從單一網絡向《網絡的網絡》的轉變進程
——略論多層次超網絡模型的探索與挑戰

方錦清

(中國原子能科學研究院核技術應用所 北京 102413)

?

從單一網絡向《網絡的網絡》的轉變進程
——略論多層次超網絡模型的探索與挑戰

方錦清

(中國原子能科學研究院核技術應用所 北京 102413)

摘要：簡要回顧單一網絡的理論框架的總體概貌；概述當前令人關注的“網絡的網絡”或超網絡的諸多特點、相關定義和概念，簡介若干多層次超網絡的理論模型研究概況，最后對于復雜網絡面臨的十大挑戰性課題給予說明。

關鍵詞：單一網絡；網絡的網絡；多層次超網絡；十大挑戰性課題

復雜網絡無處不在、無時不在。在世紀之交(1998—1999)以小世界網絡和無標度網絡兩大發現為標志，誕生了一門廣泛交叉的新興科學：網絡科學[1-11]。正如無標度網絡的發現者艾伯特-拉斯洛·巴拉巴西(A-L.Barabasi)在2012年指出[3]： “作為一個范例，還原論已經過時了；作為一個領域，復雜性研究也疲憊不堪了；現在網絡科學來取而代之了。基于數據的復雜系統的數學模型正在提供一個全新的視角，迅速發展成為了一門嶄新的交叉學科：網絡科學。” 18年來，國內外不斷掀起了網絡科學的研究熱潮。一方面，它成為探索人類面臨的挑戰性問題的科學方法和思想武器，對推動和促進社會進步具有現實和長遠的意義。另一方面，迄今它發展起來的網絡理論框架主要是基于單個網絡結構，這是一種簡化的網絡科學理論框架，而現實世界總是存在著大量相互關聯和彼此依存的錯綜復雜的網絡，值得關注的是，現實廣泛存在的“網絡的網絡”(“Networks of Networks”，NON)或稱超網絡(Supernetwork)正在成為網絡科學最新的前沿課題，最富有挑戰性。由于NON課題的復雜性、多樣性和艱巨性，正在逐步從單個網絡向“網絡的網絡”的研究推進中，主要在NON的拓撲結構特性和動力學同步功能兩大方面展開理論工作，取得了一定的進展。本文將簡要回顧單一網絡的理論框架概貌；

概述NON或超網絡的諸多特點、相關定義和概念，簡介若干多層次超網絡的理論模型研究概況，以及網絡科學面臨的十大挑戰性課題。

1單一網絡的簡要回顧

美國網絡科學家巴拉巴西是一位致力于網絡科學的國際領軍人物。正是他首次在1999年揭開了單一復雜網絡的內幕之一——無標度網絡的奧秘。迄今，他出版的代表作有二本網絡科學科普著作[4-5]：《鏈接：網絡新科學》和《爆發》。前書功在標志世紀之交國際上誕生了一門廣泛交叉的網絡科學，展示了網絡科學發展觀方法理論的廣泛應用，它覆蓋了自然界和人類社會廣闊的空間;后書深刻揭示了復雜網絡無時不在，如何覆蓋浩瀚的時間長河，發現了社會網絡等不同層次的人類行為特點和某些可預測性，例如人類的行為特性93%是可以預測的。這樣，上述兩本著作把復雜網絡的時間與空間不可分割地聯系在一起，形成了比較完整的傳統意義上的網絡科學的理論框架。2006年他與Newman、Wattsh出版合著：《網絡的結構與動力學》。他探索網絡問題始于1994年博士后研究，經過20年的頑強拼搏，根據報道，2015年他正式單獨出版了第一本個人專著：《網絡科學》，國內迄今還沒有看到此書。根據報道介紹，該書系統而全面地總結了他的團隊從事網絡科學研究20年的豐碩成果，可以說，這是迄今國際上基于單一網絡的理論框架的一本標志性著作。

