一個新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程

溫丹華，　鄭道都

(1.鄭州師范學院 數學與統計學院　河南 鄭州 450044； 2.商丘職業技術學院　河南 商丘 476000)

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一個新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程

溫丹華1，鄭道都2

(1.鄭州師范學院 數學與統計學院河南 鄭州 450044； 2.商丘職業技術學院河南 商丘 476000)

摘要：通過引進關于自變量y的任意函數，利用源生成法構造了一個新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程.

關鍵詞：變系數(3+1)維KP方程； 源生成法； Hirota方法

0引言

自上世紀八十年代起，如何構造和求解帶自相容源的孤子方程成為學者關心的一個重要問題，文獻[1—3]提出的源生成法是解決這類問題行之有效的方法.文獻[4]給出了變系數(3+1)維KP方程的Wronskian和Grammian解，文獻[3]利用源生成法給出了一個關于自變量t的普通類型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程.

本文用源生成法來構造和求解一個關于自變量y的新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程，首先考慮變系數(3+1)維KP方程

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=0，

(1)

(2)

其中D是Hirota雙線性算子，且方程(2)有Grammian解[4—5]，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，aij=δij+∫xφiφjdx，δij=constant，

(3)

其中函數φi、ψj滿足如下關系：

φiy=c1(t)φixx；φiz=c2(t)φixx；φit=-4m(t)φixxx，

(4)

ψjy=-c1(t)ψjxx；ψjz=-c2(t)ψjxx；ψjt=-4m(t)ψjxxx，

(5)

1一個新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程

根據源生成法的步驟，對(3)式中的函數f作如下改變，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，

(6)

f=pf(1,2,…,N,N*,…,2*,1*)≡f(·)，

其中pfaff式的元素定義為

此時，引進新的函數Gj和Hj，其定義如下：

(7)

(8)

(9)

上述實證檢驗的結果表明，研發投入和營銷投入對公司主營業務利潤的影響既有共性又有個性。共性在于，研發投入和營銷投入對主營業務利潤的影響都具有一定的滯后效應；個性在于，研發投入對主營業務利潤的滯后效應是正向的，而營銷投入對于主營業務利潤的滯后效應是負向的。

(10)

(11)

其中：

定理1式(6)、(8)、(9)所定義的函數f、Gj、Hj滿足以下雙線性方程：

(12)

Dxkj·f+GjHj=0，

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

證明利用pfaff式技巧和色散關系式(4)和式(5)，得如下的微分公式：

把以上微分公式代入雙線性方程(12)中，得到pfaff恒等式的和：

由此說明方程函數(12)成立.

同理可證函數f、Gj和Hj滿足雙線性方程(13)～(19).

因此方程(12)～(19)構成了雙線性的新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程，而式(6)、(8)和(9)中定義的函數f、Gj、Hj就是方程(12)～(19)的行列式解.

則式(12)～(19)轉化為非線性發展方程：

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=

χjx+φjψj=0，

其中j=1,2,…,K.此方程即是新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程.

參考文獻：

[1]HU X B, WANG H Y. New type of KP equation with self-consistent sources and its bilinear transformation[J]. Inverse problems, 2007,23(4):1344—1444.

[2]王紅艷，胡星標.帶自相容源的孤立子方程[M].北京：清華大學出版社，2008:16—21.

[3]溫丹華，趙曉焱. 一個帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程 [J].鄭州大學學報(理學版)，2014,46(1):21—24.

[4]徐娟.變系數(3+1)維KP方程的Wronskian和Grammian解[J].溫州大學學報(自然科學版)，2013,34(1):13—17.

[5]孟祥華. 基于符號計算的光纖通信等若干領域中變系數非線性模型的研究[D].北京：北京郵電大學，2009：124—125.

(責任編輯：方惠敏)

A New (3+1) Dimensional KP Equation with Variable Coefficients with Self-consistent Source

WEN Danhua1，ZHENG Daodu2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics，ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China;2.Shangqiupolytechnic,Shangqiu476000,China)

Abstract:A new (3+1) dimensional KP equation with variable coefficients with self-consistent source was constructed with source generation procedure.

Key words:(3+1) dimensional KP equation with variable coefficients；source generation procedure；Hirota bilinear method

收稿日期:2015-07-01

基金項目:國家自然科學基金資助項目(10871186).

作者簡介:溫丹華(1986—)，女，助教，碩士，主要從事孤立子與可積系統研究，E-mail: wendahua@126.com.

中圖分類號：O175.29

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0037-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507003

引用本文：溫丹華，鄭道都.一個新型的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程[J].鄭州大學學報(理學版)，2016，48(1)：37—40.