物理系統(tǒng)中隨機(jī)效應(yīng)：混沌和隨機(jī)共振

顏士敏+曹振興

【摘 要】針對現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)物理中兩種非線性動力學(xué)行為，即混沌和隨機(jī)共振，本文利用數(shù)值解法進(jìn)行了模擬和解釋。混沌是確定性系統(tǒng)中內(nèi)稟隨機(jī)性的一種體現(xiàn)，深化了人們對必然和偶然的認(rèn)識，而隨機(jī)共振是隨機(jī)系統(tǒng)的內(nèi)在有序性體現(xiàn)，改變了人們對于噪聲的觀念，證實(shí)了噪聲對于系統(tǒng)序的建立具有建設(shè)性作用。這些結(jié)果對于學(xué)生通過物理計(jì)算更好地理解物理系統(tǒng)特性具有參考意義。

【關(guān)鍵詞】混沌；隨機(jī)共振；確定性系統(tǒng)；隨機(jī)系統(tǒng)

【Abstract】Aiming to comprehend the nonlinear behaviors in modern physics， this paper utilizes the numerical method to illustrate the chaos effect and the stochastic resonance phenomenon. Chaos demonstrates the internal randomness of deterministic systems， which develops our view on occasionality and inevitability. While， stochastic resonance is the cooperative effect in the random systems， and the benefits of noise in certain nonlinear systems are adequately appreciated. These results are interesting for students to understand certain physical systems clearly via the physical calculations.

【Key words】Chaos； Stochastic resonance； Deterministic system； Random system

在混沌動力系統(tǒng)學(xué)建立之前，物理學(xué)家認(rèn)為微分方程的確定性解可以描述自然現(xiàn)象，只要收集到初始數(shù)據(jù)，那么系統(tǒng)未來狀態(tài)是完全可以預(yù)測的[1-2]。基于統(tǒng)計(jì)原理的量子力學(xué)首先打破了上述確定論觀念，而混沌概念和漲落唯象理論的提出，使得人們意識到確定性系統(tǒng)也可以出現(xiàn)隨機(jī)性結(jié)果[1-3]。經(jīng)過近50年的發(fā)展，物理系統(tǒng)中內(nèi)稟隨機(jī)性和非平衡態(tài)隨機(jī)效應(yīng)已經(jīng)成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)物理理論的前沿研究問題[1-3]。 本文利用計(jì)算機(jī)模擬物理系統(tǒng)中混沌和隨機(jī)共振兩類隨機(jī)效應(yīng)，前者是物理系統(tǒng)內(nèi)稟隨機(jī)性引起的，其本質(zhì)是物理系統(tǒng)對于初始條件的敏感性，而后者是微觀漲落運(yùn)動對于物理系統(tǒng)宏觀變量演化的一種作用機(jī)制。我們通過微分方程的數(shù)值解法形象地解釋了上述兩種隨機(jī)效應(yīng)，達(dá)到學(xué)生通過物理計(jì)算更好地理解物理系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的目的。