無標度網絡的發現、無標度特性的生成機制的揭示和發展過程具體反映了網絡科學的誕生和發展所經歷的曲折道路。巴拉巴西在第一本個人專著《網絡科學》中自述了許多真實的故事，他及其團隊所經歷的許多失敗和挫折正是網絡科學發展進程中最好的代表和見證，他的頑強堅持的精神值得我們學習。在專著引言介紹里，他真實透露了所經歷的5次失敗教訓：不僅有3篇論文(1995，1996，1998))曾經失敗、受挫、被拒或被推遲發表，例如探索映射網絡遭到失敗(1996)；其實1999年給美國 “科學”雜志投稿時開始也一度被拒，但是他頑強地與編輯據理力爭，BA無標度模型的論文才得以發表，這個新發現在國際上產生了廣泛而深刻的影響。但是由于論文對于無標度特性缺乏嚴格的數學證明曾一度被質疑，導致他科研經費難以申請(例如美國國家基金和美國國防部項目的申請失敗)。所有這些挫折和失敗都沒有動搖他的斗志。反而給他在科學史留下和增添了可歌可泣的難忘故事和難得的啟迪。

巴拉巴西為首的科研團隊對于網絡科學的誕生無疑作出了突出貢獻，不僅首先發現了許多復雜網絡的無標度特性及其產生的物理機制，把這個普遍特性應用于研究各種實際網絡。更難得的是，不斷引領和推動新課題的創新，例如，他們把物理學中玻色-愛因斯坦凝聚現象與復雜網絡巧妙地聯系起來，把復雜網絡自然推到物理學的懷抱，成為網絡科學的兩大理論基石之—；并提出和建立了復雜網絡的控制理論方法。他說得好：正是“這些物理學家、數學家、電腦科學家、社會學家以及生物學家等人共同努力，深入詳細地研究了無標度網絡模型及其擴展模式后，獲得了大量實證結果，從而建立了一套內容豐富、完整的網絡增長和進化理論體系。”，因此，這個十多年來發展的關于單一網絡科學的理論不妨稱為網絡科學傳統的理論體系，多學科科學家的貢獻功不可沒。這個傳統理論體系提出了各種理論模型，并揭示復雜網絡內部鏈接、鏈接重排、刪除節點和鏈接、節點老齡化、非線性效應等許多因素的影響，揭開了網絡拓撲結構和動力學特性(功能)的各種過程及其規律，共同構成傳統的復雜網絡演化的理論框架。實際上，產生無標度特性的物理機制具有多樣性，BA無標度模型只不過是一個特例。總之，迄今復雜網絡中，無標度拓撲結構不是例外，而是普遍的常態，這就解釋了為什么大多數真實網絡都是無標度網絡。演化網絡理論把網絡看作隨時間連續不斷變化的動態系統，以無標度模型為代表的大量研究結果深刻地揭開了蘊含在各種增長網絡的生成機制。這些發現和創新為傳統的網絡科學體系的建立作出了重要的貢獻，巴拉巴西成為建立基于網絡共性的前期科學理論的先行者和領軍人物，他的科研團隊功不可沒。無疑，巴拉巴西具有高瞻遠矚的眼光，充滿對于網絡的真知灼見，它使人們認識了許多現代社會和自然界里絢麗多彩的網絡世界。令人驚奇的是，借助現代計算機技術，正不斷揭開社會關系網絡、高科技企業網絡、新陳代謝網絡和細胞網絡等諸多網絡具有相似性和共性，并超出了它們之間的差異性。這些發現提供了嶄新而重要的網絡科學發展觀，應用來考察和審視周圍自然界和人類社會的豐富多彩相互連接關系及其變化規律。中國網絡科學領域也取得了與國際上同步的發展。

