球形機器人的建模與控制研究

王志群　劉　蕾　楊　彬　董　春

(北京交通大學電子信息工程學院1，北京　100044；北京交通大學電氣工程學院2,北京　100044)

球形機器人的建模與控制研究

王志群1劉蕾2楊彬2董春2

(北京交通大學電子信息工程學院1，北京100044；北京交通大學電氣工程學院2,北京100044)

摘要：設計了一種通過三個慣性輪驅動的球形機器人，基于角動量守恒定律實現機器人移動。利用四元數及Kane方程建模方法，建立了球形機器人的完整動力學模型，給出了控制其運動的微分方程組，進而設計一個自適應模糊滑模變結構控制器，以實現對參數及動力學模型不精確的球形機器人的位置控制。為了減弱系統的抖振，通過對滑?？刂破髦械那袚Q項進行模糊逼近，使切換項連續化。軌跡跟蹤的仿真和試驗表明，該控制器在參數不確定和動力學模型不精確的系統中有良好的表現。

關鍵詞：球形機器人動力學模型四元數Kane方程滑模變結構控制自適應模糊控制減振軌跡跟蹤

VibrationreductionTrajectorytracking

0引言

球形機器人由球殼及內部驅動機構組成，它的運動原理主要為兩種：一種是通過內部驅動機構改變系統的重心位置，如輪式質量塊驅動[1]、位移質量塊驅動[2]、兩自由度擺驅動[3]等；另一種是改變系統的角動量，如雙轉子結構[4]、三自由度陀螺[5]等。

文獻[6]提出的動力學模型，只適用于球形機器人的直線運動；而文獻[7]擺桿驅動的球形機器人則采用反饋線性化的方法，設計直線軌跡跟蹤的控制器。此外，直線軌跡跟蹤控制器的設計方法還有：滑模變結構方法[8]、自適應分層滑模控制方法[9]、自適應神經模糊和滑模變結構控制相融合的方法[10]等。文獻[11]對球形機器人的模型進行線性化，忽略內部驅動機構的動力學效應，設計了一個滑模變結構軌跡跟蹤控制器；文獻[12]則基于解耦的動力學模型并忽略機器人的橫向及縱向旋轉，設計了一個模糊控制器進行運動控制。

本文將研究使用慣性輪驅動的球形機器人，并設計滑?？刂破鲗崿F平面軌跡跟蹤。為了解決抖振的問題，采用模糊系統對滑模控制器的切換項進行逼近，從而實現控制信號的連續化。

1運動學與動力學建模

1.1運動學建模

受文獻[13]、文獻[14]的啟發，本文設計了球形機器人結構。為便于建模及仿真，在此假設裝配了3個慣性輪及相對應數目配重塊的球形機器人的質心，剛好與球殼中心重合。設慣性坐標系為{1}(x1,y1,z1)。坐標系{2}(x2,y2,z2)與慣性坐標系{1}平行，原點與球心重合，坐標系{3}(x3,y3,z3)為球體坐標系，與坐標系{2}同原點，但是坐標系隨著球的旋轉而發生相應的旋轉。對于坐標系{2}與坐標系{3}之間的旋轉和平移關系，可用四元數表示如下：

(1)

(2)

由文獻[15]可知，空間角速度與旋轉四元數之間的關系可表示為：

(3)

由式(3)可計算得到球殼在坐標系{2}的角速度和角加速度：

(4)

式中：2ω1及2α1分別為球形機器人第1部分(即球殼)的角速度及角加速度向量在坐標系{2}中的描述。

球心的速度為：

2V1=2VI+2ω1×2rG/I=2ω1×Rsk2

(5)

式中：2V1為球形機器人第1部分(即球殼)質心位置的線速度向量在坐標系{2}中的描述；2VI為球形機器人與地面接觸點間的速度向量；2rG/I為球形機器人幾何中心到球殼與地面接觸點間的位置向量在坐標系{2}中的描述；Rs為球殼半徑。

(6)

(7)

由于配重塊與球殼相連，因此它們的角速度及角加速度都與球殼相等，即：

(8)

式中：i=2,3,4。

3個慣性輪相對于坐標系{1}的角速度及角加速度分別為：

[3ω5,3ω6,3ω7]=[3ω1+Ωxi3,3ω1+

Ωyj3,3ω1+Ωzk3]

(9)

(10)

各慣性輪及配重塊質心處的線速度及加速度為：

(11)

(12)

