巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為

岳　田 ，　劉開拓, 2，　雷國梁

(1.湖北汽車工業學院 理學院　湖北 十堰 442002；2.中南大學 數學與統計學院　湖南 長沙 410083)

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巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為

岳田1，劉開拓1, 2，雷國梁1

(1.湖北汽車工業學院 理學院湖北 十堰 442002；2.中南大學 數學與統計學院湖南 長沙 410083)

摘要：給出了斜演化半流一致多項式穩定和一致多項式不穩定的一些充要條件,用所得結論推廣了已有結果.

關鍵詞：斜演化半流； 一致多項式穩定性； 一致多項式不穩定性； 多項式增長

0引言

近年來，利用斜演化半流來研究無限維空間中演化方程的漸近性質取得了長足發展[1—3]．關于斜演化半流的概念首先由Stoica和Megan[4]引入，與演化算子、演化族、斜積流不同的是它依賴于三個變量，而其他僅依賴于兩個變量，因此利用斜演化半流來研究演化方程解的漸近行為更為合理，尤其是在指數穩定性方面．如文獻[5]給出Banach空間中斜演化半流一致指數穩定的性質刻畫，并得到了相應性質在一致集上的統一形式.文獻[6]利用Banach函數空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數穩定的連續與離散特征.文獻[7]給出了線性斜演化半流一致指數穩定的連續及離散型Barbashin 定理.文獻[8]采用類似文獻[5]中的方法，研究了斜演化半流非一致指數穩定的若干性質．在指數不穩定性方面，文獻[4]對斜演化半流的一致指數不穩定性進行了研究，得到了相應的Datko型結論[9].文獻[10]給出了斜演化半流的弱指數膨脹性相關性質，并利用Lyapunov函數來刻畫了弱指數膨脹的相關特征.

由于指數漸近行為的要求比較苛刻，因此有必要尋找更為一般的關于斜演化半流的其他漸近行為.文獻[11—13]針對演化算子提出了多項式穩定的概念，并給出了相應特征刻畫.本文將在上述文獻的基礎上給出斜演化半流呈一致多項式穩定與不穩定的定義，并討論相關性質，從而推廣了Datko[9], Stoica及Megan[5]等人的結論.本文所用方法與文獻[11]和文獻[12]中方法不同，分別利用斜演化半流的收縮性及擴張性來研究其一致多項式穩定與不穩定特性.

1預備知識

定義1[5—7]σ:T×Θ→Θ為Θ上的演化半流，如果滿足以下性質:

σ(t,t,θ)=θ, ?(t,θ)∈R+×Θ；

σ(t,s,σ(s,r,θ))=σ(t,r,θ), ?(t,s), (s,r)∈T, ?θ∈Θ.

定義2[5—7]如果σ為Θ上的演化半流且映射Φ:T×Φ→L(X)滿足如下條件：

Φ(t,t,θ)=I, ?(t,θ)∈R+×Θ；

Φ(t,r,θ)=Φ(t,s,σ(s,r,θ))Φ(s,r,θ), ?(t,s),(s,r)∈T, ?θ∈Θ；

Φ(·,·,θ)x連續，?(x,θ)∈ε．稱π=(Φ,σ)為ε=X×Θ上的斜演化半流.

定義3如果存在常數M,ω,λ>0使得

(1)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為是多項式增長的.

定義4若存在常數K,α,λ>0使得

(2)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項式穩定的.

定義5如果存在常數K,α,λ>0使得

(3)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項式不穩定的.

2主要結論

定理1 (收縮性)具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩定的,當且僅當存在δ>0,r0>1,0

(4)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(5)

又因為

利用式(1)、(4) 及(5)可知

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩定的．

定理2具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩定的,當且僅當對?x∈X，存在δ,β(x)>0使得

(6)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設λ=δ,若t≤sδ，則有

(7)

進而由上式及式(5)可得

(8)

則由(6)式，對?x∈X有

故再次利用一致有界原理可得，存在常數L′>0使得

定理3具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩定的,當且僅當存在δ,D>0使得

(9)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設t≥s,若s≤t≤sδ，則有

(10)

(11)

定理4 (擴張性)具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩定的,當且僅當存在δ>0、r0、c>1使得對?s≥δ,x∈X有

‖Φ(r0s,s,θ)x‖≥c‖x‖．

(12)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(13)

又因為

利用式(1)、式(12)可知

(14)

結合式(13)、(14)可得

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩定的．

定理5具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩定的,當且僅當Φ(t,s,θ)為單射，?t≥s≥δ,θ∈Θ,且存在D>0使得

(15)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

任取t≥s≥δ．由多項式增長性知對?τ∈[t,tδ]有

利用(15)式可得

參考文獻：

[1]YUE T, LEI G L, SONG X Q. Some characterizations for the uniform exponential expansiveness of linear skew-evolution semiflows[J]. Adv Math China, 2015, 44(7):1—10.

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(責任編輯：方惠敏)

Polynomial Asymptotic Behaviors of Skew-evolution Semiflows in Banach Spaces

YUE Tian1，LIU Kaituo1,2，LEI Guoliang1

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan,Hubei442002,China2.SchoolofMathematicsandStatistics,CentralSouthUniversity,Changsha,Hunan410083,China)

Abstract:Some necessary and sufficient conditions for uniform polynomial stability and uniform polynomial instability were given, respectively. Generalizations of some well-known results were obtained due to Datko, Stoica, Megan in the case of polynomial asymptotic of skew-evolution semiflows in Banach spaces.

Key words:skew-evolution semiflows; uniform polynomial stability； uniform polynomial instability； polynomial growth

收稿日期:2015-09-19

基金項目:湖北省自然科學基金資助項目(2014CFB629);湖北汽車工業學院校預研基金資助項目(2014XY06)．

作者簡介:岳田(1988—)，男，四川南江人，助教，碩士，主要從事微分系統定性理論研究，E-mail: ytcumt@163.com．

中圖分類號：O175.13

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0041-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201509021

引用本文：岳田，劉開拓，雷國梁．巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(1)：41—44.