多層網絡和含時網絡的相關問題研究

辜　姣，郭　龍，江　健，池麗平，李　煒

(1.江南大學理學院，江蘇 無錫214122； 2.華中師范大學蓋爾曼復雜性科學研究所，武漢 430079；3.中國地質大學(武漢)數學與物理學院，武漢 430074；4.武漢紡織大學非線性研究所，武漢 430200)

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多層網絡和含時網絡的相關問題研究

辜姣1,2，郭龍3，江健4，池麗平2，李煒2

(1.江南大學理學院，江蘇 無錫214122； 2.華中師范大學蓋爾曼復雜性科學研究所，武漢 430079；3.中國地質大學(武漢)數學與物理學院，武漢 430074；4.武漢紡織大學非線性研究所，武漢 430200)

摘要：從多層網絡的魯棒性、多層網絡的拉普拉斯譜、含時網絡的時間特征、社會網絡含時性和多層性對輿情演化動力學的影響4個方面，就近年來的一些活躍的研究課題作了綜述。

關鍵詞：多層網絡;含時網絡

0引言

在復雜系統研究中，一類主要的問題就是研究復雜網絡的拓撲性質和動力學性質之間的關系。近幾年來，網絡研究出現了兩類新的熱點問題，其一就是關于多層網絡的研究，涉及到各種不同網絡之間的依賴與合作，比如電網與通信網絡，疾病傳播網絡與社交網絡，經濟網絡與金融網絡等；另一類就是關于含時網絡的研究，系統中個體間的相互作用屬性是時間的函數，比如社交網絡，疾病傳播網絡等。因此，在拓撲結構引入一些新的屬性后，相應地網絡的動力學性質也出現一些新的特征。本文從多層網絡的魯棒性、多層網絡的拉普拉斯譜、含時網絡的時間特征、含時網絡下的輿論動力學4個方面，對近期的相關研究作了一個綜述。

1相互依賴多層網絡的魯棒性分析

隨著現代科技的迅猛發展，各種不同類型的復雜系統之間的聯系也越來越緊密，如通信與電力系統，水和食物供應系統等等[1]。這些具有相互作用的復雜系統都可以用相互依賴網絡來刻畫。在相互依賴網絡中，一個網絡中的節點發生故障而失效會導致其他網絡中依賴節點也發生故障，這樣會進一步導致第一個網絡中更多節點的失效，從而形成級聯失效。這樣網絡間的相互影響給其魯棒性分析帶來了新的挑戰，如何設計具有強魯棒性的相互依賴網絡系統已經成為當今網絡科學的熱點話題之一。

自從2010年，Buldyrev等[2]在《Nature》上發表了相互依賴網絡的魯棒性的重要論文之后，這方面的相關工作猶如雨后春筍，相繼涌現。在文獻[1]中，Buldyrev發現了一個重要的結論: 相互依賴網絡比單一網絡在隨機攻擊時更加脆弱，并且會出現與單一網絡里二階連續相變行為完全不同的一階非連續相變。Parshani等[3]發現相互依賴網絡的相變行為與網絡間的依賴強度有關，當依賴強度減弱到某個臨界值時，系統出現二階相變，魯棒性得到加強。Zhou D和Huang X等[4-5]分別發現網絡間的聚集性和異質性會減弱系統的魯棒性。高建喜等[6-7]理論分析了兩個具有多重依賴關系的相互依賴網絡的魯棒性，還將蓄意攻擊映射到隨機攻擊上，并建立了相關理論框架分析完全相互依賴和部分相互依賴網絡的魯棒性。董高高等[8-9]較為系統的研究了4類不同相互依賴網絡的魯棒性問題，它們分別是網絡間只存在依賴邊；網絡間只存在連接邊；網絡間存在連接邊和依賴邊；網絡間存在支持-依賴的有向連邊。除此之外，Li W等[10]考慮了真實網絡系統在空間地理中的情況。Morris等[11]調研了耦合空間網絡中的運輸過程。文獻將二重相互依賴網絡擴展到多重相互依賴網絡即網絡中的網絡[12-16]。唐明等[17]還考慮了相互依賴網絡上的疾病傳播動力學行為。更多相關研究可以參考綜述文章[18]。

與此相關的我們自己的研究中，主要著眼于相互依賴網絡間的依賴強度及依賴關系對系統魯棒性的影響，通過構建二重相互依賴無標度網絡和相互依賴隨機網絡的理論模型，解析分析擇優依賴和隨機依賴對系統級聯失效行為的影響，研究發現相互依賴無標度網絡表現出二階相變，其魯棒性隨依賴強度增大而加強，然而相應依賴隨機網絡則表現相反，并且網絡間的擇優依賴關系相比隨機依賴關系更能提高系統的魯棒性[19]。