迄今，網絡科學已經滲透到各個角落和不同領域，它成為一種有力的科學思想武器，開闊了人們的視野，開辟了新天地，繼續產生越來越廣泛而深刻的影響。

2“網絡的網絡”的概況、基本特點和定義

2.1概況

實際上廣泛存在“網絡的網絡(NON)”，或稱“超網絡”，或稱“體系的體系”，目前叫法術語不盡相同，但是有著共同的特點和內含，這些網絡之間相互嵌套在一起，你中有我，我中有你。如大腦網絡就是一個非常典型的NON， 它有3個層次：微觀尺度(神經元)、中尺度(神經集群)和大尺度(大范圍腦區域)，實際研究時只能簡化處理這個典型復雜大腦NON；國民基礎設施超網絡由許多子網絡組成，包括電力網，海陸空交通網，信息傳輸網和社會關系網等錯綜交叉在一起；中國高科技超網存在4個層次：中關村科技園(Z-Park)網絡、中國高科技園區與高校科學園區聯合網絡(CHTPN)、中國高技術產業網絡(CHTEN)和世界高科技網絡，各個層次之間相互交叉和影響,實質上它是多層次的超網絡；國防領域的戰爭超網絡包含通信網絡、指揮控制網、預警探測網、空間衛星網等4大信息網。“物聯網”是以互聯網為基本構架由交通網、電力網、物流網等多種性質不同的存在錯綜復雜的關聯的網絡組成。如此的超網絡，無處不在，從層次/聯系方式看超網絡有：大腦網絡，戰爭網絡，高科技網絡，社會網絡，計算機網絡，蛋白質網絡，新陳代謝網，生物-社會傳播網。從網絡結構看超網絡有：互聯網，供應鏈與社會超網絡，電子商務中的供應鏈超網絡模型，回收超網絡模型，閉環供應鏈超網絡模型，物聯網。

由于各種類型超網絡的研究難度極大，迄今國內外尚非常缺乏對于NON或超網絡的普遍有效的理論方法和突破性的進展。隨著網絡科學研究的不斷積累和深入發展，深入揭開NON之奧秘的時機正在到來。

2.2NON的諸多特點

“網絡的網絡”(NON)或超網絡，實際上都是典型的復雜開放系統，網絡之間相互嵌套、相互依存、彼此關聯、相互影響。NON至少具有下列“諸多”特點之一：多層性、多維性、多屬性、多重性、多目標、多參數、多準則、多選擇。更具體說，有如下特點：

圖1　互聯網顯示的“網絡的網絡”交叉和嵌套關系

1)整個網絡系統是2個或更多個的子網絡組成，存在交集, 具有多種層次結構形式，或可以從多層次相互交叉角度進行探討；如交通運輸網絡有海陸空不同層次，也有物理層、業務層和管理層之分；通信網絡協議是多層的，層內和層間都有連接；也就是說，網絡嵌套著網絡，或網絡中包含著網絡，包括可由不同社區網絡所組成的復雜網絡；網絡節點本身可以是一個網絡結構，其節點具有不同質性、連邊具有不同屬性、網絡是相互嵌套和集成，存在多個網絡的交集。如圖1所示，互聯網就是典型的NON系統，它以電網為支撐，而電網又通過電信網得到指令。電網、電信、銀行全部登陸互聯網，并在網上互通信息，多種網絡相互交叉、相互依存和相互影響。可以說，各種網絡的網絡、形形色色的多層網絡無處不在。

2)一般說，整個網絡系統是開放的復雜系統，網絡內外之間可能存在物質、能量與信息等多種相互交換，屬于非平衡態統計系綜，雖然目前傳統網絡科學多限于平衡態網絡系統的研究，但是實際上處理NON問題迫切需要發展和應用非平衡態統計理論與方法。

