遺傳算法優(yōu)化乘積混料試驗(yàn)最佳配比條件的研究*

趙 磊吳小娟，2任 雯王 祥王華芳魏 珍仇麗霞△

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遺傳算法優(yōu)化乘積混料試驗(yàn)最佳配比條件的研究*

趙 磊1吳小娟1，2任 雯1王 祥1王華芳1魏 珍1仇麗霞1△

【提 要】 目的 評價(jià)遺傳算法在乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的實(shí)際研究中的優(yōu)化效果。方法 利用Expert Design軟件對混料設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)建立回歸模型，并利用Genetic Algorithm Platforms v1.0軟件進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，并利用Mintab16.0軟件繪制等高線圖。將遺傳算法所得結(jié)果與傳統(tǒng)的等高線法結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果 通過遺傳算法求得最佳配比分別為：氧化銣為52.4%，氧化錫為47.6%，氧化鈦為0%，且煅燒條件在500攝氏度時(shí)，焊條的使用壽命達(dá)到32.60h。使用壽命比等高線法得到的最優(yōu)值略高，說明遺傳算法能夠找到試驗(yàn)中的最佳配比及工藝條件。結(jié)論 對于乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)利用遺傳算法進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化效果理想，可進(jìn)一步應(yīng)用于醫(yī)藥學(xué)領(lǐng)域。

【關(guān)鍵詞】乘積混料試驗(yàn) 遺傳算法 單目標(biāo)優(yōu)化 最佳配比

1.山西醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室（030001）

2.濱州醫(yī)學(xué)院附屬醫(yī)院

人們常常對物品的一種或幾種特性感興趣，而這些特性指標(biāo)常與相應(yīng)的各種成分在混料中所占的比例有關(guān)［1］。在混料試驗(yàn)中各混料因素的含量必須表示成混料的百分比，且他們的總和必須等于1［2］。針對不同的混料目的，提出了適合于不同的數(shù)據(jù)的混料設(shè)計(jì)［3］。乘積混料設(shè)計(jì)通常是將混料因素的單形重心或單形格子設(shè)計(jì)與另一類因素的二水平因素設(shè)計(jì)相乘構(gòu)造試驗(yàn)方案［1］。雖然乘積混料設(shè)計(jì)理論已有一定的發(fā)展，2000年陳忠菊在含有過程變量的混料系統(tǒng)中使用Scheffe正則多項(xiàng)式加過程變量二次多項(xiàng)式模型［3］，但在醫(yī)藥學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用報(bào)道還較少。90年代以來，迅速發(fā)展起來的遺傳算法是一種全局擇優(yōu)的優(yōu)化算法，能夠有效的解決優(yōu)化問題。它在工程與科學(xué)研究中得到廣泛應(yīng)用，但在乘積混料設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用還少見。

本文引用乘積混料試驗(yàn)文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)使用遺傳算法來解決含有混料約束條件的乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，為其提供合理的配方配比及工藝條件。此方法可以為最佳藥物配比等醫(yī)藥學(xué)熱點(diǎn)問題的研究奠定一定的理論基礎(chǔ)。

方法與資料

1.乘積混料設(shè)計(jì)

若設(shè)有p個(gè)混料因素x1，x2，…，xp，k個(gè)過程變量z1，z2，…，zk，滿足p-1 + k＜N，這里N為總試驗(yàn)次數(shù)，在通常試驗(yàn)中，K≤6。通常是將混料因素的單純形重心或單純形格子設(shè)計(jì)與另一類因素的二水平因素設(shè)計(jì)相乘構(gòu)造實(shí)驗(yàn)方案，故稱為乘積混料設(shè)計(jì)。對于含有過程變量的混料試驗(yàn)，通常有兩種設(shè)計(jì)與分析方法。

（1）獨(dú)立變量法：將p個(gè)混料因素變換為p-1個(gè)獨(dú)立變量，w1，w2，…，wp-1。通常將變量wi（i =1，2，…，p-1）稱為混料關(guān)系變量。此種設(shè)計(jì)方法即是將混料關(guān)系變量和過程變量這兩種類型的獨(dú)立變量集合組成一個(gè)獨(dú)立變量集合，而后進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)計(jì)。此時(shí)，回歸模型為：

