有序Banach空間非線性Neumann邊值問(wèn)題正解的存在性

李小龍，　張　騫

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院　甘肅 慶陽(yáng) 745000)

?

有序Banach空間非線性Neumann邊值問(wèn)題正解的存在性

李小龍，張騫

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院甘肅 慶陽(yáng) 745000)

摘要：討論了有序Banach空間E中的邊值問(wèn)題

-u″(t)+Mu(t)=f(t,u(t)),0≤t≤1,u′(0)=u′(1)=θ

的正解，其中f：[0,1]×P→P連續(xù)，P為E中的正元錐.通過(guò)新的非緊性測(cè)度的估計(jì)技巧與凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得了該問(wèn)題正解的存在性結(jié)果.

關(guān)鍵詞：Neumann邊值問(wèn)題； 閉凸錐； 正解； 凝聚映射； 不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)

0引言

(1)

的正解，其中M>0為常數(shù)，f：I×P→P連續(xù).

方程(1)的解和正解的存在性已有許多結(jié)論[1—6]，主要利用不動(dòng)點(diǎn)定理和單調(diào)迭代方法，但在一般的Banach空間中討論的較少.本文在一般的Banach空間中，利用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了方程(1)正解的存在性.所得結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[1—6]中的相關(guān)結(jié)論，并且是文獻(xiàn)[7—8]在Banach空間中的推廣，相應(yīng)結(jié)果如文獻(xiàn)[9].方程(1)的正解是指u∈C2(I,E)滿足方程(1)，并且u(t)>θ,0

(2)

由文獻(xiàn)[2]知，(2)中G(t,s)為相應(yīng)的Green函數(shù)，即

(3)

(H0) 對(duì)?R>0,f(I×PR)有界，且存在常數(shù)L=LR∈(0,M/4)使得對(duì)?t∈I,D?PR,有α(f(t,D))≤Lα(D).其中PR={x∈P：‖x‖≤R}.

文獻(xiàn)[1—3]中要求f在有界集上一致連續(xù)，而本文利用新的非緊性測(cè)度的計(jì)算與估計(jì)技巧[6]刪去了這一要求，獲得了方程(1)正解的存在性結(jié)果.

1預(yù)備知識(shí)及引理

在條件(H0)下，為了利用凝聚映射的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論說(shuō)明(2)式定義的算子Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射，需要以下非緊性測(cè)度的一些結(jié)果.

引理2[10]設(shè)B={un}?C(I,E)為可列集，若存在ψ∈L1(I)使得‖un(t)‖≤ψ(t),a.e,t∈I,n=1,2,…，則α(B(t))在I上可積，且α({∫Iun(t)dt})≤2∫Iα(B(t))dt.

引理3[6]設(shè)D?E有界，則存在D的可列子集D0,使得α(D)≤2α(D0).

引理4設(shè)f：I×P→P連續(xù)，假設(shè)(H0)成立，則Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射.

由(3)式易知，Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì)：

(i) 0≤G(t,s)≤G(s,s),t,s∈I;

(ii)G(t,s)≥δG(t,t)G(s,s),t,s∈I,

(4)

引理5若f:I×P→P,則Q(C(I,P))?K.

證明對(duì)?u∈C(I,P)及?t,τ∈I,由(2)式和性質(zhì)(i)有

又由(2)式和性質(zhì)(ii)有

由(4)式，Qu∈K,即Q(C(I,P))?K.

因此當(dāng)f:I×P→P時(shí)，Q:K→K為凝聚映射，方程(1)的正解即為Q在K中的不動(dòng)點(diǎn).

用引理6與引理7可以得到定理1.

2主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)E為有序Banach空間，其正元錐P為正規(guī)錐，f：I×P→P連續(xù)，條件(H0)成立.假設(shè)f滿足如下條件之一：

(H1) ① 存在ε∈(0,M)及δ>0,使得當(dāng)x∈Pδ時(shí)，f(t,x)≤(M-ε)x; ② 存在η>0及h0∈C(I,P),使得當(dāng)x∈P時(shí)，f(t,x)≥(M+η)x-h0(t).

(H2) ① 存在ε>0及δ>0,使得當(dāng)x∈Pδ時(shí)，f(t,x)≥(M+ε)x; ② 存在η∈(0,M)及h0∈C(I,P),使得當(dāng)x∈P時(shí)，f(t,x)≤(M-η)x+h0(t).

則方程(1)至少存在一個(gè)正解.

情形1在假設(shè)(H1)下，令0

u≠λQu,?u∈K∩?Ωr,0<λ≤1.

(5)

反設(shè)(5)式不成立，則存在u0∈K∩?Ωr及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0.按Q的定義，u0滿足微分方程

(6)

方程(6)在I上積分，并應(yīng)用假設(shè)(H1)之①,有

另一方面，因?yàn)閡0∈K,按錐K的定義，u0(t)≥δG(t,t)u0(s)≥θ,?t,s∈I.于是

(7)

即u0(s)=θ于I，與u0∈K∩?Ωr(‖u0‖=r)矛盾.于是(5)式成立，故由引理6知，

i(Q,K∩Ωr,K)=1.

