碼垛機器人運動精度可靠性及其靈敏度分析

王海芳, 張 恒, 皇甫一樊, 褚天爭, 童曉穎

(1.東北大學秦皇島分校控制工程學院,河北 秦皇島 066004; 2.秦皇島福電實業集團有限公司工程部,河北 秦皇島 066000)

碼垛機器人運動精度可靠性及其靈敏度分析

王海芳1, 張 恒1, 皇甫一樊1, 褚天爭1, 童曉穎2

(1.東北大學秦皇島分校控制工程學院,河北 秦皇島 066004; 2.秦皇島福電實業集團有限公司工程部,河北 秦皇島 066000)

運動精度是評價機構質量的重要考核指標.針對碼垛機器人四桿機構,運用矩陣法建立了機構輸入,輸出關系的運動精度分析模型.在考慮了基本尺寸誤差和運動副間隙誤差的基礎上,運用二階矩和攝動法給出了碼垛機器人四桿機構運動精度可靠性的設計方法,并結合算例求出了不同間隙誤差情況下機構位置精度的可靠性指標,并計算出其可靠度.結合可靠性的分析結果,運用可靠性靈敏度技術在算例中給出了碼垛機器人四桿機構各隨機參數可靠性靈敏度的變化規律.

碼垛機器人; 連桿機構; 運動副間隙; 尺寸誤差; 可靠性; 靈敏度

碼垛機器人四桿機構運動精度可靠性的高低會直接影響機器人的正常使用.影響機構運動精度可靠性的因素有很多,常見的有尺寸加工誤差、彈性變形和運動副間隙誤差等.國內外眾多學者對于機構運動精度的可靠性問題進行了很多研究.

文獻[1]以矩陣法建立了機構運動精度誤差分析模型.文獻[2]通過對6_PUS并聯機器人的運動誤差運用單支鏈D-H參數方法和攝動法進行建模,得到了典型運動模式的誤差變化規律.文獻[3-5]探討了運動副間隙誤差對機構運動輸出精度的影響.文獻[6-7]分別對3-CRPa純移動并聯機構和3SPR并聯機構進行了運動學特性的分析.文獻[8-9]對于平面連桿機構運動精度可靠性靈敏度進行了設計.文獻[10-11]利用Edgeworth級數建立了不完全概率信息條件下的機構運動性能系統可靠性分析方法.

現有機構運動精度可靠性理論大多著眼于機構運動精度模型的仿真和考慮機構部分影響因素的可靠性靈敏度設計.本文在考慮連桿機構的基本尺寸誤差和運動副間隙誤差兩方面因素的同時,將連桿機構的運動精度模型與可靠性理論相結合,對圖1小臂所在的碼垛機器人四桿機構進行了運動精度可靠性及可靠性靈敏度計算.

圖1 碼垛機器人結構簡圖Fig.1 The diagram of palletizing robot structure

1 機器人連桿機構運動精度可靠性模型

1.1 運動精度可靠性功能函數設計

機器人連桿機構運動約束方程的一般形式:

F(U,V,L)=0

(1)

式中

F=[f1,f2,…,fλ]T,具有λ個獨立的約束方程組;

U=[u1,u2,…,uλ]T,機構的輸出參數矢量;

V=[v1,v2,…,vn]T,機構的輸入參數矢量;

L=[l1,l2,…,lm]T,機構的結構參數矢量.

對方程組(1)微分[12],以增量形式表示:

(2)

式中,?F/?UT,?F/?VT和?F/?LT為雅克比矩陣.

僅考慮碼垛機器人四桿機構誤差[13],即ΔV=0,由式(2)可解得的輸出誤差向量為:

(3)

式中,ΔL為構件L的誤差向量.

為了使碼垛機器人四桿機構能夠正常工作,必須使其輸出的運動誤差在允許的精度誤差范圍內,即

(4)

式中,

ε=[ε1,ε2,…,εn]T,為四桿機構允許輸出運動誤差向量.

應用二階矩和攝動方法[14-18],構建碼垛機器人四桿機構運動精度功能函數:

g(ε,ΔU)=ε-ΔU

(5)

四桿機構運動位置輸出誤差的允許值ε與實際輸出誤差ΔU是相互獨立的隨機變量,其相關的隨機變量服從正態分布.

定義四桿機構運動精度的可靠性指標為:

(6)

式中μg——功能函數的均值;

σg——功能函數的標準差.則可靠度的一階估計量為:

R=Φ(β)

(7)

式中，Φ(°)為標準正態分布函數.