3)相互依存的子網絡之間和節點之間連邊都可能存在復雜的相互作用方式，特別是非線性作用，存在多重網絡之間的錯綜復雜的交互作用和相互影響，使得具有多樣性和復雜性。

4)總體上，復雜網絡具有拓撲結構、功能和動力學的時空演化特性，與傳統的單一網絡比較，網絡更可能涌現豐富多彩的自組織行為特性。

5)NON可能表現具有多層次的金字塔結構形式：如，生命復雜性金字塔:金字塔最底部是第1層次，代表生命系統的細胞功能的傳統組織網絡：基因、轉錄組、蛋白質和新陳代謝這些網絡，在規則性和結構層次兩方面都存在各種層面的非凡集成；從底層向上的第2層次里這些組分形成調控基因識別和新陳代謝網絡,接著向上第3層次依次是功能模塊的建筑社區，第4層次是那些社區被嵌套而產生一個無標度的大標度組織的網絡結構,研究發現：從細胞功能網絡的拓撲性質與自然界和社會的網絡有著驚人的相似性,能夠完成從信息存儲、處理到執行的全工程。因此，生命系統復雜性金字塔深刻地揭示了：人類身體內從細胞功能網絡到萬維網(WWW)都存在著一個普遍的自組織原則，那就是說，從分子層次的微觀網絡到大自然與人類社會的宏觀網絡世界，它們的組織原則都具有相似性，節點度分布是冪函數P=aK-b形式，b為冪指數,稱為無標度特性。上下層次都有內在關聯和影響。金字塔從下向上是簡單性和普適性增加了，而從上向下復雜性和多樣性增強了。

6)整個網絡具有多維性、多屬性、多目標控制和其他特殊性

要求等。例如,網絡流量可以是多維的，費用(代價)是流量的函數；對于物流網絡、能量網絡、供應鏈網絡等存在多種流量；可以用多參數來刻畫。

2.3“網絡的網絡”——基于多層網絡的數學定義

S.Boccaletti，G.Bianconi和R.Criado等12人在國際著名的《物理報告》中發表“多層網絡的結構與動力學”綜述[12]，從多層網絡角度[13]，結合 “網絡的網絡(NON)” 的主要特點，他們首次給出數學上的正式基本數學定義：

一組多層網絡是一對M=(g,C)圖，其中g={Gα;α∈{1，…，M}}是一族(有向或無向，有權或無權)圖Gα=(Xα，Eα)(稱為M層)，和C={Eαβ?Xα×Xβ；α，β∈{1，…，M}，α≠β}是不同層Gα和Gβ網絡的節點之間相互鏈接的集合。

M的投影網絡是proj(M)=(XM,EM)，這里

這個數學定義很適合描述社會系統以及其他復雜網絡系統中的多層次網絡及其許多現象。例如，應用這個定義，可以同時考慮在不同社群之間的相互鏈接、不同層之間的關聯性質以及每個層次的特殊性與整體網絡的關系。

對于一個多層網絡，其中X1=X2=…=XM=X，對于α,β∈{1，…M}，α≠β，Eαβ={(x，x)；x∈X}。即換句話說，多層網絡是由不同類型的鏈接它們所對應的固定節點的集合組成的。多層網絡的范例就是社會系統，因為這些系統能夠看成是復雜社會網絡的疊加，其節點表示代表個人和鏈接抓住了不同的社會關系。

多層網絡M能夠與為它提供有價值信息的幾個單一網絡相關。一個特殊的例子是投影網絡proj(M)=(XM,EM)，它的鄰階矩陣元為

A=A1IN…ININA2…IN????ININ…AM?è?????????÷÷÷÷÷÷÷∈RNM×NM

這里IN是N-維單位矩陣。

3多層網絡的數學定義的幾種推廣

上述定義基本上統一了迄今文獻上的不同提法，因此，它可以推廣研究相關NON的不同類型。

3.1多層網絡

如前所述，一個多層網絡M，具有M層，是層{Gα；α∈{1，…，M}}的集合，這里每層是一個圖(有向或無向圖，加權或無權圖)，Gα=(Xα，Eα)，Xα={x1,…,xN}。所有層都有相同的節點，這可以被認為是對于每個1≤α≠β≤M，取Eαβ={x，x}；x∈X的一個多層網絡。

對于多層次網絡。可以形式定義如下：令G=(X，E)是一個網絡，多水平網絡是一個三重圖M=(X，E，&)，這里&={S1，…，Sp}是一個超圖Sj=(Xj，Ej)的族，G的j=1,…p，使得：

