非圓內齒輪三軸聯動插齒加工技術研究

李　波　何　君　鄭方焱　陳定方　吳俊峰　呂小波　吳又安

1.武漢理工大學，武漢，430063　　2.湖北行星傳動設備有限公司，黃岡，438000

非圓內齒輪三軸聯動插齒加工技術研究

李波1何君1鄭方焱1陳定方1吳俊峰2呂小波2吳又安2

1.武漢理工大學，武漢，4300632.湖北行星傳動設備有限公司，黃岡，438000

摘要：利用非圓齒輪節曲線的法向量得到了基于包絡模型的非圓內齒輪插齒加工聯動模型，并給出了非圓內齒輪在設計時避免根切的條件。同時，針對非圓內齒輪在插齒加工過程中可能出現的讓刀干涉問題，給出了相應的判定條件及讓刀方法。通過計算機仿真和實際加工驗證了上述模型及讓刀方法的正確性。

關鍵詞：非圓內齒輪；插齒模型；讓刀干涉；插齒加工

0引言

目前非圓齒輪的加工方法主要有線切割加工、插齒加工和滾齒加工[1-2]。但是，利用慢走絲電火花線切割加工非圓齒輪效率不高，不適合大批量加工，并且手工編程也比較麻煩[3]；滾齒加工非圓齒輪效率比較高，但是無法加工節曲線內凹的非圓外齒輪以及非圓內齒輪[4]。而插齒加工則能夠很好地解決上述問題，能夠實現非圓內齒輪的插齒加工。

本文根據非圓齒輪節曲線法向量得到了非圓內齒輪的插齒加工三軸聯動模型[5]。利用該模型可以在通用的三軸數控插齒機床上進行非圓內齒輪的插齒加工， 相比于其他的在四軸甚至五軸數控插齒機上進行的非圓齒輪加工，該加工方法大大節省了加工成本。在分析三軸插齒機床插削非圓內齒輪產生讓刀干涉的原理的基礎上，本文還提出了需要讓刀的判定條件以及相應的讓刀方法，規避了讓刀干涉問題，實現了非圓齒輪的連續插齒加工。

此外，由于非圓齒輪的加工及制造成本比較高昂，所以需要在加工前對非圓齒輪進行加工仿真，以檢驗非圓齒輪的參數設計是否合理、加工參數的選取是否得當以及是否會出現加工干涉等情況[6]，從而避免非圓齒輪設計與加工上的失誤，為非圓內齒輪的實際插齒加工的正確性提供保障。

1非圓內齒輪插齒加工的聯動模型

三軸聯動數控插齒機床在進行非圓齒輪的插齒加工時，其運動可分為非圓齒輪輪坯的回轉運動、插齒刀的回轉以及非圓齒輪輪坯和插刀兩者回轉中心之間距離的變化。每完成一個插齒加工動作后，插齒刀沿插刀和輪坯的中心連線方向讓刀。

圖1　非圓內齒輪的插齒加工模型

圖1所示為非圓內齒輪插齒加工時的聯動數學模型。插齒加工的基本原理是插齒刀的節圓與非圓齒輪節曲線相切并做純滾動，即保證刀具的節圓在齒坯節曲線上滾過的弧長等于刀具節圓繞其自身回轉中心轉過的弧長，實現插齒刀分度圓(此時等于節圓)在非圓齒輪節曲線上的法向純滾動[7]。在非圓齒輪的回轉中心建立一個固定的直角坐標系ox0y0，P點是當極角為φ時非圓齒輪節曲線與插齒刀分度圓的切點，P′點為加工起始位置即φ=0時插刀與非圓齒輪節曲線的切點。向量t是P點處的單位切向量，向量n為P點處的單位法向量。另外，在插齒刀的回轉中心建立一個隨動坐標系o1x1y1，其x1軸方向與P點處的法向量n方向剛好相反，其y1軸方向與P點處的法向量t方向一致，并且插齒刀的半徑o1P=r0。設非圓齒輪的節曲線方程為r(φ)，則切點P的坐標為

(1)

P點處的切向量t0為

(2)

故其單位切向量t為

(3)

令切向量t=(tx,ty)T，使用右手坐標系，規定加工內齒輪時其法向量的正方向指向節曲線的內側。由式n·t=0，可得如圖1所示單位法向量n為

(4)

(5)

現將坐標系o1x1y1中插齒刀中心o1點的坐標轉換到坐標系ox0y0中，由曲線的法向量等距線可得

(6)

在△oPo1中，可知插齒刀中心與齒坯中心的距離

(7)

P點處的法向量與插刀和輪坯中心連線之間的夾角β為

(8)

故插刀的回轉角ψ為

ψ=θ+β-π

(9)

插齒刀初始位置到φ時對應的中心極角γ為

(10)

所以非圓齒輪輪坯的轉角φ為

φ=φ-γ

(11)

由上述模型可知，非圓齒輪在進行插齒加工時，三軸數控插齒機床各軸的運動方程為

(12)