式中：i=1,2,3,4,5,6,7。

1.2動力學建模

球形機器人系統可由9個參數[q0,q1,q2,q3,x,y,θx,θy,θz]來描述，但是這些參數之間并不相互獨立。以下由Kane法來推導機器人運動微分方程。

(13)

(14)

電機轉子的慣性矩為：

(15)

電機產生的主動力矩可分別表示為：

(16)

式中：Tx、Ty、Tz為3個電機的輸出轉矩。

根據Kane法，計算出機器人各部位的線速度及角速度的偏導數為：

(17)

式中：i=1,2,3,4,5,6,7;j=1,2,3,4,5,6。

電機轉子在坐標系{4}、{5}、{6}中相對角速度的偏導數分別為：

(18)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

廣義主動力和廣義慣性力分別為：

(19)

式中：j=1,2,3,4,5,6;2Ri為球形機器人各部位所產生的主動力在坐標系{2}中的描述；3Mi為球形機器人各部位所產生的主動力矩在坐標系{3}中的描述。

(20)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

式(19)和式(20)由Kane法表述為：

(21)

式中：j=1,2,3,4,5,6。

將式(21)化為如下球形機器人全狀態運動學方程：

(22)

p=[q0,q1,q2,q3,x,y,θx,θy,θz]T

(23)

(24)

2控制系統設計

考慮建模誤差、參數變化以及其他不確定因素，式(22)可以改寫成以下形式：

(25)式中：ΔA、ΔC為建模誤差及參數不確定；D為測量噪聲及其他干擾。根據式(24)、式(25)，可改寫成以下形式：

(26)

(27)

為了跟蹤球形機器人系統的運動軌跡，系統輸出矩陣設計為H=[x,y,θz]T，對輸出矩陣取二階微分，可得：

(28)

(29)

式中：H∈R3，H2∈R3×3，d∈R3，可由式(24)得到。

2.1滑?？刂破髟O計

取球形機器人的位置及角度指令，分別為xd、yd、θzd,則軌跡的跟蹤誤差為：

e=[x-xd,y-yd,θz-θzd]T=[ex,ey,ez]T

定義切換函數為：

則：

(30)

式中：Hd=[xd,yd,θzd]T;K=[k1,k2,k3]T。

將滑?？刂坡稍O計為：

(31)

式中：usw=[ηxsgn(sx),ηxsgn(sy),ηθzsgn(sθz)]T，且ηx>E,ηy>E,ηθz>E。

由式(29)和式(30)，可得：

(32)

將式(31)代入式(32)，可得：

(33)

2.2自適應模糊滑?？刂破髟O計

由于模糊系統具有萬能逼近特性，利用自適應模糊控制方法，通過將滑?？刂破髦械那袚Q項進行模糊逼近，可將切換項連續化，從而有效地降低抖振[16]。

分別為3個跟蹤目標設計3個模糊系統，針對模糊系統輸入分別設計3個模糊子集，各有3條模糊規則。采用乘積推理機、單值模糊器和中心平均解模糊器設計模糊系統[17]，模糊系統的輸出為F，引入模糊基向量Φ(s)=[φ1(s),φ2(s),φ3(s)]T，則式(31)所表示的控制律可變為：

(34)

理想的F(s|J)為F(s|J*)=ηsgn(s)，其中η>E。

自適應律為：

J=γsφ(s)

(35)

式中:γ>0。

穩定性證明如下：

[ηx|sx|,ηy|sy|,ηθz|sθz|]T<0

3仿真及試驗

圖1 為利用自適應模糊控制方法，將跟蹤位置x滑?？刂破髦械那袚Q項進行模糊逼近。將原先的切換項連續化，能夠有效降低控制系統的抖振。

圖2為圓周運動軌跡，2條軌跡表明球形機器人能夠快速穩定地跟蹤給定的軌跡。圖3為跟蹤誤差曲線，采用曲線的形式，給出球形機器人進行圓周軌跡跟蹤時，在x方向、y方向以及繞豎直轉軸z方向的轉角和跟蹤誤差。

圖1　x方向的切換項及模糊逼近示意圖

圖2　圓周運動軌跡

圖3　跟蹤誤差曲線

4結束語

本文研究了一種通過3個慣性輪驅動的球形機器人。在對機器人進行運動分析的基礎上，利用四元數及Kane法，建立了球形機器人的完整動力學模型，并進行了相應的仿真和試驗研究。為了實現對球形機器人的軌跡跟蹤控制，設計了一個自適應模糊滑模變結構控制器。通過將滑模變結構控制器中的切換項進行模糊逼近，使切換項連續化，從而有效降低了抖振；對滿足一定條件的參考軌跡，實現了非完整機器人系統的全局漸近軌跡跟蹤控制。仿真結果證明了該控制器的有效性和正確性。

參考文獻

[1] HALME A, SCH?NBERG T, WANG Y.Motion control of a spherical mobile robot[C]// International Workshop on Advanced Motion Control (AMC), 1996.259-264.

