關于一類特殊的(α,β)度量的Landsberg曲率

許　飛， 曹貽鵬， 王素云

(裝甲兵工程學院基礎部, 北京 100072)

關于一類特殊的(α,β)度量的Landsberg曲率

許飛， 曹貽鵬， 王素云

(裝甲兵工程學院基礎部, 北京 100072)

摘要：在已構造的具有F=(α+β)2/α形式且含5個參量的(α,β)度量的基礎上，研究了其射影平坦的條件及S曲率，并進一步計算了該種度量的Landsberg曲率，其曲率結果為后續研究曲率間關系奠定了基礎。

關鍵詞：Finsler度量； 射影平坦； (α,β)度量； Landsberg曲率

Finsler幾何是在其度量上無二次限制的Riemann幾何，自20世紀90年代以來，關于Finsler幾何的研究有了很大的發展，尤其是對射影平坦的Finsler度量的性質及曲率形式作了較為系統的研究[1]。作為Finsler幾何的一個重要研究方向，(α,β)度量的研究也取得了長足的進步，并構造出了各種形式的射影平坦的(α,β)度量[1-2]，得到了一些好的性質和曲率結果。在此背景下，筆者在已構造的射影平坦的(α,β)度量[3]的基礎上，進一步計算了該種(α,β)度量的Landsberg曲率。

1概述

Finsler 度量中特殊而重要的一類度量是(α,β)度量[4]，它是由Riemannn度量α、1-形式β以及光滑流形M上函數φ組成，具體形式為 F=αφ(β/α)。例如：F=α+β，F=(α+β)2/2，F=α2/(α-β)等都是(α,β)度量。

Shen[5]構造了一類局部射影平坦、具有零旗曲率的(α,β)度量，形式如下：

(1)

式中： y∈TxBn=Rn，TxBn表示Bn在x點的切空間，其可以具體地看作具有F=(α+β)2/2形式的(α,β)度量，其中，

楊春紅等[2]構造了一個具有3個參數、射影平坦 、具有零旗曲率的(α,β)度量，形式如下：

(2)

式中：y∈TxBn=Rn，其也可以具體地看作具有F=(α+β)2/2形式的(α,β)度量，其中，

可見：式(2)是式(1)的推廣。

筆者[3]曾進一步推廣了式(2)，構造了一個具有5個參數的(α,β) 度量，形式如下：

(3)

式中：y∈TxBn=Rn，其也可以具體地看作具有F=α+β形式的(α,β)度量，其中，

可見：式(3)又是式(2)的推廣。在此基礎上，筆者得到了該種(α,β)度量攝影平坦的條件。

定理1[3]：設F=α+β為定義在Rn的開子集Ω上的Finsler度量，其中α為Riemann度量，β為1-形式，

筆者[3]曾進一步對該種具有5個參數的(α,β)度量計算了其S曲率，得到了較為規整的形式，并在理論中具有良好的應用。

在本文中，筆者將進一步研究得到該種形式的(α,β)度量的Landsberg曲率。

2預備知識

定義1[6]： 光滑流形M上的Finsler 度量就是TM上的一個函數F:TM→[0,+∞)，滿足：

1) 正則性，F在TM{0}上光滑；

2) 一階正齊次性，F(x,λy)=λF(x,y)，?λ>0；

則稱F是流形M上的Finsler 度量，賦予Finsler 度量F的光滑流形M稱為Finsler 流形。

如果Rn中一個開集U上的Finsler度量F在U上的測地線全是直線，即測地線σ(t)全是常向量，則稱度量F是射影平坦[5]的，其有如下2個射影平坦的等價條件:

1)F在U上的測地線全是直線。

2)F測地系數具有以下形式：

Gi(y)=p(y)yi。

式中：

F滿足

Fxkyiyk=Fxi。

定義2[7]：n維Finsler流形(M,F)上的Landsberg曲率定義為

定義3[8]： 設(V,F)是Minkowski空間，對?0≠y∈V，定義Cy:V×V×V→R上的多線性形式為

其中v1,v2,v3∈V，則稱Cy為Cartan形式， C=Cy|y∈V{0},為Cartan撓率。

根據定義，若{ei}是V的一組基且

Cijk(y)=Cy(ei,ej,ek)，

則

顯然，Cy對稱且是奇性的。

定義4[9]：流形(M,F)上的Spray是TM上的一個向量場，它在局部坐標系(xi,yi)下的形式如下：

其中Spray系數Gi(x,y)是TM{0}上的光滑函數，滿足Gi(x,λy)=Gi(x,y)且

3Landsberg曲率的計算

則其Landsberg曲率為

證明： 由于該度量是射影平坦的，Spray系數為

同理,

則

Gl(FyiylFyjyk+FyjylFyiyk+FykylFyiyj)=0。

對于如F=α+β形式的Randers度量，其Cartan形式為

則

同理可得

由于

(4)

易知

則

將上述結果代入Landsberg曲率公式

可得

可見所構造的此類度量具有常Landsberg曲率，這在微分幾何的理論和應用中具有重要的作用，為后續研究此類度量的性態奠定了基礎。

參考文獻：

[1]程新躍， 李海霞. 一類共形平坦的(α, β)-度量的研究[J]. 重慶理工大學學報(自然科學), 2014, 28(1): 112-119.

[2]楊春紅, 莫小歡. 射影平坦的(α, β)度量的構造[J]. 內蒙古大學學報(自然科學版), 2006, 37(6): 610-614.

[3]許飛, 易良海, 黃依林, 等. 關于一類特殊的(α, β)度量的S曲率[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2012, 26(4): 100-102.

[4]沈一兵, 趙俐俐. 某些射影平坦的(α, β)度量[J]. 中國科學, 2006, 36(3): 248-261.

[5]ShenZM.ProjectivlyFlatFinslerMetricsofConstantFlagCurvature[J].TransofAmerMarhSoc, 2003, 355(4): 1713-1728.

[6]黎芳, 王佳. 共形且射影相關的Finsler空間[J]. 西南師范大學學報(自然科學版)， 2005, 30(3): 405-408.

[7]許飛, 張迪, 王素云. 流行及其子流形的兩類曲率關系[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2011, 25(3): 100-102.

[8]TianHJ.OntwoClassesof(α, β)-metricwithBoundedCartanTorsion[J].AdvancesinMathematics, 2015, 44(2): 287-297.

[9]鄧義華. 一類射影平坦的多項式(α, β)度量[J]. 數學學報, 2007, 50(6): 1365-1367.

(責任編輯: 尚彩娟)

Landsberg Curvature about a Class of Special (α,β)-metrics

XU Fei, CAO Yi-peng, WANG Su-yun

( Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

Abstract：On the basis of a class of (α,β)-metrics with form of F=(α+β)2/α and five parameters, the projectively flat condition and S curvature are studied, and the Landsberg curvature of (α,β)-metrics is furthermore calculated. The curvature result lays foundation for research on the relations between curvatures.

Key words:Finsler metrics; projectively flat; (α,β)-metrics; Landsberg curvature

文章編號：1672-1497(2016)02-0108-03

收稿日期：2015-09-11

作者簡介：許飛(1981-)，男，講師，碩士。

中圖分類號：O186

文獻標志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.022