G網絡是M網絡的投影網絡。每個子圖Sj∈&i稱為M的一份。很顯然每個多水平網絡M=(X，E，&)能夠理解為具有層次(S1，…，Sp)和交叉層Eαβ={X，X}的多層網絡，對于每個1≤α≠β≤p，X∈Xα∩Xβ。直截了當檢查：每個分層網絡是一個多水平網絡，對于所有1≤α，β≤p僅僅如果Xα=Xβ，那么多水平網絡M=(X，E，&)就是一個多分層網絡。

3.2時效網絡

一個時效網絡能夠表示為{G1,…,GT}層集合的一個多層網絡，這里Gt=G(t)，Eαβ=? ifβ≠α+1,而

Eα，α+1={(x，x)；x∈Xα∩Xα+1}

如圖2所示，注意：這里存在一個整數而不是連續參數。

3.3相互作用或相互鏈接的網絡

如果考慮一族網絡相互作用的網絡{G1,…,GL}，它們可以模型化為{G1,…,GL}多層網絡，以及那些交叉層Eαβ相應于Gα和Gβ，圖3為一個相互作用的網絡直接轉換成一個多層網絡的示意圖，在左邊上每個網絡對應于右邊上一個不同的層。

圖2　時效網絡轉換成多層次網絡示意圖

圖3　一個相互作用的網絡直接轉換成一個多層網絡的示意圖

3.4多維網絡

形式上，標有一個邊的多圖(多維網絡)是一個三重圖G=(V，E，D)，這里V為節點的集合，D為標號集表示維數，E為標記邊的集合，即它是一個三重集合E={(u，v，d)；u，v∈V，d∈D}。假設一對節點u，v∈V，可能存在唯一一個邊(u，v，d)。而且如果所考慮的模型是有向圖，邊(u,v,d)和(v,u,d)是不同的。這樣，給定|D|=m,G中的每對節點都能夠被大多數m條邊所鏈接。如果需要，可以考慮加權，則這樣的邊不再是三重的。但是變成4級(u,v,d,ω)，這里ω表示節點u,v∈V和標號d∈D之間的關系權的實數。一個多維網絡可以通過把每個標號映射為一個層，從而模型化為一個多重網絡，因此，也就是一個多層網絡。特別是，G能夠與層為{G1，…，G|D|}的多層網絡相關起來。這里對于每個α∈D，Gα=(Xα，Eα)，Xα=V，有

Eα={(u,v)∈V×V；(u,v,d)∈Eandd=α}

而對于每個1≤α≠β≤|D|，則有Eαβ={(X，X)；X∈V}

3.5相互依存(或分層)網絡

一個相互依存(或即多層次)網絡是一個不同網絡的集合，它們的節點是相互依存的。實際上，節點從網絡的一個層依賴于一個不同層的控制節點。在這種類型的表示中依賴性是鏈接不同層的附加的邊。在網絡層之間，這種結構基礎成為中尺度結構。類似于過去多維網絡的情形，可以通過識別具有一層的每個網絡，能夠把一個相互依存(或層狀)網絡考慮為一個多層網絡。

相互依存的網絡的網絡也已取得一定進展，例如：具有固定的超網絡和只允許復制的節點依賴連接的NON；具有給定的超網絡層次的NON；具有固定的超網絡和節點標記按隨機排列的NON，等。