2多層網絡的拉普拉斯譜性質

考慮一個包含M層，每層N個節點的簡單(無向、全連通、不存在自循環)多層網絡，假設多層網絡的每一個節點是可以標記的，其中第α層的鄰接矩陣或強度矩陣可以表示為W(α)∈RN×N，對應的拉普拉斯矩陣為L(α)=S(α)-W(α)，其中S(α)為對角元素為這一層網絡中節點強度的對角矩陣。依次寫出每一層網絡的拉普拉斯矩陣，并使其為對角元素構成對角矩陣，則為只考慮層內聯系，整個多層網絡的拉普拉斯矩陣。定義WI∈RM×M為多層網絡中節點層間的聯系矩陣，其對應的拉普拉斯矩陣為LI=SI-WI。整個多層網絡的拉普拉斯算子為L=LL+LI，其中，LL描述多層網絡的節點層內聯系的拉普拉斯算子(其對應矩陣為L(α)，α=1,…,M的對角矩陣)，LI描述多層網絡節點層間聯系的拉普拉斯算子。

多層網絡的拉普拉斯譜與其網絡的拓撲性質相關。在多層網絡中，L算子的譜包含LI算子的譜。當M較小時，LI的本征值可以由層間聯系強度決定[23]，例如，當M=2時，LI的本征值為{0,2D}，其中，D為層間關聯的強度。當多層網絡中層間為完全連接并具有相同的權重D時，LI的本征值可寫為{0,MD{M-1}}，M-1為本征值MD的重數。

在多層網絡中，通過對每一層網絡的拉普拉斯譜與層間不存在聯系時的拉普拉斯譜進行比較時，可以看出此多層網絡的層間關聯是否緊密。例如，設Dx為多層網絡中層間關聯強度最大值和層內關聯強度最大值的比值，若兩者本征值近差別一個小量(約為γiDx，γi為節點i的層間聯系強度)，即Dx?1，即多層網絡層間關聯較弱。當然，不論Dx如何設置，多層網絡的拉普拉斯算子譜始終包含一個0的特征值，并且存在M-1個與Dx相關的特征值。

3含時網絡的時間特征

含時網絡主要用來刻畫復雜系統中微觀相互作用斷續存在的情形[24]。例如，在手機通訊網絡中，A和B之間的連邊僅當A和B發生通話時才存在。通話結束后，A和B之間的連邊也隨之消失。按傳統的復雜網絡方法，僅在A、B之間產生一條連邊已經不足以描述微觀相互作用時刻變化的特點。于是，“時間”作為一個獨立自由度引入到復雜網絡中，稱之為含時網絡，用G(V,E,t)表示，其中t代表連邊發生的時刻，如圖1所示。相應地，含時網絡的鄰接矩陣為A：a(i,j,t)=1代表節點i和j在t時刻有聯系；否則a(i,j,t)=0。因此，在含時網絡中，每一條連邊都帶有時間，每一條路徑都要考慮時間的先后順序。含時網絡的研究目的就在于揭示時間的引入對網絡結構及傳播過程的影響。

圖1　含時網絡示意圖，代表節點

本文將著重從時間的角度簡要介紹含時網絡的研究現狀：一是時間累計(time-aggregation)方法，側重于探討含時網絡的結構特點。另一類是時序(time-ordering)的影響，側重于分析時間先后順序如何影響含時網絡上的動力學過程。詳細內容可參考Holme等的綜述文獻。

3.1時間累計方法

在時間累加的框架下，時間間隔Δt對描述含時網絡的結構性質起著重要作用。時間間隔太小，每一個時間間隔內包含的節點和連邊也少，無法觀察到一些重要子圖的形成或消失。時間間隔太大，每一個時間間隔內幾乎包含了所有的節點和連邊，無法觀察到關鍵連邊的出現等現象。目前大家主要選取自然時間單位作為時間間隔來研究。Krings等[25]以小時、天、星期等為時間間隔研究了手機通訊網絡。池麗平等[26]以天、年為時間間隔分別研究了AutonomousSystems網絡、科學家合作網的演化特征。Trajanovski等[27]則探討了一定時間間隔下含時網絡在隨機刪除與蓄意攻擊下的魯棒性；Ribeiro等[28]研究了時間間隔對隨機行走過程的影響。

圖2　將含時網絡轉化為靜態網絡的3種方法[29]

