安全通論

摘要：給出了“石頭剪刀布”的一種“白富美”新玩法。所謂“白”，即思路清清楚楚、明明白白；所謂“富”，即理論內涵非常豐富；所謂“美”，即結論絕對數學美。安全通論的魅力也在這里得到了幽默體現。

關鍵詞： 概率；信道；安全

Abstract： In this paper， “clear， rich and charming” can be well explained the “rock scissors paper” in offensive and defensive. “Clear” means the clear thinking， “rich” refers to the rich theory connotation， and “charming” represents the harmony and singularity of mathematics. Charm of the general theory of security is also humorously shown in this paper.

probability； channel； security

利用安全通論，我們只需一張紙、一支筆，就把石頭剪刀布玩成“白富美”。所謂“白”，即思路清清楚楚、明明白白；所謂“富”，即理論內涵非常豐富；所謂“美”，即結論絕對數學美。

1 信道建模

設甲與乙玩石頭剪刀布，他們可分別用隨機變量X和Y來表示：當甲出拳為“剪刀”、“石頭”、“布”時，分別記為X=0、X=1、X=2；當乙出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為Y=0、Y=1、Y=2。根據概率論中的“大數定律”，頻率的極限趨于概率，所以甲乙雙方的出拳習慣，可以用隨機變量X和Y的概率分布表示為：

（1）Pr（X=0）=p，即甲出剪刀的概率；Pr（X=1）=q，即甲出石頭的概率；Pr（X=2）=1-p-q，即甲出布的概率。這里0

（2）Pr（Y=0）=r，即乙出剪刀的概率；Pr（Y=1）=s，即乙出石頭的概率；Pr（Y=2）=1-r-s，即乙出布的概率。這里0

同樣，我們還可以統計出二維隨機變量（X，Y）的聯合分布概率為：

（1）Pr（X=0，Y=0）=a，即甲出剪刀，乙出剪刀的概率；Pr（X=0，Y=1）=b，即甲出剪刀，乙出石頭的概率；Pr（X=0，Y=2）=1-a-b，即甲出剪刀，乙出布的概率。這里0

（2）Pr（X=1，Y=0）=e，即甲出石頭，乙出剪刀的概率；Pr（X=1，Y=1）=f，即甲出石頭，乙出石頭的概率；Pr（X=1，Y=2）=1-e-f，即甲出石頭，乙出布的概率。這里0

（3）Pr（X=2，Y=0）=g，即甲出布，乙出剪刀的概率；Pr（X=2，Y=1）=h，即甲出布，乙出石頭的概率；Pr（X=2，Y=2）=1-g-h，即甲出布，乙出布的概率。這里0

由隨機變量X和Y，構造另一個隨機變量Z=[2（1+X+Y）]mod3。由于任意兩個隨機變量都可構成一個通信信道，所以以X為輸入，以Z為輸出，我們就得到一個通信信道（X；Z），稱之為“甲方信道”。