4超網絡轉換成多層次網絡及其典型模型實例

迄今超網絡或超圖雖然有一些不同定義，根據上述方法，都可以把超圖轉換成多層次網絡，這節以3個典型超網絡模型為例說明。

4.1超圖轉換為超網絡的依據

圖4　一個超圖轉換成一個多層網絡的示意圖

考慮一個超圖是一對H=(X，H)，這里X是節點的非空集，以及H={H1，…，HP}是X的非空子集，它們中的每一個稱為H的一個超鏈接。現在，如果G=(X，E)是一個圖，則一個超結構S=(X，E，H)由頂點集X，邊集E、超邊集H形成的一個三重圖。如果H=(X，H)是超網絡或超圖，則可以模型化為一個多層網絡，使得對于每個超鏈接h=(x1,…,xk)∈H，我們定義一層Gh，它是節點x1，…，xk的一個完全圖，以及交叉層是Eαβ={(x,x);x∈Xα∩Xβ}，圖4為一個超圖轉換成一個多層網絡的示意圖，在左邊上的節點集定義了3個超鏈接(H1,H2,H3)，其中被映射到它的節點的一個完全圖組成的每一層。

本文以國內提出的3個有代表性的超網絡模型轉換成多層次網絡為實例，作為上述方法的說明。

圖5　超網絡模型-1(m0=3)演化過程示意圖

圖6　把圖5轉換成多層次網絡的示意圖。

4.2超網絡模型-1轉換為多層網絡

王建偉等[14]首先構建了一條邊一個老節點的超網絡模型， 這個超網絡模型-1(m0=3)演化過程示意圖如圖5所示。

選取鏈接節點i的概率滿足：

上述模型我們把它轉換成一個多層超網絡，請看圖6。

4.3超網絡模型-2轉換為多層網絡

胡楓等[15]接著構建了一條邊二個老節點的超網絡模型，這個超網絡模型-2(m0=3)演化過程示意圖如圖7所示。他們同樣得到超網絡的超度服從冪率分布。

同樣，可以把模型-2轉換成圖8所示的多層次超網絡結構。

4.4超網絡模型-3轉換為多層網絡

郭進利等[16]人把上述兩模型統一起來。

圖9給出超網絡模型-3演化過程示意圖。(m0=4，m1=3,m=m2=2)和我們應用上述方法把模型-3轉換成多層次超網絡結構，如圖10為相應于圖9的多層次網絡結構。

他們利用Poisson過程理論證明了可以得到“富者愈富”現象。得到了超度分布為冪率分布。

超網絡演化模型-3的穩態平均超度分布為

圖7　超網絡模型-2(m0=3)演化過程示意圖

圖8　模型-2轉換成多層次超網絡結構

圖9　超網絡模型-3演化過程示意圖

當λ=1，m=m2=1時，模型-3退化為模型-1的結果。當然λ=1，m=m1=1時，模型-3退化為模型-2的結果。當λ=1，m1=m2=1時，模型-3退化為BA模型的結果，即

從上可見：基于超圖的超網絡模型3把前面兩個超網絡模型1和2比較好地統一起來，能夠描述基于超圖的超網絡演化特性，當新增加節點批量充分大時網絡趨于均勻化。雖然它不是BA模型的簡單推廣，但是它卻把BA模型作為特例包括在內。

需要指出：NON或超網絡的主要進展除了提出超網絡增長模型及其獲得拓撲特性外，多層超網絡的統計系綜的研究也有所進展，包括涉及有固定的超網絡和只允許復制節點之間連接的情形、具有給定超度分布的情形、具有固定的超網絡和節點標記按隨機排列的情形、具有多個互聯的超網絡-NON等。另外，多層耦合網絡上傳播動力學的研究近年來取得了可喜進展，諸如，發現相對于單一網絡上生物或者社會傳播在多層耦合網絡上這些傳播過程更易爆發；同時還存在各種有趣的相變現象；而對于多層耦合網絡上的生物-社會耦合傳播，發現兩個網絡的結構越不相似時，越難控制疾病，等等。

總之，隨著國內外“網絡的網絡”或多層次超網絡的研究不斷深入，已發現一些其他類型超網絡的有意義進展，限于篇幅在此從略，請詳看文獻[12，16-24]及其中大量引文。