除了利用時間分段法將含時網絡轉化為靜態網絡之外，Holme還提出了另外兩種方法，分別為重復出現法和指數閾值法[29]，如圖2所示。重復出現法是指，如果兩個節點在tstart之前或tstop之后均有聯系，則這兩個節點之間產生一條連邊。tstart與tstop的選擇對靜態網絡的構建非常重要。指數閾值法是指，每一條連邊按e-t/τ賦予權重，其中t為連邊發生的時刻，τ為調節參數。如果該權重大于閾值Ω，則這條連邊可以出現在靜態網絡中。

忽略連邊的時間先后順序，將含時網絡轉化為靜態網絡，有助于運用靜態網絡中一些成熟的方法來研究含時網絡的結構，從而簡化時間維度的分析。然而，如何選擇合適的時間間隔來轉化含時網絡、并且最大程度地保留其時序特征，到目前為止仍是一個開放問題。

3.2時序的影響

連邊存在時間先后順序，使含時網絡呈現一些特有的性質，并對含時網絡上的傳播過程產生重要影響。例如，可到達性是指某個時間以后，從任一節點按時間先后順序所能到達其它節點的數目；最短時間路徑定義為從節點按時間先后順序到達節點所需的最短時間；等等。這其中最引人關注的時序特征就是陣發性。陣發性是指相繼兩個事件(連邊)的時間間隔是不均勻的，而且多數服從冪律分布。

時序對傳播過程的影響目前仍具有爭議。一方面，有研究發現時間先后順序的引入會減慢傳播過程。Karsai等[30]在手機通訊數據上研究謠言傳播時，發現時間序列會減慢傳播速度。Starnini等[31]在研究含時網絡上的隨機行走時發現，時間序列同樣導致傳播過程減慢。另一方面，也有研究發現考慮時間序列之后會加速傳播過程。Jo等[32]通過SI 模型，發現具有冪律分布的陣發性會加速傳播過程。Rocha等[33]研究發現，不穩定的陣發性過程會使得SI、SIR模型的傳播速度加快。與此同時，還有研究指出，時間先后順序對傳播過程的影響需要綜合多種因素。Lambiotte等[34]發現陣發性冪律分布的首、尾位置對傳播過程的影響不同；Holme等[35]認為傳播過程與起始時間有關；Miritello[36]認為等待時間會阻礙傳播，而組群對話則加速傳播。

含時網絡研究雖然在結構、動力學等方面取得了一定進展，然而還有很多問題亟待解決。首先，缺乏統一的理論框架來描述含時網絡。比如Erd?s-Rényi隨機網絡用參數連接概率p表示；Watts-Strogatz小世界網絡由重繞概率pr決定；Barabási-Albert 無標度網絡通過優先連接概率π(k)生成。然而，對于含時網絡，目前還沒有某個特定參量，它可以概括含時網絡的時序、陣發性等特征。其次，時間間隔的影響程度還需進一步明確。怎樣選擇時間間隔來轉化含時網絡是最優的？如何衡量和評價其最優性？時間間隔內忽略了連邊的時間先后順序，必然會導致信息丟失，如何測量這些丟失的信息？最后，時間序列的重要作用還需深入探討。時間序列為什么會影響以及怎樣影響含時網絡的拓撲結構和傳播過程？怎樣的時序斑圖在網絡的演化和傳播中起主導作用？這些都是擺在我們面前尚未解決的問題。時間的引入使含時網絡研究充滿了機遇和挑戰，也將有助于我們更好地認識微觀相互作用時刻變化的復雜系統。

4社會網絡含時性和多層性對輿情演化動力學的影響

近年來，隨著互聯網技術和存儲技術的發展，大數據時代已拉開帷幕。人類行為痕跡被詳盡記錄下來，為研究人類行為動力學和社會現象的涌現機制理論研究提供了實證分析和理論驗證之前期準備。這也吸引了許多物理學家對其理論量化研究的廣泛關注，促進了社會物理學這一交叉領域的進一步發展[37-39]。許多物理學家利用統計物理和圖論的方法和思想量化研究社會現象和社會動力學。例如：社會網絡拓撲結構及其演化、語言演化、人口動力學、疾病傳播動力學、輿情演化動力學等等。

