變利率相依風險模型破產概率的積分方程和界

呂海娟，　彭江艷，　武德安

(電子科技大學 數學科學學院　四川 成都 611731)

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變利率相依風險模型破產概率的積分方程和界

呂海娟，彭江艷，武德安

(電子科技大學 數學科學學院四川 成都 611731)

摘要：考慮了一個帶有隨機利率離散時間相依風險模型，其中利率過程為獨立同分布的隨機變量序列，保費過程和索賠過程都具有高階自回歸結構．針對保費在期初收取和索賠在期末收取的情況，利用遞歸的方法，得出此模型破產概率的積分方程和上界、下界．

關鍵詞：隨機利率； 高階自回歸； 破產概率； 遞歸方法； 界

0引言

保險公司的破產概率是度量保險公司風險的最基本手段，風險模型的研究最開始是在連續時間的基礎上進行的，但離散時間在實際保險風險中的應用性更強，如利率并不是連續變化的，是按階段進行變化的，索賠也不會在事故一發生就進行．文獻[1]對離散時間風險模型進行了討論，之后不少學者對模型和結果進行拓展．文獻[2]討論了常利率下的相依風險情況，其中保費過程和索賠過程都僅限于一階自回歸結構(AR(1)).文獻[3]研究了隨機利率下離散時間保險風險模型，利用鞅技巧得出了最終破產概率的Lundberg界，其保費過程和索賠過程都僅是兩個獨立同分布的非負隨機變量序列.文獻[4]考慮了隨機利率離散風險模型，得出了破產概率的遞歸方程和界，但其利率過程、保費過程和索賠過程都只是獨立同分布的隨機變量.文獻[5]考慮保費收取和賠付為負二項過程、干擾為標準Wiener過程的多險種隨機風險模型.文獻[6—7]研究了常利率下風險模型.文獻[8]研究了當利率服從AR(m)的離散時間風險模型，其保費過程和索賠過程依然是獨立同分布的隨機變量序列，得出了破產盈余分布.文獻[9]討論了理賠量具有一階自回歸的情形下，利用遞歸方法得出破產前的盈余分布.文獻[10—11]研究了一類特殊的變利率離散時間風險模型，得到了破產前一刻盈余分布的一個上界估計．

本文在上述文獻的基礎上，在模型中引入更符合實際需求的隨機利率，將保費過程和索賠過程推廣到高階自回歸結構，引起證明過程難度化和構建技巧的復雜化．并且，高階自回歸結構在時間序列分析中比一階自回歸結構更具有普遍性，即在實際生活中，索賠額不僅僅與前一個階段相關，可能與以往n個階段相關．文中針對保費在期初收取和索賠在期末收取的情況，運用遞歸方法得出破產概率的積分方程和上界、下界．

1建立模型

考慮如下模型

(1)

其中：

1)u為保險公司的初始準備金，u≥0，Un表示保險公司到n時刻的盈余．

2)Zi表示(i-1,i]時段內的利率，為獨立同分布的非負隨機變量列,G(z1)=P(Z1≤z1)．

3)Xi表示(i-1,i]時段內的保費，服從高階自回歸AR(p)模型，即

Xn=a1Xn-1+a2Xn-2+…+apXn-p+δn，n=1,2,…,

(2)

其中：0≤ai<1;X1-i=x1-i≥0;i=1,…,p;x0,x-1,…,x1-p為保費以前p年的數據;δn為獨立同分布的非負隨機變量序列，H(x)=P(δ1≤x)．

4)Yi表示(i-1,i]時段內的索賠額，服從高階自回歸AR(q)模型，即

Yn=b1Yn-1+b2Yn-2+…+bqYn-q+εn，n=1,2,…,

(3)

其中：0≤bi<1；Y1-i=y1-i≥0；i=1,…,q；y0,y-1,…,y1-q為索賠額以前q年的數據；εn為獨立同分布的非負的隨機變量序列，F(y)=P(ε1≤y)且F(0)=0．

5) 保費在時間區間初交納，理賠在時間區間末進行．{Zn,n=1,2,…}，{Xn,n=1,2,…},{Yn,n=1,2,…}相互獨立．

φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)=P{T<}．

一般地，為保證保險公司平穩地運營，需假設純利潤條件E(Xn)>E(Yn)，n=1,2,….