[2] JAVADI A H, MOJABI P.Introducing august: a novel strategy for an omnidirectional spherical rolling robot[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2002:3527-3533.

[3] ZGAN Q, ZHOU T, CHEN M,et al.Dynamic trajectory planning of a spherical mobile robot[C]//IEEE International Conference on Robotics, Automation & Mechatronics (RAM), 2006:1-6.

[4] BHATTACHARYA S, AGRAWAL S K.Spherical rolling robot: A design and motion planning studies[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2000, 16(6): 835- 839.

[5] OTANI T, URAKUBO T, MAEKAWA S, et al.Position and attitude control of a spherical rolling robot equipped with a Gyro[C]//IEEE International Workshop on Advanced Motion Control (AMC), 2006:416-421.

[6] ZHAO B, LI M, YU H, et al.Dynamics and motion control of a two pendulums driven spherical robot[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2010.147-153.

[7] LIU D, SUN H, JIA Q.A family of spherical mobile robot: Driving ahead motion control by feedback linearization[C]//IEEE International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics (ISSCAA), 2008.1-6.

[8] LIU B, YUE M, LIU R.Motion control of an underactuated spherical robot: A hierarchical sliding-mode approach with disturbance estimation[C]//IEEE International Conference on Mechatronics and Automation (ICMA), 2012.1804-1809.

[9] YUE M, LIU B.Adaptive control of an underactuated spherical robot with a dynamic stable equilibrium point using hierarchical sliding mode approach[J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 2014, 28(6): 523-535.

[10]KAYACAN E, RAMON H, SAEYS W.Adaptive neuro-fuzzy control of a spherical rolling robot using sliding-mode-control-theory-based online learning algorithm[J].IEEE Transactions on Cybernetics, 2013,43(1): 170-179.

[11]LIU D L, SUN H X, JIA Q X.Stabilization and path following of a spherical robot[C]//IEEE International Conference on Robotics, Automation and Mechatronics (RAM), 2008.676-682.

[12]KAYACAN E, BAYRAKTAROGLU Z Y, SAEYS W.Modeling and control of a spherical rolling robot: a decoupled dynamics approach[J].Robotica, 2012, 30(4): 671-680.

[13]GAJAMOHAN M, MERZ M, Thommen I, et al.The Cubli: A cube that can jump up and balance[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2012.3722-3727.

[14]GAJAMOHAN M, MUEHLEBACH M, WIDMER T, et al.The Cubli: A reaction wheel based 3D inverted pendulum[C]//Control Conference (ECC), 2013 European.IEEE, 2013: 268-274.

[15]CHOU J C K.Quaternion kinematic and dynamic differential equations[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992, 8(1): 53-64.

[16]NAZARI I, HOSAINPOUR A, PITTAN F, et al.Design sliding mode controller with parallel fuzzy inference system compensator to control of robot manipulator[J].International Journal of Intelligent Systems and Applications (IJISA), 2014, 6(4): 63.

[17]陳統, 徐世杰.非合作式自主交會對接的終端接近模糊控制[J].宇航學報, 2006, 27(3): 416-421.

ModelingofSphericalRobotandResearchonRelevantControl

Abstract：A spherical robot driven by three inertia wheels is designed; the motion of robot is implemented based on the law of conservation of angular momentum.Complete dynamics model of the robot is built by using quaternion and Kane equation modeling method; the differential equations that are controlling the motion are given, thereby an adaptive fuzzy sliding mode variable structure controller is designed to implement position control of the spherical robot, of which the parameters and dynamics model are not accurate enough.In order to weaken the buffeting vibration of the system, the switching items of the sliding mode controller are fuzzy approximated to make these items continuum.The simulation and experiments of trajectory tracking show that this controller has good manifestation in the system of which the parameters are undetermined either the dynamics model is inaccurate.

Keywords:Spherical robotDynamics modelQuaternionKane equationSliding mode variable structure controlAdaptive fuzzy control

中圖分類號：TH7;TP242

文獻標志碼：A

DOI:10.16086/j.cnki.issn 1000-0380.201606020

修改稿收到日期：2015-11-21。

第一作者王志群(1990-)，男，現為北京交通大學控制科學與工程專業在讀碩士研究生；主要從事移動機器人控制方向的研究。