如果在某次游戲中甲方贏，那么就只可能有3種情況：

（1）甲出剪刀，乙出布，即X=0，Y=2，這也等價于X=0，Z=0，即甲方信道的輸入等于輸出；

（2）甲出石頭，乙出剪刀，即X=1，Y=0，這也等價于X=1，Z=1，即甲方信道的輸入等于輸出；

（3）甲出布，乙出石頭，即X=2，Y=1，這也等價于X=2，Z=2，即甲方信道的輸入等于輸出。

反過來，如果甲方信道將1 bit信息成功地從發端送到了收端，那么也只有3種可能的情況：

（1）輸入和輸出都等于0，即X=0，Z=0，這也等價于X=0，Y=2，即甲出剪刀，乙出布，即甲贏；

（2）輸入和輸出都等于1，即X=1，Z=1，這也等價于X=1，Y=0，即甲出石頭，乙出剪刀，即甲贏；

（3）輸入和輸出都等于2，即X=2，Z=2，這也等價于X=2，Y=1，即甲出布，乙出石頭，即甲贏。

綜合以上正反兩方面，共6種情況，就得到一個重要引理：

引理1：甲贏一次，就意味著甲方信道成功地把1 bit信息，從發端送到了收端；反之亦然。

再利用隨機變量Y和Z構造一個信道（Y；Z），稱之為“乙方信道”，它以Y為輸入，以Z為輸出。那么，仿照前面的論述，我們可得如下引理：

引理2：乙方贏一次，就意味著乙方信道成功地把1 bit信息，從發端送到了收端；反之亦然。

由此可見，甲乙雙方玩石頭剪刀布的輸贏問題，就轉化成了甲方信道和乙方信道能否成功地傳輸信息比特的問題。根據仙農第二定理[3]，我們知道：信道容量就等于該信道能夠成功傳輸的信息比特數。所以，石頭剪刀布的游戲問題，就轉化成了信道容量問題[4]。

定理1（石頭剪刀布定理）：如果剔除“平局”不考慮（即忽略甲乙雙方都出相同手勢的情況），那么則有：

（1）對甲方來說，對任意k/n≤C，都一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得在nC次游戲中，甲方能夠勝乙方k次；如果在某m次游戲中，甲方已經勝出乙方u次，那么一定有u≤mC。這里C是甲方信道的容量。

（2）針對乙方來說，對任意k/n≤D，都一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得在nD次游戲中，乙方能夠勝甲方k次；如果在某m次游戲中，乙方已經勝出甲方u次，那么則有u≤mD。這里D是乙方信道的容量。

（3）如果CD，那么整體上甲方會贏；如果C=D，那么甲乙雙方勢均力敵。

下面我們就來分別計算甲方信道和乙方信道的信道容量。

（1）甲方信道（X；Z）的轉移概率矩陣P，該矩陣為3X3階，則有：

使用信道轉移概率矩陣P來計算信道容量，解方程組 [Pa=b]，其中a為列向量，則有：

我們可根據公式（1）來判斷轉移概率矩陣P。

（a）若P可逆，則此時有唯一解，即[a=P-b]，可計算[C=log2（j=022aj）]

則有：

由公式（3）得到達到信道容量的X的概率分布，如果所有PX（i）滿足大于等于0，則可確認信道容量為C。

（b）若P不可逆，則方程有多組解，重復上述步驟，計算出多個C，按上述步驟分別計算各自的PX（i），通過判定是否滿足大于等于0，舍去不滿條件的解C。

（2）我們再來看乙方信道（Y；Z），首先它的轉移概率矩陣Q，該矩陣為3X3階，則有：

我們使用信道轉移概率矩陣Q來計算乙方信道容量，解方程組 [Qw=u]，其中w，u為列向量，則有：

我們可以根據公式（4）來判斷轉移概率矩陣Q。

（a）若Q可逆，則此時有唯一解，即[w=Q-u]，計算[D=log2（j=022wj）]，則有

[Qz（j）=2wj-D]（ j=0，1，2）

[Qz（j）=j=02Qy（i）Q（i，j）] （i=0，1，2） （5）

由公式（5）得到達到信道容量的X的概率分布，如果所有QY（i）滿足大于等于0，則可確認信道容量為D。

（b）若Q不可逆則方程有多組解，重復上述步驟，計算出多個D，按上述步驟分別計算各自的QY（i），通過判定是否滿足大于等于0，舍去不滿條件的解D。

2 巧勝策略

根據定理1，可知甲乙雙方在石頭剪刀布游戲中的勝負，其實已經事先就“天定”了，某方若想爭取更大的勝利，那么他就必須努力“改變命運”。下面分幾種情況來考慮：

（1）兩個傻瓜之間的游戲。所謂兩個傻瓜，意指甲乙雙方都固守自己的習慣，無論過去的輸贏情況怎樣，他們都按既定習慣“出牌”。這時，從定理1，我們已經知道：如果CD，那么整體上甲方會贏；如果C=D，那么甲乙雙方勢均力敵。

