間間隔為Tsam=1 μs即采樣頻率fsam=1 MHz為例，圖6繪制了空載和負載情況下電壓和電流的仿真波形。

由于仿真得到的電壓和電流波形不再是時間連續的周期函數波形，就不能按照式(5)傅里葉級數展開，此時需要根據離散傅里葉變換(DFT)處理，式(9)給出了DFT正向和逆向變換公式，通過復數指數形式，將實數域離散點x變換到復數域離散點X。

圖6　PWM電壓供電時電流波形仿真結果Fig.6　　　　Simulation results of the current waveform　　　 with PWM voltage excitation

(9)

離散周期函數盡管不能表示成無窮級數的形式，仍然可以按照其形式對式(9)逆向DFT公式整理，得

(10)

(11)

(12)

在仿真系統中樣本數N取一個同步輸出周期內采樣點的個數Nsam，即Nsam=T1/Tsam，圖6所用的為Nsam=1 876，這樣就可以計算出離散周期數據的諧波幅值，改變Nsam就可以得出不同采樣頻率時各次諧波幅值。為此，著重對幅值較高的低次諧波(1、2、4)和高次諧波(13、29、43)進行仿真計算，仿真結果見圖7和圖8。

圖7　低次諧波電流幅值仿真結果Fig.7　　　　Simulation results of the low order 　　　harmonics current amplitude

圖8　高次諧波電流幅值仿真結果Fig.8　　　　Simulation results of the high order 　　　harmonics current amplitude

從圖7和圖8可以看出，各次諧波幅值隨采樣率振蕩變化，采樣率越低，仿真DFT值越振蕩幅度越大，采樣率越高，仿真DFT值越趨近收斂于解析值，采樣率對低次諧波比對高次諧波影響更為劇烈。采樣率越高離散時間系統越接近連續時間系統，另外，隨著負載的加入，各次諧波幅值振蕩幅值減小，收斂速度加快。從收斂角度講，仿真計算結果也驗證了所提出的電樞電流諧波計算方法的正確性。

4實驗結果

為了驗證算法以及仿真結果的正確性，實驗研究在實驗室永磁同步伺服電機系統上進行，圖9為實驗系統平臺的實物圖。控制器逆變電路如圖1所示，功率開關器件為IGBT，核心控制單元為TMS320F2808，其他實驗系統參數見表2，采用轉子磁場定向的矢量控制控制策略和SVPWM調制方式。用泰克Tektronix TPS2014和橫河Yokogawa DLM2054示波器觀測記錄相電流，用渦電流測功機Magtrol 2WB115施加負載。

圖9　實驗系統實物圖Fig.9　Photograph of experimental System

針對采樣率對離散時間數據DFT諧波幅值的影響，使用具有不同采樣能力的示波器對相電流進行記錄，用泰克示波器記錄1 MHz低采樣頻率時的相電流波形數據，用橫河示波器記錄25 MHz高采樣頻率時的相電流波形數據，他們記錄的時間間隔分別是1 μs和40 ns，在一個輸出周期1.875 ms中，兩種示波器能記錄到的數據點數分別為1 876和46 876。將記錄的數據分為低采樣頻率和高采樣數據兩組，分別與仿真結果的對應采樣頻率進行對比。

圖10、圖11是1 MHz采樣頻率時空載和負載實測波形。圖12、圖13是25 MHz采樣頻率時空載和負載實測波形為便于與仿真結果對比，對實測離散數據也進行了DFT處理，并繪制了電樞電流諧波頻譜圖。實驗波形與仿真波形較為吻合，諧波頻譜也較為一致。

圖10　采樣頻率fsam=1 MHz時空載實驗結果Fig.10　　　　Experimental results of no load with 　　　sampling frequency fsam=1 MHz

圖12　采樣頻率fsam=25 MHz時空載實驗結果Fig.12　　　　Experimental results of no load with 　　　sampling frequency fsam=25 MHz