5復雜網絡的十大挑戰性問題

大自然界和人類社會表現出多種多樣復雜網絡系統。迄今如何從一般單一網絡的傳統的網絡科學理論框架轉向描述“網絡的網絡”或超網絡的理論體系，目前還缺乏共認，如何深刻理解、主自設計、自由駕馭或控制網絡的網絡，許多課題、理論方法或總體框架，都面臨著前所未有的挑戰。

在2014年長沙召開的“2014第10屆全國復雜網絡學術會議”上，經過征集與會者和專家的建議，經網上投票評選出今后“復雜網絡科學十大問題”[17-22]：“網絡的網絡”(NON)研究，人類行為特性對傳播動力學的影響，基本與真實數據的傳播問題，多層次動態網絡理論分析及時空演化問題，復雜網絡魯棒性產生機制及網絡安全應用，精確描述復雜網絡拓撲特征的理論問題，非線性時間序列與網絡圖的相互表征及刻畫，NON的可控性、能觀性及其控制新的理論方法，網絡動態結構變化問題，多層交互網絡中的傳播與控制問題。主要的挑戰性大部分與NON-超網絡的研究密切相關。這里歸納幾點予以說明。

1)對NON物理數學理論的復雜性描述，需要高瞻遠矚地研究NON復雜系統統一的網絡拓撲理論新框架和新方法，NON理論涉及實際網絡系統的高維屬性(諸多特點)和錯綜復雜的關系，需要創新高維空間的子空間流形拓撲理論和代數幾何拓撲學理論，并超越傳統圖論的方法去描述子空間多元關系。超圖正在發展張量方法可能對于復雜的鄰階矩陣的譜特性探索提供新 的思路。

2)對當今NON網絡規模涉及大數據范疇，上千萬億級或高高的海量科學計算，需要研究大規模稀疏網絡(矩陣)結構的科學計算理論和算法，面對大規模稀疏網絡求解問題，迫切需要在計算和統計分析以及優化數學方法上創新，并利用高性能超級計算機進行高效并行計算機。

圖10　模型-3轉換成多層次網絡結構

3)對網絡時間-空間的動態演化復雜性的挑戰，需要研究大規模網絡結構的時空動力學行為，并涉及微觀、中觀和宏觀等多層次的不同類型的大規模網絡上的動力學行為研究，這勢必涉及高維偏微分方程組的分析和求解難題，因此要求數理學理論方法更大的創新和發現。

4)對NON不同層次網絡混雜或交叉問題，迫切需要研究復雜網絡融合的物理和數學機理，例如互聯網、計算機網絡、社會網絡、物聯網絡等各種網絡彼此交叉、滲透，并體現了信息域、社會域和物理域等多域交鏈和相互作用的結果，不僅催生大量新型的網絡應用，而且對網絡融合機理和理論方法提出前所未有的挑戰。

顯然，NON相關的復雜網絡最具挑戰性，網絡系統越錯綜復雜，對物理數學理論工具的需求就越迫切。

感謝李永和劉強等多年來的真誠合作。

參考文獻:

[1]Watts D J，Strogatz S H. Collective dynamics of small-world networks[J]. Nature, 1998, 393: 440-442.

[2]Barabasi A L，Albert R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science, 1999, 286: 509-512.

[3]Barabási A L. The network takeover[J]. Nature Physics, 2011, 8(1): 14.

[4]Vol N. Linked: the new science of networks [J]. Foreign Affairs,2002,81(4):193-217.

[5]Gelmen A. Bursts:the hidden pattern behind everything we do[J].Physics Today，2010,63(5)：46.

[6]Newman M, Barabasi A L, Watts D J. The structure and dynamics of networks[M]. USA: Princeton University Press, 2006.

[7]B?rner K，Sanyal S,Vespignani A.Network science[J].Annual Review of Information Science and Technoligy,2007,41(1):537-607.

[8]陳關榮.網絡科學與工程叢書[M].北京：高等教育出版社，2011-2015.

[9]方錦清，汪小帆，鄭志剛，等.一門嶄新的交叉科學——網絡科學(上)[J].物理學進展，2007，27(3)：239-343.