式中ε為服從（0，σ2）分布的隨機(jī)誤差。顯然，在模型含有過程變量的混料問題實(shí)際上是一個(gè)（p-1 +K）個(gè)獨(dú)立變量的回歸設(shè)計(jì)問題，通常zj（j =1，2，…，K）取二水平，故可用單形-重心2k設(shè)計(jì)安排實(shí)驗(yàn)方案，即在單形-重心設(shè)計(jì)2p-1個(gè)點(diǎn)的每一個(gè)點(diǎn)上都配置一套完全2k因素安排，或用單形-重心，即在zj的2k個(gè)組合的每一個(gè)點(diǎn)上都用單形-重心設(shè)計(jì)來配置一套混料試驗(yàn)。事實(shí)上這都是2p-1單形-重心設(shè)計(jì)與2k因素設(shè)計(jì)的相乘，即單形-重心設(shè)計(jì)*因素設(shè)計(jì)，即一種乘積混料設(shè)計(jì)。

（2）混料試驗(yàn)法：原封不動的將p個(gè)混料因素xi（i =1，2，…，p）與K個(gè)過程變量zj（j =1，2，…，K）相組合，再使用單形格子設(shè)計(jì)安排實(shí)驗(yàn)方案。此時(shí)回歸模型為

Scheffe在考慮包含過程變量的混料問題時(shí)，把典型多項(xiàng)式模型中的系數(shù)看成是過程變量的多項(xiàng)式函數(shù)，這樣得到的模型就是一個(gè)乘積模型，一個(gè)完全單純形重心設(shè)計(jì)*因子設(shè)計(jì)，即在（2k-1）個(gè)單純形重心設(shè)計(jì)點(diǎn)上，對一個(gè)過程變量進(jìn)行完全因子試驗(yàn)，這個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是一個(gè)乘積設(shè)計(jì)。

乘積混料設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)步驟：第一步，確定混料試驗(yàn)的區(qū)域。第二步，通過坐標(biāo)變換引入中間變量vi。第三步，通過正交變換引入中間變量ωi。第四步，進(jìn)行混料設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)方案。

2.遺傳算法

遺傳算法通過交叉、變異、選擇來實(shí)現(xiàn)，交叉和變異可產(chǎn)生下一代，其好壞根據(jù)適應(yīng)度衡量，根據(jù)適應(yīng)度的大小選擇一定數(shù)量的個(gè)體，再繼續(xù)進(jìn)化，經(jīng)幾代后，其收斂于最優(yōu)的種群。遺傳算法的基本過程［6］如下：①隨機(jī)產(chǎn)生初始染色體種群。②評價(jià)染色體的優(yōu)劣。③選擇優(yōu)良的染色體作為新的種群。④交叉產(chǎn)生新的基因，組成進(jìn)化程度更高的種群。⑤通過變異挖掘種群中個(gè)體的多樣性，避免局部最優(yōu)解的弊病。經(jīng)過上述5個(gè)步驟繼續(xù)對新的后代重復(fù)進(jìn)行選擇、交叉、變異，經(jīng)過一定代數(shù)的進(jìn)化就可以得到最好的染色體。

3.數(shù)據(jù)資料

引用文獻(xiàn)《A mixture design approach to the service life and the oxygen evolving catalytic activity of Ru-Sn-Ti ternary oxide coated electrodes》中的數(shù)據(jù)［7］。采用乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)，研究氧化銣、氧化錫、氧化鈦的不同比例以及不同煅燒溫度對焊條使用壽命的影響。三種氧化物的百分比為x1、x2、x3，滿足x1+ x2+ x3=1，過程變量即煅燒溫度為z，當(dāng)z =-1為400℃，z =+1 為500℃，使得焊條的使用壽命y達(dá)到最大。根據(jù)試驗(yàn)因素和評價(jià)指標(biāo)選擇乘積混料設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)，各因素及其編碼水平的試驗(yàn)方案及結(jié)果見表1