通過數學歸納法，可以得出(2)式等價于

(4)

同理可得(3)式等價于

(5)

考慮到保險公司的運營，上述條件成立的前提條件是

E(δ)>E(ε)，ai≥bi，x1-i≥y1-i；i=1,…,n，p∧q.

由等價性可得到如下純利潤條件

(6)

2破產概率的積分方程

(7)

(8)

證明給定δ1=x,ε1=y,Z1=z1，

(9)

由全期望公式可得

3破產概率的界

為求破產概率的界，首先引入兩個重要的量，其定義如下：

其中調節系數R>0滿足

(10)

證明考慮如下函數的凸性

易知g″(s)≥0，所以g(s)是下凹函數．又因為g(0)=0,g′(0)<0，所以存在唯一的R>0滿足(10)式，引理得證．

定理2在上述定理1的條件下，破產概率的界滿足

(11)

證明首先推導破產概率的下界.

由定理1中的積分方程可知

下界得證．下面利用數學歸納法求破產概率的上界.

對于?t≥0有

ξe-Rt∫teR(1+b1)ydF(y)≤ξe-RtE(eR(1+b1)ε1)，

(12)

假設

φn(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-

(13)

將(13)式和(12)式代入(7)式得

φn+1(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q) ≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-

(14)

因此，假設對于n=1,2,…都成立．對(14)式兩邊令n→取極限，由控制收斂定理得

φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξE(exp[R(1+b1)ε1])E(exp[-R((u+

由ξ<1和調節系數的定義可知φ(u,x0,x-1,…,x1-p,y0,y-1,…,y1-q)≤ξexp(-Ru)≤exp(-Ru).

綜上，可得出破產概率的界(11)式．

參考文獻：

[1]BOWERS N L，GERBER H U，HICKMAN J C，et al．Actuarial mathematics [M]．Itasca Illinois：Society of Actuaries，1986．

[2]YANG H L，ZHANG L H．Martingale method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate [J]．Probability in the engineering and informational sciences，2003，17：183—198．

[3]王翠蓮，劉曉．隨機利率下離散時間保險風險模型[J]．安徽師范大學學報(自然科學版)，2007，30(1)：19—20．

[4]WEI X，HU Y J．Ruin probabilities for discrete time risk models with stochastic rates of interest[J]．Statistics and probability letter，2008，78(6)：707—715．

[5]魏靜，葛世剛，劉海生，等．帶干擾的多險種復合負二項風險模型的破產概率[J]．鄭州大學學報(理學版)，2015，47(2)：33—36．

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[8]于莉，詹曉琳，傅瀚洋．利率服從離散時間風險模型的破產分布[J]．經濟數學，2013， 30(4)：90—93．

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[10]余國勝．變利率離散時間風險模型破產問題[J]．江漢大學學報(自然科學版)，2014，42(1)：32—35．

[11]夏征，王春偉，楊萬才.一類帶利率的馬氏風險模型[J]．河南科技大學學報(自然科學版)，2011,32(6)：72—76.

(責任編輯：方惠敏)

Integral Equations and Bounds for Ruin Probability in a Dependent Risk Model with Stochastic Interest

LYU Haijuan, PENG Jiangyan, WU De’an

(SchoolofMathematicalSciences,UniversityofElectronicScienceandTechnologyof

China,Chengdu611731,China)

Abstract:A discrete time dependent risk model was considered with stochastic interest where the interest rate process formed a sequence of independent and identically distributed random variables sequences, and both the premiums process and claims process had higher order autoregressive structures.The premiums were received at the beginning of each period and the claims were derived at the end of each period,integral equation upper and lower bound for infinite time ruin probabilities were derived by using recursive method.

Key words:stochastic interest rate; higher order autoregressive; ruin probability; recursive method; bounds

收稿日期:2015-07-08

基金項目:國家自然科學基金資助項目(71501025)；中國博士后科學基金第57批面上項目(2015M572467)．

作者簡介:呂海娟(1989—)，女，河北邯鄲人，碩士研究生，主要從事概率統計及其應用研究，E-mail:1192435961@qq.com；通訊作者：彭江艷(1976—)，女，四川成都人，副教授，博士，主要從事概率統計及其應用研究，E-mail:jiangeeryl@163.com．

中圖分類號：O211.9

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0045-06

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507014

引用本文：呂海娟，彭江艷，武德安．變利率相依風險模型破產概率的積分方程和界[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(1)：45—50．