（2）一個傻瓜與一個智者之間的游戲。如果甲是傻瓜，他仍然堅持其固有的習慣出牌，那么雙方對抗足夠多的次數后，乙方就可以計算出對應于甲方的隨機變量X的分布概率p和q，以及相關的條件概率分布，并最終計算出甲方信道的信道容量；然后，再通過調整自己的習慣，增大自己的“乙方信道”的信道容量，從而使得后續的游戲對自己更有利，甚至使乙方信道的信道容量大于甲方信道的信道容量，最終使得自己穩操勝券。

（3）兩個智者之間的游戲。如果甲和乙雙方，都隨時在總結對方的習慣，并對自己的出牌習慣做調整，即增大自己的信道容量。那么最終，甲乙雙方的信道容量值將趨于相等，即他們之間的游戲競爭將趨于平衡，達到動態穩定的狀態。

3 簡化版

下面，我們再給出一個更抽象、更簡捷的解決辦法。

設甲與乙玩石頭剪刀布，他們可分別用隨機變量X和Y來表示：當甲出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為X=0、X=1、X=2；當乙出拳為剪刀、石頭、布時，分別記為Y=0、Y=1、Y=2。根據概率論中的大數定律，頻率的極限趨于概率，所以甲乙雙方的出拳習慣，可以用隨機變量X和Y的概率分布表示為：

石頭剪刀布游戲的輸贏規則是：若X=x，Y=y，那么甲（X）贏的充分必要條件是：（y-x）mod3=2。

現在我們構造另一個隨機變量F=（Y-2）mod3。考慮由X和F構成的信道（X；F），即以X為輸入，以F為輸出的信道。那么，就有如下事件等式：若在某個回合中，甲（X）贏了，那么，就有（Y-X）mod3=2，從而得出F=（Y-2）mod3=[（2+X）-X]mod3=X，也就是說：信道（X；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F）。換句話說，1個比特就被成功地在該信道中被從發端傳輸到了收端。

反過來，如果1個比特就被成功地在該信道中被從發端傳輸到了收端，那么就意味著信道（X；F）的輸入（X）始終等于它的輸出（F），也就是說：F=（Y-2）mod3=X，這剛好就是X贏的充分必要條件。

結合上述正反兩個方面的論述，就有：甲（X）贏一次，就意味著信道（X；F）成功地把1 bit信息，從發端送到了收端；反之亦然。因此，信道（X；F）也可以扮演甲方信道的功能。

類似地，若記隨機變量G=（X-2）mod3，那么信道（Y；G）就可以扮演乙方信道的角色。

而現在信道（X；F）和（Y；G）的信道容量形式會更簡捷，分別是：

這里的最大值，是針對所有可能的txy和px而取的，所以它實際上是q0、q1、q2的函數。

這里的最大值，是針對所有可能的txy和qy而取的，所以它實際上是p0、p1、p2的函數。

4 結束語

“攻防”是安全的核心，所以在建立安全通論的過程中，多花一些精力去深入研究攻防也是值得的。

文章研究的石頭剪刀布游戲則是一種“非盲對抗”，但由于它的普及率極高（幾千年來，全世界每個人在童年時代幾乎都玩過），所以我們以單獨一篇論文的形式來研究它。有關其他一些有代表性的非盲對抗，我們將在隨后的文章中研究。

參考文獻

[1] 楊義先， 鈕心忻. 安全通論（1）之“經絡篇”[EB/OL]. [2015-12-08] http：//blog.sciencenet.cn/blog-453322-944217.html

[2] 楊義先，鈕心忻. 安全通論（2）：攻防篇之“盲對抗”[EB/OL].[2016-01-01] http：//blog.sciencenet.cn/blog-453322-947304.html

[3] THOMAS M C， THOMAS J A. 信息論基礎 [M]. 阮吉壽，張華， 譯. 北京： 機械工業出版社出版， 2007

[4] LIN S， DANIEL J C. 差錯控制碼 [M]. 北京： 機械工程出版社，2007