圖13　采樣頻率fsam=25 MHz時負載實驗結果Fig.13　　　　Experimental results of full load with 　　　sampling frequency fsam=25 MHz

表5、表6分別是1 MHz和25 MHz采樣頻率時，較高幅值的諧波，結合表3，就可以發現與仿真結果一致的規律，低次諧波與解析結果偏差大，高次諧波與解析結果偏差小，增大采樣頻率，可提高離散數據DFT諧波幅值的計算精度，另外，負載時的仿真和實測值更接近于理論解析值，證實了前面的連續系統和離散系統在電樞電流諧波計算中所作的理論分析。

表5　采樣頻率fsam=1 MHz時電流計算值和實驗值比較

表6　　　　采樣頻率fsam=25 MHz時電流計算值和實驗值比較

5結論

本文對高速永磁同步電流電樞電流諧波進行解析計算，通過周期連續時間SVPWM電壓脈沖序列的傅里葉無窮級數，結合永磁同步電機電壓平衡方程，推導出電樞電流諧波計算公式。考慮到數據采集離散性特點，仿真和實驗結果需經離散傅里葉變換(DFT)得到諧波頻譜。仿真結果表明采樣率和負載是離散數據諧波的主要影響因素，隨著采樣頻率的升高電樞電流諧波呈現振蕩阻尼衰減的特性，并收斂于所提方法的解析值，而負載則能降低振蕩幅值和提高收斂速度，通過仿真驗證了所提方法的正確性，在基于DSP的永磁同步電機系統實驗平臺上得出的實驗結果與仿真結果基本吻合，驗證了所提方法及其與離散系統諧波計算之間規律關系的有效性。

參 考 文 獻:

[1]王繼強, 王鳳翔, 鮑文博,等. 高速永磁電機轉子設計與強度分析[J]. 中國電機工程學報, 2005, 25(15): 140-145.

WANG Jiqiang, WANG Fengxiang, BAO Wenbo, et al. Rotor design and strength analysis of high speed permanent magnet machine[J]. Proceedings of the CSEE, 2005, 25(15): 140-145.

[2]吳震宇, 曲榮海, 李健,等. 表貼式高速永磁電機多場耦合轉子設計[J]. 電機與控制學報, 2016, 20(2): 98-103.

WU Zhenyu, QU Ronghai,LI Jian,et al. Multi-field coupling rotor design for surface-mounted high-speed permanent magnet machine[J]. Electric Machines and Control, 2016, 20(2): 98-103.

[3]KOLONDZOVSKI Z. Power limits of high-speed permanent-magnet electrical machines for compressor applications. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2011. 26(1): 73-82.

[4]于吉坤. 寬弱磁調速范圍永磁同步主軸電機的研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2011.

[5]李立毅, 于吉坤, 曹繼偉, 等. 基于PWM逆變電路供電的永磁同步電機電壓和電流的諧波通用型新算法[J]. 中國電機工程學報, 2015, 35(23): 6203-6213.

LI Liyi, YU Jikun, CAO Jiwei, et al. A Universal and New Harmonic Algorithm of Voltage and Current of Permanent Magnet Synchronous Motors Supplied By PWM Inverter[J]. Proceedings of the CSEE, 2015, 35(23): 6203-6213.

[6]周明磊, 游小杰, 王琛琛, 等. 電流諧波最小 PWM 開關角的計算及諧波特性分析[J]. 中國電機工程學報, 2014, 34(15): 2362-2370.

ZHOU Minglei, YOU Xiaojie, WANG Chenchen, et al. Switching angle calculation and harmonic analysis of current harmonic minimum PWM[J]. Proceedings of the CSEE, 2014, 34(15):2362-2370.

[7]HAVA A, CETIN N. A generalized scalar PWM approach with easy implementation features for three-phase three-wire voltage-source inverters[J]．IEEE Transactions on Power Electronics, 2011, 24(5): 1385-1395.