表1　乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果

結(jié) 果

1.目標(biāo)函數(shù)的模型建立

分別用x1、x2、x3表示涂層溶液中三種金屬氧化物氧化銣、氧化錫、氧化鈦的百分比，用y表示焊條使用壽命，利用Expert Design軟件建立Scheffe多項(xiàng)式回歸模型。

當(dāng)z =-1時(shí)，即煅燒溫度在400℃時(shí)，R2=95.26%

當(dāng)z =1時(shí)，即煅燒溫度在500℃時(shí)，R2=85.56%

約束條件為：x1+ x2+ x3=1

2.等高線法優(yōu)化結(jié)果

利用統(tǒng)計(jì)軟件mintab16.0繪制三維曲面圖和等高線圖：當(dāng)z1=-1（煅燒溫度=400℃），三維曲面圖1可以直觀看出測試函數(shù)的極大值大約在13左右的水平，等高線圖2是圖1的投影，通過等高線圖我們可以直觀的得到在約束范圍內(nèi)等高線上較優(yōu)的值13.1730；當(dāng)z1=1（煅燒溫度=500℃），三維曲面圖3可以直觀看出測試函數(shù)的極大值大約在30左右的水平，等高線圖4是圖3的投影，通過等高線圖我們可以直觀的得到在約束范圍內(nèi)等高線上較優(yōu)的值32.5952。因此，等高圖法得到的最優(yōu)解為：x1=0.5236，x2=0.4736，x3=0.0028；焊條使用壽命為32.5952h。

圖1　焊條使用壽命曲面圖（煅燒溫度=400℃）

圖2　焊條使用壽命等高線圖（煅燒溫度=400℃）

3.遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

以構(gòu)建的回歸模型為目標(biāo)評價(jià)函數(shù)，在其約束條件下，利用Genetic Algorithm Platforms v1.0軟件進(jìn)行優(yōu)化，其參數(shù)設(shè)置為：

Problem Kind：function extremum Valid algorithms：decimal code

Crossover rate：0.8 Mutation rate：0.03

Population：100 Max time：5 Minute

由進(jìn)化曲線圖可知，焊條使用壽命的進(jìn)化圖（z =-1）即煅燒溫度在400℃，大約在進(jìn)化50代以后，搜索結(jié)果穩(wěn)定，目標(biāo)函數(shù)的最大進(jìn)化值穩(wěn)定在13.0h的水平；焊條使用壽命的進(jìn)化圖（z =1）即煅燒溫度在500℃大約在進(jìn)化40代以后，搜索結(jié)果穩(wěn)定，目標(biāo)函數(shù)的最大進(jìn)化值穩(wěn)定在32.0h的水平。

表2給出了遺傳算法40次的運(yùn)行結(jié)果，由進(jìn)化結(jié)果可知，當(dāng)z =-1時(shí)在約束條件范圍內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)的值基本穩(wěn)定在13h左右的水平上；當(dāng)z =1時(shí)在約束條件范圍內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)的值基本穩(wěn)定在32h左右的水平上目標(biāo)穩(wěn)定、精確，顯示遺傳算法在全局范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解。

圖3　焊條使用壽命曲面圖（煅燒溫度=500℃）

圖4　焊條使用壽命等高線圖（煅燒溫度=500℃）

圖5　焊條使用壽命的進(jìn)化圖（煅燒溫度在400℃）

圖6　焊條使用壽命的進(jìn)化圖（煅燒溫度在500℃）

表2　焊條使用壽命解方案

由表2可知，焊條涂層液的最優(yōu)配比條件可取39號方案，此時(shí)焊條的使用壽命可達(dá)到32.0629h，求得涂層溶液中三種金屬氧化物RuO2、SnO2、TiO2的最佳配比分別為52.40%、47.60%、0，且煅燒溫度也是1水平，即500℃，此時(shí)焊條使用壽命達(dá)到32.6029h。