1 物理系統(tǒng)內(nèi)稟隨機(jī)性：混沌

20世紀(jì)50年代，美國麻省理工大學(xué)氣象學(xué)家洛倫茲研究大氣流體流動模型，從而解釋物理參數(shù)變化對天氣預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。由于時(shí)代的限制，當(dāng)時(shí)的單行打印機(jī)打印速度非常慢，每10秒鐘才能打印一行。為了加快計(jì)算，洛倫茲只打印了部分?jǐn)?shù)據(jù)，雖然計(jì)算機(jī)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后六位，而洛倫茲打印結(jié)果只精確到三位數(shù)，他認(rèn)為舍去的數(shù)字并不會影響系統(tǒng)解的精度，將經(jīng)過舍位之后的計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果作為初始值中途輸入計(jì)算機(jī)繼續(xù)計(jì)算。按照確定論觀點(diǎn)，這樣得到的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該和計(jì)算機(jī)原來運(yùn)行結(jié)果應(yīng)該是一致的。然而，洛倫茲發(fā)現(xiàn)新一輪的計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果很快從初始值處發(fā)生擴(kuò)散。經(jīng)過深入研究，洛倫茲認(rèn)為問題的根源在于系統(tǒng)對于初始條件的敏感依賴性，即使初始值的微小變化，經(jīng)過系統(tǒng)之后，系統(tǒng)解軌跡出現(xiàn)巨大差別，這一現(xiàn)象非常好地解釋了天氣預(yù)報(bào)的復(fù)雜性[1-3]：初始條件的任何誤差被系統(tǒng)迅速放大，以至于具有實(shí)際價(jià)值的可預(yù)測性大大降低。這類系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性被稱為混沌現(xiàn)象[1-3]，它比純粹的可預(yù)測性更加符合我們的日常經(jīng)驗(yàn)，比如中長期的天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率是非常低的，因?yàn)樘鞖獬跏紬l件微小變化使得幾周之后天氣情況在本質(zhì)上是無法預(yù)測的[1-3]。

變量x（t）和y（t）與大氣溫度的豎直和水平變化相關(guān)，而變量z（t）與大氣對流有關(guān)，σ是普蘭特?cái)?shù)，γ是規(guī)范化瑞利數(shù)，而常數(shù)b和研究區(qū)域的幾何形狀相關(guān)[1-3]。該確定性系統(tǒng)只有線性項(xiàng)和二次項(xiàng)，沒有外部隨機(jī)性輸入，然而此系統(tǒng)有著復(fù)雜的類隨機(jī)動力學(xué)行為。比如取參數(shù)σ=10，γ=28，b=8/3，其軌跡完全由上述參數(shù)和初始條件（x0，y0，z0）確定，但是其特性很難預(yù)測。方程（1）的數(shù)值解法采用4階龍格-庫塔法，如圖1所示，初始條件為（1.01，1.0，1.0），洛倫茲系統(tǒng)三維相圖表明其軌跡在三維相空間中是有界的，但是無周期性且不相交，混亂地來往于兩個(gè)吸引子之間。這是因?yàn)檎w上系統(tǒng)能量是耗散的，其軌跡趨向一個(gè)零體積集合，而兩個(gè)吸引子是不穩(wěn)定的，導(dǎo)致其軌跡的不斷褶疊、翻轉(zhuǎn)和延伸，因此出現(xiàn)了總體的混沌現(xiàn)象。這類系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性表現(xiàn)在初始值的敏感性：即使初始值的微小變化經(jīng)過系統(tǒng)放大之后，隨著時(shí)間的變化二者的軌跡出現(xiàn)完全不相干的性質(zhì)。比如將初始條件（1.01，1.0，1.0）改為（1.011，1.0，1.0），如圖2所示，在兩種初始條件下變量x（t）隨時(shí)間演化，盡管其誤差僅有1‰，但是二者軌跡在21秒處發(fā)生改變，實(shí)線和虛線分別代表上述兩類不同初始條件下的狀態(tài)變量演化，隨著時(shí)間繼續(xù)增加，x（t）狀態(tài)發(fā)生很大改變且沒有相關(guān)性，其他變量y（t）與z（t）也類似，這也是混沌系統(tǒng)長時(shí)間行為不可預(yù)測的本質(zhì)。

2 隨機(jī)系統(tǒng)的內(nèi)在有序性：隨機(jī)共振

隨機(jī)共振概念最早是由邦濟(jì)[4-5]在研究太陽對于地球的隨機(jī)作用力是如何引起冰川期和暖期的周期性變化時(shí)提出的。地球的冰川期大約105年，這個(gè)周期和地球由于星系間的引力引起的軌道偏心率一致，但是偏心率不足以使得地球氣候發(fā)生如此大的變化。邦濟(jì)發(fā)現(xiàn)由于地球每年氣候漲落（如太陽的輻射）而引起的氣候變化和偏心率能夠達(dá)到了一種“共振”，從而使得地球的冰川期和暖期發(fā)生周期性變化，此現(xiàn)象稱為隨機(jī)共振現(xiàn)象。隨機(jī)共振現(xiàn)象第一次證實(shí)了隨機(jī)漲落對于宏觀變量（如地球氣候）影響能夠起到?jīng)Q定性作用[4-5]。