(8)

取e∈P使得‖e‖=1,令v0(t)=e,則v0(t)是f(t,u(t))=Me時(shí)方程(1)的解，由Green函數(shù)的性質(zhì)易知v0∈K{θ}，下證當(dāng)R充分大時(shí)，有

u-Qu≠τv0,?u∈K∩?ΩR,τ≥0.

(9)

反設(shè)存在u0∈K∩?ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0v0,則u0-τ0v0=Qu0,按Q的定義，u0滿足微分方程

-u″0(t)+M(u0(t)-τ0v0(t))=-(Qu0)″(t)+MQu0(t)=f(t,u0(t)),t∈I.

(10)

按假設(shè)(H1)之②，有

-u″0(t)+Mu0(t)=f(t,u0(t))+Mτ0v0(t)≥(M+η)u0(t)-h0(t),t∈I，

兩邊在I上積分得

由錐P的正規(guī)性，有

(11)

情形2在假設(shè)(H2)下，取0

u-Qu≠τv0,?u∈K∩?Ωr,τ≥0.

(12)

其中v0(t)=e∈K,反設(shè)(12)式不成立，則存在u0∈K∩?Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0v0,于是u0(t)滿足微分方程(10).由(10)式及假設(shè)(H2)之①有

-u″0(t)+Mu0(t)=f(t,u0(t))+Mτ0v0(t)≥(M+ε)u0(t),t∈I.

在I上積分得

于是由(7)式可得u0(s)=θ于I，與u0∈?Ωr矛盾.因此(12)式成立，故由引理7知

i(Q,K∩Ωr,K)=0.

(13)

再證當(dāng)R充分大時(shí)，有

u≠λQu,?u∈K∩?ΩR,0<λ≤1.

(14)

假設(shè)存在u0∈K及0<λ0≤1,使得u0=λ0Qu0，則u0滿足微分方程(6).將方程(6)在I上積分并應(yīng)用假設(shè)(H2)之②得

(15)

參考文獻(xiàn)：

[1]郭大鈞，孫經(jīng)先．抽象空間常微分方程[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1989．

[2]BERNFELD S, LAKSHMIKANTHAM V. Monotone methods for nonlinear boundary value problems in Banach spaces [J]. Nonlinear Anal,1979,3(3):303—316.

[3]GUO D, LAKSHMIKANTHAM V. Multiple solutions of two-point boundary value problems of ordinary differential equations in Banach spaces[J]. J Math Anal Appl, 1988, 129(1):211—222.

[4]周友明．Banach空間中二階微分方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題的解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，17(3)：479—485．

[5]宋福民．Banach空間中兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解[J].數(shù)學(xué)年刊：A輯，1993，14(6)：692—697．

[6]李永祥．抽象半線性發(fā)展方程初值問(wèn)題解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(6)：1089—1094．

[7]蔣達(dá)清，劉輝昭．二階微分方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題正解存在性[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2000，20(3)：360—364．

[8]SUN J P, LI W T. Multiple positive solutions to second-order Neumann boundary value problems[J]. Appl Math Comput, 2003,146(2):187—194.

[9]劉曉亞．Banach空間脈沖微分方程周期邊值問(wèn)題的正解[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2012，44(1)：15—19．

[10]HEINZ H R. On the behaviour of measure of noncompactness with respect to differention and integration of vector-valued functions[J]. Nonlinear Anal,1983,7(12):1351—1371.

[11]郭大鈞．非線性泛函分析[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985．

[12]余慶余．半序Banach空間中的凝聚映射及其正不動(dòng)點(diǎn)[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1979，15(2)：23—32．

(責(zé)任編輯：孔薇)

Existence of Positive Solutions for Nonlinear Neumann Boundary Value Problems in Ordered Banach Spaces

LI Xiaolong,ZHANG Qian

(CollegeofMathematicsandStatistics,LongdongUniversity,Qingyang745000,China)

Abstract:The existence of positive solutions for value problem

-u″(t)+Mu(t)=f(t,u(t)), 0≤t≤1,u′(0)=u′(1)=θ

in an ordered Banach spacesEwas discussed,wheref:[0, 1]×P→Pwas continuous, andPwas the cone of positive elements inE. An existence result of positive solutions was obtained by employing a new estimate of noncompactness measure and the fixed point index theory of condensing mapping.

Key words:Neumann boundary value problem; closed convex cone; positive solution; condensing mapping; fixed point index

收稿日期:2015-08-21

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11561038)；甘肅省高等學(xué)校科研項(xiàng)目(2015A-149).

作者簡(jiǎn)介:李小龍(1976—)，男，甘肅甘谷人，副教授，碩士，主要從事抽象發(fā)展方程及其應(yīng)用研究，E-mail:lixl80@163.com.

中圖分類號(hào)：O175.15

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-6841(2016)01-0023-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201503006

引用本文:李小龍，張騫.有序Banach空間非線性Neumann邊值問(wèn)題正解的存在性[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2016，48(1)：23—26.