4.等高線法與遺傳算法優(yōu)化效果比較

表3　等高線法與遺傳算法優(yōu)化效果比較

等高圖法求得涂層溶液中三種金屬氧化物RuO2、SnO2、TiO2的最佳配比分別為52.36%、47.36%、0.28%時(shí)，且煅燒溫度為1水平，即500℃，此時(shí)焊條使用壽命達(dá)到32.5952h；遺傳算法求得涂層溶液中三種金屬氧化物焊條使用壽命達(dá)到32.6029h比等高線法結(jié)果略高，且其最佳配比條件基本一致。說明遺傳算法應(yīng)用于乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)，為其提供了一種較好的優(yōu)化方法，且遺傳算法提供了一系列較好的配方配比，使得焊條使用壽命較高，可供研究者根據(jù)實(shí)際情況選擇。

討 論

目前，國內(nèi)外對于混料設(shè)計(jì)的研究主要集中于醫(yī)藥學(xué)，農(nóng)業(yè)，輕工業(yè)領(lǐng)域，主要用到的優(yōu)化方法有等高線法、加權(quán)法、爬山法等。這些方法存在著主觀性強(qiáng)和只能在局部尋找最優(yōu)的問題，不能很好的解決實(shí)際問題。因此，這些方法在應(yīng)用中存在很大的盲目性，一定程度上限制了研究的合理性、科學(xué)性［10］。近些年發(fā)展的遺傳算法是一種模擬生物自然進(jìn)化的隨機(jī)優(yōu)化搜索方法，具有非常廣泛的應(yīng)用范圍。它強(qiáng)調(diào)尋找全局最優(yōu)點(diǎn)，可在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法無解的情況下進(jìn)行極大值的尋優(yōu)。

本文介紹的乘積混料設(shè)計(jì)主要應(yīng)用于含有不同于混料因素的另一種類型因素的混料問題中，混料試驗(yàn)結(jié)果除了受混料因素的影響，還與溫度、時(shí)間等過程變量有關(guān)；所謂的過程變量即是與混料組分無關(guān)，而在科研或生產(chǎn)過程中根據(jù)實(shí)際需要所取的變量。本文所選用的例子即為典型的乘積混料設(shè)計(jì)，焊條的使用壽命不僅與焊條表面涂層溶液中金屬氧化物的比例有關(guān)，還與其煅燒溫度有關(guān)。利用遺傳算法進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化尋找最佳的配比及工藝條件，所得最優(yōu)結(jié)果為氧化銣52.4%，氧化錫47.6%，氧化鈦0%，煅燒溫度為500℃。結(jié)果表明：遺傳算法與傳統(tǒng)的等高線法相比，其最佳配比條件基本一致，且結(jié)果略高于等高線法，但由于等高線法在選取最佳配比方案時(shí)具有較大的主觀性，因此，利用遺傳算法優(yōu)化乘積混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的效果是令人滿意的，為公共衛(wèi)生事業(yè)資源分配以及最佳藥物配比等醫(yī)藥學(xué)熱點(diǎn)問題提供可行的方法，以正確的指導(dǎo)醫(yī)藥學(xué)研究中的混料試驗(yàn)問題。

參考文獻(xiàn)

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（責(zé)任編輯：鄧 妍）

A Study of Genetic Algorithm to Optimize the Best Proportion and Processing Conditions of Product Mixture Design

Zhao Lei，Wu Xiaojuan，Ren Wen，et al.（Shanxi Medical University（030001），Taiyuan）

【Abstract】Objective To evaluate the optimizations of product mixture design based on genetic algorithm.Method Using expert design software to establish a regression model，using Genetic Algorithm Platforms v1.0 software to achieve single objective optimization with the data from mixture design and using Mintab16.0 software to draw contour plot.Compare the result from genetic algorithm and contour method.Results The best proportion calculated by genetic algorithm are rubidium oxide 52.4%，tin oxide 47.6%，titanium oxide 0%and the condition of calcinations at 500℃.The electrode service life reach up to 32.60h，the service life is a little higher that contour method.It indicates that using genetic algorithm can find the optimum proportion and technological conditions in product mixture design.Conclusion For product mixture design，using genetic algorithm to achieve single objective optimization，the effect is satisfactory.The method can be extended applied into the medicine field.

【Key words】Product mixture design；Genetic algorithm；Single objective optimization；Optimum proportion

*基金項(xiàng)目：山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2013011059-3）

通信作者：△仇麗霞，E-mail：qlx1126@163.com