1.2 連桿機構運動精度可靠性靈敏度設計

對于碼垛機器人四桿機構,根據可靠性靈敏度定義[18],即為可靠度對基本向量X=[δ,l1,…,ln]T的偏導數:

(8)

式中

2 考慮基本尺寸誤差及機構運動副間隙誤差的四桿機構可靠性分析

2.1 考慮基本尺寸誤差的四桿機構可靠性分析

四桿機構的基本尺寸誤差即各桿件的幾何長度誤差,主要是由于加工制造造成的.本節就連桿基本尺寸誤差對碼垛機器人四桿機構可靠性的影響進行分析.

如圖2所示為碼垛機器人的四桿機構簡圖,以輸出角α2和α3為研究對象,則輸出向量為:U=[α2,α3]T,輸入向量V=α1,結構參數向量:L=[l1,l2,l3,l4]T,各結構尺寸參數滿足正態分布規律.

圖2 碼垛機器人四桿機構Fig.2 Four bar linkage of palletizing robot

根據鉸接四桿機構運動分析,建立輸入與輸出關系模型:

(9)

四桿機構輸出參數的雅克比矩陣:

四桿機構結構參數的雅克比矩陣:

由上述分析可將有關量代入相關公式可解出考慮基本尺寸誤差影響的平面四桿機構的運動精度可靠度及可靠性靈敏度.

2.2 機構運動副間隙誤差理論

機構的運動副間隙誤差主要是由生產制造和不合理裝配以及運動副長時間運行磨損造成的.Lee在1991年提出“有效長度模型”理論[19],對于鉸鏈式運動副建立了可靠性分析模型.如圖3所示即為鉸鏈連接示意圖.銷軸的中心在誤差圓范圍內隨機分布.誤差圓半徑由套孔直徑和銷軸直徑差來決定.

圖3 關節鉸接示意圖Fig.3 Diagram of hinge joint

圖4為鉸鏈運動副有效連接示意圖,設P為套孔中心,C點是銷軸中心,連桿OP長為l.由于運動副間隙的影響,OC為有效連桿長度,設為R.由幾何關系得出:

(10)

式(10)中,x,y為銷軸中心的局域坐標.P為局域坐標的圓心,x以OP方向為正方向.

Rc=(d套孔-d銷軸)/2

(11)

式(11)中,Rc為運動副的徑向誤差,也即誤差圓半徑.

圖4 運動副有效連接模型Fig.4 Kinematic pair effective connection model

對成批構件抽樣后會發現距離O點長度為R的銷軸中心C是在半徑為Rc的誤差圓內隨機分布的,也即x,y的分布為標準正態分布,所以有:

E(x)=E(y)=0

(12)

又因為:

(13)

由概率統計知識易得:

(14)

由式(11)和式(20)可得:

(15)

2.3 同時考慮基本尺寸誤差和運動副間隙誤差的四桿機構可靠性分析

根據上述理論及其及其分析結果,推導同時考慮基本尺寸誤差和運動副間隙誤差兩種因素影響下的碼垛機器人四桿機構運動精度可靠性及可靠性靈敏度計算方法.設桿l1,l2,l3,l4的有效長度為R1,R2,R3,R4,桿l1與機架支座之間的鉸鏈徑向間隙為RC1,l1與l2之間的鉸鏈徑向間隙為RC2,l2與l3之間的鉸鏈徑向間隙為RC3,l3與機架之間的鉸鏈徑向間隙為RC4.

根據上述理論,用有效長度R代替實際桿長,代入式(9),得:

(16)

由式(10)可得其均值滿足:

E2(R)=E2(l)+2E(l)E(x)+E2(x)+E2(y)

又由式(12)可得桿件有效長度和實際長度的期望值相同,即E(R)=E(l),所以同時考慮尺寸誤差和運動副間隙誤差情況下的輸出誤差期望和只考慮尺寸誤差時的期望相同,給定允許誤差不發生變化,可以得到用有效長度R代替桿長l后,對碼垛機器人四桿機構輸出誤差的期望μg沒有影響.

同時考慮基本尺寸誤差和運動副間隙誤差的某一桿的有效桿長的運動精度輸出誤差的方差為:

(17)

式中D(ΔRi)——某一桿有效桿長的運動誤差方差;

li——某一桿的實際長度;

由式(4),式(15)和式(17)可得同時考慮基本尺寸誤差和運動副間隙誤差的碼垛機器人四桿機構輸出誤差的方差,即:

(18)

由上述分析,可計算出同時考慮兩種誤差因素影響下的碼垛機器人四桿機構運動精度的可靠性設計方法,同時也可對其進行運動精度可靠性靈敏度設計.