[8]KANCHAN R S, BAIJU M R, MOHAPATRA K K, et al. Space vector PWM signal generation for multilevel inverters using only the sampled amplitudes of reference phase voltages[J]. IEE Proceedings of Electric Power Applications, 2005, 152(2): 297-309.

[9]BIERHOFF M, FUCHS F. DC-link harmonics of three-phase voltage-source converters influenced by the pulse width modulation strategy-an analysis[J]．IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2008, 55(5): 2085-2092.

[10]CARRARA G, GARDELLA S, MARCHESONI M. A new multilevel PWM method: a theoretical analysis[J]. IEEE Trans on Power Electronics, 1992, 7(3):497-505.

[11]MCGRATH B P, HOLMES D G. An analytical technique for the determination of spectral components of multilevel carrier-based PWM methods[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2002, 49(4): 847-857.

[12]陳瑤, 童亦斌, 金新民. 基于PWM整流器的SVPWM諧波分析新算法[J]. 中國電機工程學報, 2007, 27(13): 76-80.

CHEN Yao, TONG Yibin, JIN Xinmin. A novel algorithm of SVPWM harmonic analysis based on PWM rectifier[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(13): 76-80.

[13]吳曉新, 柳巍, 阮毅, 等．一種SVPWM過調制算法及其在兩電平逆變器中的應用[J].電機與控制學報,2015,19(1):76-81.

WU Xiaoxin, LIU Wei, RUAN Yi, et al．SVPWM over-modulation algorithm and its applicationin two-level inverter[J]. Electric Machines and Control, 2015, 19(1): 76-81.

[14]朱建林, 張建華, 郭有貴，等. 過調制矩陣變換器的電壓傳輸特性及諧波分析[J]. 中國電機工程學報, 2007,27(10): 110-113.

ZHU Jianlin, ZHANG Jianhua, GUO Yougui, et al. Voltage transfer characteristic and Harmonic analysis of matrix converter under over modulation[J]. Proceedings of the CSEE, 2007,27(10): 110-113.

(編輯：張楠)

Harmonic analysis of armature current for high speed permanent magnet synchronous motor

YU Ji-kun,LI Li-yi,DU Peng-cheng,ZHANG Jiang-peng

(School of Electrical Engineering and Automation, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:There are two methods in harmonic analysis of the high speed permanent magnet synchronous motor, and they are analytical method and simulation method. The analytical method is suitable for continuous systems, and the simulation method for discrete system.As the relevance of these two methods has been rarely studied, one correlation analysis method was proposed, which is based on the space vector pulse width modulation (SVPWM) technology. From Fourier series of the continuous function and the discrete function,the deviation distribution law between these two methods in the harmonic calculation was analyzed. The analysis results show that the main influence factors of discrete harmonic calculation of armature are sampling frequency and load condition.The armature current harmonics oscillate damping attenuation with increase in sampling frequency and converge to the analytical results of the continuous system. The oscillation amplitude is reduced and the convergence speed is improved by load. The permanent magnet synchronous motor system experiment platform based on DSP is constructed, and it is confirmed that the correlation analysis method is effective.

Keywords:high speed permanent magnet synchronous motor; space vector pulse width modulation (SVPWM); armature current; harmonic analysis; discrete fourier transform (DFT)

收稿日期:2014-11-06

基金項目：國家杰出青年科學基金(51225702)

作者簡介：于吉坤(1987—)，男，博士研究生，研究方向為高速永磁電機的本體設計與特性分析；李立毅(1969—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為特種電機及其控制；杜鵬程(1988—)，男，博士研究生，研究方向為高速永磁電機的驅動控制；張江鵬(1985—)，男，博士研究生，研究方向為高效率永磁電機的本體設計與特性分析。

通訊作者:李立毅

DOI:10.15938/j.emc.2016.05.005

中圖分類號:TM 355

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)05-0028-09