經(jīng)典隨機(jī)共振模型為質(zhì)量是m粒子在雙穩(wěn)態(tài)勢阱內(nèi)運(yùn)動過程，其隨機(jī)微分動力學(xué)方程滿足[4-5]：

當(dāng)阻尼系數(shù)λ>>m，稱為過阻尼系統(tǒng)，不失一般性地設(shè)λ=1，式（2）可簡化為一階隨機(jī)微分方程：

這里信號為s（t），白噪聲ξ（t）的強(qiáng)度為D，數(shù)值解法采用Euler-Maruyama隨機(jī)微分解法[4-5]。雙穩(wěn)態(tài)對稱勢函數(shù)V（x）=-x2/2+x4/4，具有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)xm=±1和能量勢壘ΔV=1/4，當(dāng)信號s（t）存在時(shí)，此勢函數(shù)成為被s（t）調(diào)制為V（x，t）=-x2/2+x4/4-s（t）x。設(shè)弱信號s（t）=Acos（Ωt）的幅值A(chǔ)<和頻率Ω<<1，勢函數(shù)V（x，t）的變化如圖3所示，對應(yīng)幅值從零變化為+A，然后又從零變化為-A的過程。在沒有噪聲的幫助下，此信號不能夠使得粒子越過勢壘達(dá)到另外一個(gè)穩(wěn)態(tài)，也就是說粒子是不能進(jìn)行阱間躍遷的。然而，隨著噪聲ξ（t）的加入，粒子能夠從相對淺的勢阱進(jìn)入相對深的勢阱里去，當(dāng)噪聲強(qiáng)度達(dá)到一個(gè)最優(yōu)值時(shí)（如圖4中噪聲強(qiáng)度為D=0.09），此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)如信噪比、響應(yīng)幅值等達(dá)到最大值，我們可以看出此時(shí)系統(tǒng)輸出x（t）能夠從統(tǒng)計(jì)意義上反映了信號幅值正負(fù)的周期變化。故借鑒力學(xué)中“共振”一詞，稱這種現(xiàn)象為隨機(jī)共振。隨機(jī)共振現(xiàn)象表明，在非線性系統(tǒng)中，外部噪聲環(huán)境有時(shí)不是系統(tǒng)性能的阻礙，反而是一種積極的促進(jìn)，能夠使得系統(tǒng)特性和輸入微弱信號達(dá)到協(xié)同，成為建設(shè)系統(tǒng)序的重要因素，這也是非線性系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性向有序性轉(zhuǎn)化的有力例證。

3 總結(jié)

上述兩種隨機(jī)效應(yīng)給現(xiàn)代物理帶來了巨大沖擊：一是，混沌打破了物理學(xué)以往可預(yù)言的確定論觀點(diǎn)，它讓人們理解了某些物理系統(tǒng)長時(shí)間預(yù)測是無意義的，系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)性深化了人們對必然和偶然的認(rèn)識，更全面地理解自然界的統(tǒng)一性；二是，隨機(jī)共振打破了噪聲是有害的觀念，在某些非線性系統(tǒng)中噪聲能出人意料地產(chǎn)生積極影響，對于系統(tǒng)的演化反而起到?jīng)Q定性作用，對于系統(tǒng)序的建立是有益的，使得人們更加重視微觀尺度的運(yùn)動對于宏觀量演化的影響，而不能簡單地依據(jù)尺度和強(qiáng)度大小而忽略它。簡言之，混沌表現(xiàn)了確定性系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性，而隨機(jī)共振表現(xiàn)了隨機(jī)系統(tǒng)的內(nèi)在有序性，本文通過這兩類物理現(xiàn)象計(jì)算，使得我們能夠達(dá)到更好地理解物理系統(tǒng)的兩類隨機(jī)效應(yīng)。

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[責(zé)任編輯：湯靜]