3 數值算例

如圖2所示,已知碼垛機器人各桿件的幾何尺寸分別為:l1=300 mm,l2=700 mm,l3=500 mm,l4=600 mm.取差變系數c=0.005.碼垛機器人四機構運動輸出角度α3的誤差允許值δ=1.5°.求四桿機構輸入角度α1在0～180°的變化范圍內輸出角度α3≤δ時的運動精度可靠度和可靠性靈敏度.

為了比較不同運動副間隙對碼垛機器人運動精度的影響程度,設置了4 組不同的間隙數值進行分析.表1中給出了碼垛機器人四桿機構4種大小不同的運動副間隙的均值和標準差,通過計算可以得到輸出角度誤差α3≤δ時的運動精度可靠度曲線如圖5所示.

表1 四桿機構4種運動副間隙的均值和標準差Tab.1 Reliability of the four bar linkage motion accuracy

圖5 碼垛機器人運動精度可靠度曲線Fig.5 The motion precision reliability curve of palletizing robot

圖6 碼垛機器人運動精度可靠性靈敏度曲線Fig.6 The motion precision reliability sensitivity curve of palletizing robot

由圖5可知碼垛機器人運動精度可靠度在0-90°的變化范圍內,隨著輸入角度的增加而增加.而且可靠度隨著運動副間隙誤差的增大而降低.在90°-180°的范圍內碼垛機器人運動精度保持高可靠度,運動副間隙誤差對其影響較小.

在可靠度的分析基礎上,為了分析四桿機構各桿長參數對于碼垛機器人可靠性的影響程度可以由式(8)計算得到如圖6所示的不考慮運動副間隙誤差情況下的碼垛機器人四桿機構的運動精度可靠度R對基本隨機參數X=[δ,l1,l2,l3,l4]T的均值的可靠性靈敏度曲線.

從圖6中的靈敏度曲線可以看出隨著碼垛機器人輸入角度的不斷增加,桿長l1,l2,l3,l4的可靠性靈敏度絕對值和誤差允許值δ的靈敏度數值逐漸降低并在輸入角度接近90°的時候趨于0.由上述分析可知:適當增加桿長l1及l2的均值可以提高四桿機構的輸出位置精度可靠度;但增加桿長l3及l4的均值,將會使四桿機構的輸出位置精度可靠度降低.

4 結論

(1) 通過對碼垛機器人四桿機構輸入角度的運動精度可靠性分析結果可知:碼垛機器人輸入角度在銳角的范圍內變化時,運動精度可靠度隨著輸入角度的增加而增加,此時運動副間隙誤差對其影響較大;在鈍角的范圍內運動精度保持高可靠度;此時運動副間隙誤差對其影響較小,可忽略.

(2) 通過對碼垛機器人可靠性靈敏度曲線的分析可知適當增加桿長l1及l2的均值可以提高四桿機構的輸出位置精度可靠度;但增加桿長l3及l4的均值,將會使四桿機構的輸出位置精度可靠度降低.

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Reliability and sensitivity analysis on motional precision for palletizing robots

WANG Hai-fang1, ZHANG Heng1, HUANGFU Yi-fan1, CHU Tian-zheng1, TONG Xiao-ying2

(1.College of Control Engineering,Northeastern University at Qinhuangdao,Qinhuangdao 066004,China;2.Engineering Department,Fortune Electrical Group,Qinhuangdao 066000,China)

Due that the motional precision is an important index for mechanism quality evaluation, a motional precision model, which reflects the relationship between inputs and outputs, is established via matrix method for four-bar linkage of palletizing robots. By considering the basic dimensional error and motional pair clearance error, the motional reliability is obtained based on the first-order second-moment and perturbation methods. The reliability index is plotted with variations of motional pair clearance errors. In combination with reliability and sensitivity analyses, the reliability variation is attained.

Palletizing robot; Linkage mechanisms; motional pair clearance; Dimension error; Reliability; Sensitivity

國家自然科學基金資助項目(51475086),河北省自然科學基金資助項目(E2012407010),秦皇島科技支撐項目(201501B011)

王海芳(1976-),男,副教授,E-mail:hfwang0335@126.com

TH 122, TP 242.2

A

1672-5581(2016)06-0475-06