根據上述插齒刀的轉角ψ、工件的轉角φ以及插齒刀和工件回轉中心之間的距離a這三個參數與極角φ之間的關系，再進行相應的坐標變換即可得到非圓內齒輪的插刀包絡模型[8]，最后就可以進行非圓內齒輪的插齒加工編程。

2非圓內齒輪插齒加工前的根切校驗

用插齒刀加工非圓齒輪時可能會產生根切，這種現象和圓齒輪的根切現象類似。為了避免根切，在設計非圓齒輪節曲線時要對其進行根切校驗[9-10]。非圓齒輪的節曲線不是圓，其上各點處的曲率半徑是不同的，當處于節曲線曲率半徑最小的位置時最容易發生根切。當節曲線為r(φ)時，根據微分幾何知識，節曲線上各點的曲率半徑的計算式為

(13)

(14)

(15)

圖2　非圓齒輪插齒加工時的根切校驗

(16)

當所設計的非圓內齒輪節曲線的參數滿足上述條件時，就能夠避免根切現象的產生。

3非圓內齒輪在插齒加工時的讓刀問題

數控插齒機在進行非圓齒輪插齒加工時，有兩種讓刀方式：沿中心連線讓刀和沿節曲線法線讓刀。從理論上來講，沿節曲線法線方向讓刀的方式更好，可以切制出精度很高的非圓齒輪，但是這種方法至少需要四軸聯動的插齒機床來滿足加工中的所有運動，加工成本比較高。而通用的三軸聯動數控插齒機床，其讓刀運動是通過機床的讓刀機構實現的，其讓刀方向固定為插齒刀與待加工齒輪的中心連線方向，即沿中心連線方向讓刀。

圖3所示為插削非圓內齒輪時的讓刀位置。P點為插齒刀和非圓齒輪節曲線的切點。N1-N1和N2-N2為插齒刀上的齒輪瞬時嚙合線，它們與P點處節曲線的法線N-N之間的夾角為70°。

圖3　非圓內齒輪插齒加工時的讓刀判別原理

經研究，當插齒刀在o1N的左右兩邊20°的范圍內讓刀時，就不會出現讓刀干涉[12]，也即插齒刀中心與非圓齒輪的中心連線與法線之間的夾角Δ1滿足以下條件時不會出現讓刀干涉問題:

Δ1=π-β=

(17)

當讓刀角Δ1≥20°時會存在讓刀干涉問題。當出現讓刀干涉時，插齒刀會將已經加工好的齒廓切掉，圖4為插齒加工過程中發生讓刀干涉的非圓齒輪，可以看到有一部分齒廓被切掉導致齒頂變尖。為了避免讓刀干涉問題，必須在主軸回程時，使插齒刀讓開一小段距離。

圖4　插齒刀與輪坯的讓刀干涉

關于讓刀干涉的問題，目前非圓內齒輪可以通過減少插齒刀齒數的方法來避免；也可以使插齒刀的回轉中心與幾何中心不一致來避免讓刀問題[13]；還有一種可行的方法是通過三軸數控插齒機床的各軸之間的聯動，在插齒刀的主軸運動到機床的下止點時，通過讓刀機構和機床的相互配合動作，使插齒刀遠離非圓齒輪一定的距離，運動到非圓齒輪節曲線的法線方向上，以此來避免讓刀干涉問題的產生。

(18)

圖5　非圓內齒輪插齒加工讓刀方法

(19)

P1點處的切向量為

(20)

(21)

(22)

根據式(22)即可解出相應的極角ε的值，再代入式(12)，計算出此時插齒刀、非圓齒輪及兩者之間中心距這三個參數的變化，即可完成非圓齒輪插齒加工時的讓刀動作。

4工程實例

4.1自動編程系統與計算機加工仿真

根據非圓齒輪插齒加工的原理及上述模型，本文利用MATLAB與Visual C++語言混合編程的方法開發了一個集仿真、加工于一體的插齒加工自動編程系統。該系統充分利用了MATLAB強大的數值分析、圖形顯示等功能以及C++語言較高的執行效率的特點，使得非圓齒輪插齒加工自動編程系統操作簡便，效率更高。該加工仿真及自動編程系統的流程如圖6所示。

圖6　加工仿真及插齒編程系統流程圖

非圓齒輪插齒加工自動編程系統采用模塊化設計，由參數輸入部分、動態仿真部分、代碼生成以及錯誤顯示部分組成。該系統首先對輸入的非圓齒輪的參數進行校驗，然后結合加工參數經過處理分析后進行插齒加工的動態仿真，最后輸出插齒加工G代碼，再上傳至三軸數控插齒機床即可進行非圓齒輪的插齒加工。圖7為插齒加工自動編程的系統界面。

圖7　插齒編程系統界面

以一對三階正弦傳動比非圓內齒輪的插齒加工為例，按上述方法在通用三軸聯動數控插齒機上進行插齒加工。該主動輪齒數為z1=34，壓力角為20°，模數為m=2 mm，節曲線極坐標方程為