輿情演化動力學是人類社會中集群動力學現象之一。輿情被認為是個體對某一感興趣話題的判斷、觀點、情感和態度的表達。這種表達往往依賴于個體的主觀性和客觀性判斷。相互影響的個體(或團體)之間輿情的趨同和分化是非常重要的社會過程[40]，類似于統計物理中Ising模型中有序-無序相變。物理學中有序相對應于社會系統中個體(或團體)中輿情的一致態；而無序相對應于個體(或團體)因輿情不同而形成的群體分化現象[38]。顯而易見的問題是：如何從數學或物理的角度量化分析有限尺寸大小的社會系統中的輿情演化動力學？為此，D.Stauffer和S.Solomon綜述了基本的物理模型和概念，例如元胞自動機、含溫度的Ising范例、逾滲理論、主方程方法[38]和平均場近似[41]。他們也展示了這些模型和概念在社會動力學中的應用，例如選舉過程、金融市場和語言演化等。另外，R.Toral和C.J.Tessone概述了系統有限尺寸效應對社會動力學演化的影響，例如輿情演化的Galam模型和文化分化形成的Axelrod模型[42]。

在社會過程中，由非凡的群聚效應而導致的宏觀現象多來自于社會系統中大量微觀個體之間的相互作用。大量實證分析表明，社會復雜系統可抽象為社會網絡，其中社會系統中的個體映射為社會網絡中的節點，個體之間潛在的相互作用映射為節點之間的連邊。社會網絡在描述節點之間的相互作用以及作用的頻度和強度等方面都表現出其特有的優越性。顯而易見，社會網絡的拓撲結構對輿情的演化形成起著重要的作用。前人工作中分析了一些真實社會網絡的拓撲結構對輿情演化的影響，例如小世界特性、無標度特性和社團特性等[43-45]。近年來，社會網絡中個體及其相互作用的多樣性和含時性對輿情演化動力學的影響受到廣泛關注。

社會網絡中個體及其相互作用的含時性體現了社會系統中個人類行為動力學的非平庸性，例如人類活動的間歇性和爆發性，以及人類之間相互作用(例如書信往來和訊息往來)的時間間隔分布的非泊松性[55]。這對社會系統(社會網絡)上的動力學行為，例如輿情的演化和形成起著重要的作用。個體之間相互作用的含時性分為兩個方面，一個方面是個體間相互作用的含時性與輿情演化動力學相互耦合關聯，即為諸多學者研究的自適應網絡下的輿情演化動力學。自適應網絡中節點間的相互作用的含時性多體現在隨著節點輿情的時間演化促使節點間的連邊的重繞[56]。我們曾分析了依賴輿情演化動力學下自適應社會網絡上社團結構的涌現機制[57]。另一方面是個體間相互作用的含時性與輿情演化動力學無關，是社會網絡中個體行為的含時性的單獨體現，稱為含時社會網絡[58]。我們嘗試分析了二維空間格子上由于人類空間行走所造成的節點間相互作用的時間特性對輿情演化動力學的影響，發現人類遷移促使輿情的傳播和輿情社團的形成[59]。(注，含時網絡上的輿情演化仍是一個開放問題。)

5結論

我們注意到，在多層網絡和含時網絡的研究中都出現了一些新的描述方法和描述手段，盡管目前并不清楚這些新的變化會不會像復雜網絡最開始出現的時候帶來的沖擊一樣迅猛。另外，對這些新的網絡結構的描述目前還缺乏統一的理論和模型框架，但是這些挑戰對于復雜網絡甚至復雜系統的進一步發展都極為關鍵，解決這些問題對于理解復雜系統的多樣性來說或許又是重要的一步。

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(責任編輯耿金花)

Recent Progress on Multiplayer and Temporal Networks

GU Jiao1,2, GUO Long3, JIANG Jian4, CHI Liping2, LI Wei2

(1.School of Science, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2.College of Physical Science and Technology, Huazhong Normal University, Wuhan 430079, China;3.School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China;4.Research Center of Nonlinear Science and College of Mathematics and Computer Science,Wuhan Textile University, Wuhan 430200, China)

Abstract:In this article, a review on recent progress of related fields is given, based on the robustness of multilayer networks, the Laplacian spectra of multilayer networks, the time pattern of temporal networks, the opinion dynamics on multilayer networks and temporal networks.

Key words:multilayer networks; temporal networks

文章編號：16723813(2016)01005807;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.004

收稿日期：2015-07-09

基金項目：高等學校學科創新引智計劃(B08033)，國家自然科學基金青年項目(11405118)

作者簡介：辜姣(1983-)，女，湖北黃石人，博士，主要研究方向為復雜網絡譜圖分析。通訊作者：郭龍(1982-)，男，河南開封人，博士，副教授，主要研究方向為統計物理及復雜網絡動力學。

中圖分類號：O41； O23

文獻標識碼：A