Fang Jinqing, Wang Xiaofan,Zhen Zhigang, et al. New interdisiplinary science:network science[J]. Progress in Physics,2007, 27 (3) : 239-343.

[10] 方錦清，汪小帆，鄭志剛，等, 一門嶄新的交叉科學——網絡科學(下)[J].物理學進展，2007，27(4)：361-448.Fang Jingqing,Wang Xiaofan,Zheng Zhigang,et al.New interdisiplinary science:network science(Ⅱ)[J].Progress in Physics,2007,27(4):361-448.

[11] 畢橋，方錦清.網絡科學與統計物理方法[M].北京：北京大學出版社，2011.

[12] Boccaletti S, Bianconi G, Criado R, et al. The structure and dynamics of multilayer networks[J]. Physics Reports,2014,544(1):1-122.

[13] Kurant M,Thiran P. Layered complex networks[J]. Phys Rev Lett, 2006, 96(13): 138701.

[14] Wang J W,Rong L L, Deng Q H，et al. Evoluing hypernetwork mode[J]. Eur Phys J B,2010,77(4):493-498.

[15] 胡楓，趙海興，馬秀娟.一種超網絡演化模型構建及特性分析[J].中國科學：物理學力學天文學，2013，43(1)：16-22.

Hu Feng, Zhao Haixing, Ma Xiujuan. An evolving hypernetwork model and its properties[J]. Science China：Physics，Mechanics，A stronomy，2013，43(1)：16-22.

[16] 郭進利，祝昕昀.超網絡中標度律的涌現[J].物理學報, 2014,63(9)：090207.

Guo JinLi, Zhu Xinyun. Emergence of scaling in hypernetworks[J].Acta Phys Sin, 2014， 63(9): 090207.

[17] Fang J Q. Review and outlook: Congratulations on the 10thanniversary of the national complex network meeting[R]. The 10th China National Complex Network Conference, Changsha, 2014.

[18] Fang J Q,Tang M. Network science faces the challenge and opportunity: exploring “network of networks” and its unified theoretical framework[R]. The 11th China Forum on Network Science, Shanghai,2015.

[19] Fang J Q,Li Y. Advences in unified hybrid theoretical model of network science[J]. Advances in Mechanics，2008，38(6):663-678.

[20] Fang J Q,Wang X F,Zheng Z G.Dynamical complexity of nonlinear networks[J]. Progress in Physics,2009,29(1):1-74.

[21] Fang J Q,Li Y.Transition features from simplicity-universality to complexity-diversification under the UHNM-VSG[J], Commun Theor Phys, 2010, 53(2): 389-398.

[22] Liu Q, Fang J Q,Li Y.A unified dynamic scaling property for the UHNTF[J].Frontiers of Physics,2014, 9(2): 240-245.

[23] Chen G R.Special topic: network science research: some recent progress in China and beyond[J].National Science Review，2014,1(3):334.

[24] 戴汝為，張嗣瀛.復雜系統與復雜性科學[M].青島：《復雜系統與復雜性科學》雜志社，2015 ，12(2)：1-109.

(責任編輯耿金花)

From a Single Network to “Network of Networks” Development Process: Some Discussions on the Exploration of Multilayer Supernetwork Models and Challenges

FANG Jinqing

(Department of Nuclear Technology Application,China institute of atomic energy, Beijing 102413,China)

Abstract:In this paper, a brief review of the theoretical framework of a single network picture is given; Overview of the current concern of the "network of networks" or super network, the related definitions and concepts, introduction to several theory model of multilayer super network research, finally puts forward ten challenging tasks to network science.

Key words：single networks; network of networks; multiplayer networks; ten big challenge

文章編號：16723813(2016)01004008;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.002

收稿日期：2015-07-31

基金項目：國家自然科學基金面上項目(61174151)

作者簡介：方錦清(1939-)，男，福建莆田人，研究員，主要研究方向為非線性網絡科學與應用。

中圖分類號：N94

文獻標識碼：A