(23)

式中，i12為非圓齒輪副的傳動比函數。

與其相嚙合的從動輪是三階正弦非圓內齒輪，其節曲線方程為

(24)

當主動輪轉過φ1角時，相應的從動輪轉角為

(25)

故可求得該加工的三階非圓內齒輪的齒數為

(26)

圖8　主動輪包絡模型及局部放大圖

圖9　非圓內齒輪包絡模型及其局部放大圖

4.2非圓內齒輪的數控插齒加工

通過上述插齒加工自動編程系統得到非圓內齒輪的加工代碼并上傳至通用三軸數控插齒機床，設定合理的加工參數，如主軸的插齒速度、進給量、機床讓刀量以及加工完成后的插齒刀讓刀量等。非圓齒輪插齒加工過程和圓柱齒輪類似，也分為3～4個循環依次加工。圖10為加工非圓內齒輪的部分加工代碼和實際插齒加工情況。

(a)加工代碼

(b)實際加工狀況圖10　非圓內齒輪的部分加工代碼與加工情況

圖11顯示了該非圓內齒輪的最終加工齒形情況，可以看到其齒形和圖9的包絡齒形形狀一致，同時沒有出現加工讓刀干涉問題，證明了上述讓刀方法的正確性。利用該讓刀方法，可以直接在通用三軸數控插齒機上加工非圓齒輪，也避免了使用回轉中心偏離幾何中心的插齒刀，降低了生產成本，同時也使加工效率有所提高。

圖11　非圓內齒輪最終齒形

圖12　局部放大齒形

圖13　非圓齒輪某齒的理論齒廓與測量值對比圖

圖12所示為非圓內齒輪的局部齒形，可以看到加工出來的非圓齒輪的齒形完整且齒面光整程度較高，經齒面粗糙度檢測儀檢測，齒面粗糙度Ra在0.7～0.9μm范圍內，滿足設計加工的要求。將三坐標測量機測得的齒廓點擬合后并與MATLAB仿真擬合生成的齒廓[14]進行對比，結果如圖13所示，可以看到測量值與對應的齒形齒廓基本一致，上述實驗結果滿足加工的要求，從而證明了該插齒加工模型以及讓刀方法的正確性。

5結論

(1)基于齒廓法向量的方法提出了非圓內齒輪的插齒加工數學模型。該模型與幾何模型相比，更加簡單，更加易于插齒加工自動編程系統的開發。

(2)提出了非圓內齒輪在插齒加工時的讓刀判定條件以及相應的讓刀方法，避免了加工過程中的讓刀干涉問題。同時對非圓內齒輪的插齒加工進行了圖形學仿真，可以為實際的插齒加工提供參考。

(3)利用通用的三軸數控插齒機床即可進行非圓內齒輪的加工，無需開發非圓齒輪插齒加工專用機床，節省了加工成本。同時通過在其上加掛非圓齒輪插齒加工自動編程系統，拓展了通用三軸數控插齒機的工藝功能，滿足了小批量低成本生產非圓齒輪的目的及需求。

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(編輯王艷麗)

Research on Three-axis Linkage Shaping Technology for Non-circular Internal Gears

Li Bo1He Jun1Zheng Fangyan1Chen Dingfang1Wu Junfeng2Lü Xiaobo2Wu Youan2

1.Wuhan University of Technology,Wuhan,430063 2.Hubei Planetary Gear Boxes Co., Ltd.,Huanggang,Hubei,438000

Abstract：According to the normal vector of gear pitch curve, a linkage model of non-circular internal gear shaping was obtained based on the model of the envelope. And the conditions were given to avoid undercutting at the design of non-circular internal gear.At the same time, in the view of non-circular internal gear shaping process, the cutter retracting conditions and the methods of cutter retracting were given. Finally, the correctness of the model was verified by computer simulation and gear shaping processes.

Key words：non-circular internal gear；shaping model；cutter retracting interference；gear shaping

收稿日期：2015-10-16

基金項目：湖北省科技支撐計劃資助項目(2014BAA024)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(165218001，165218003)

中圖分類號：TH132.424；TG659

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.007

作者簡介：李波，男，1963年生。武漢理工大學物流工程學院副教授、博士。主要研究方向為現代設計理論研究、智能設計與制造等。獲省部級科技進步二等獎2項。發表論文30余篇。何君，男，1992年生。武漢理工大學物流工程學院碩士研究生。鄭方焱，男，1988年生。武漢理工大學汽車工程學院博士研究生。陳定方，男，1946年生。武漢理工大學物流工程學院教授、博士研究生導師。吳俊峰，男，1968年生。湖北行星傳動設備有限公司高級工程師。呂小波，男，1985年生。湖北行星傳動設備有限公司助理工程師。吳又安，男，1964年生。湖北行星傳動設備有限公司工程師。