Polar碼并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及性能分析*

潘小飛，張青雙，蔡　彪，成風(fēng)毅

(解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

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Polar碼并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及性能分析*

潘小飛，張青雙，蔡彪，成風(fēng)毅

(解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007)

摘要：提出一種基于Polar系統(tǒng)碼的并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過引入迭代譯碼過程，以提升有限碼長Polar碼性能。首先利用分組碼的聯(lián)合界技術(shù)，在均勻交織的條件下分析了所提級(jí)聯(lián)碼的碼重分布特性，并給出了在中高信噪比下的漸近性能界。然后，利用分量譯碼器外信息轉(zhuǎn)移圖分析了不同碼長Polar碼并行級(jí)聯(lián)的迭代收斂性能。仿真結(jié)果表明，在AWGN信道條件下，所提并行級(jí)聯(lián)碼性能優(yōu)于相同碼長、碼率的系統(tǒng)Polar碼，并且與理論分析結(jié)果匹配，證明了理論分析的有效性。

關(guān)鍵詞：Polar系統(tǒng)碼；并行級(jí)聯(lián)；漸近性能；迭代收斂性能

0引言

Polar碼是2009年，土耳其專家Arikan基于信道極化提出的一種新的信道編碼方案，也是第一種在理論上證明能夠達(dá)到Shannon極限的碼字，近年來引起了信道編碼、物理層安全等領(lǐng)域?qū)W者的極大關(guān)注[1-2]。雖然具有編譯碼復(fù)雜度低，Shannon極限可達(dá)等特點(diǎn)，但在有限碼長條件下，Polar碼與LDPC以及Turbo碼相比，在性能上依然有一定差距。主要原因是信道極化速度較慢，在有限碼長條件下，為保證較高碼率傳輸，一部分信道條件較差的極化后的子信道也被選來傳輸信息，這樣必然會(huì)導(dǎo)致誤碼性能惡化。

為解決此問題，許多基于Polar碼的級(jí)聯(lián)編碼方案被提出，以輔助提高有限碼長條件下Polar碼性能。文獻(xiàn)[3]將RS碼與Polar以Turbo乘積碼的方式級(jí)聯(lián)以提高信道條件較差子信道的可靠度。文獻(xiàn)[4]將文獻(xiàn)[3]中的RS碼替換為BCH碼和卷積碼，進(jìn)一步提升級(jí)聯(lián)性能。文獻(xiàn)[5]將條件較差的子信道進(jìn)行二次編碼，通過引入LDPC碼來提高相應(yīng)子信道的可靠度。 實(shí)際上，任何線性分組碼都可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)碼的形式。上述文獻(xiàn)均局限于非系統(tǒng)Polar的級(jí)聯(lián)方案設(shè)計(jì)，并未考慮系統(tǒng)利用系統(tǒng)Polar碼來設(shè)計(jì)迭代結(jié)構(gòu)以探索更優(yōu)性能。

1Polar碼基本原理

1.1信道極化

對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的相同容量的邏輯信道，Arikan發(fā)現(xiàn)對(duì)信道進(jìn)行組合和拆分以后，生成的兩個(gè)子信道容量不再相同。一個(gè)信道的容量會(huì)增加，另一個(gè)容量則相應(yīng)的減小，總?cè)萘縿t保持不變，這種通過模二加方式使信道容量發(fā)生變化的現(xiàn)象稱為信道極化現(xiàn)象。

(1)

式中，?為kronecker積。整個(gè)Polar碼的編碼即可表示為：

(2)

1.2SC(Successive Cancellation)軟輸出譯碼算法

SC算法是Arikan提出的Polar碼最原始的譯碼算法，也是復(fù)雜度最低的算法。

圖1　N=8的Polar碼因子圖示例

然而，在迭代譯碼過程中往往需要軟入軟出(SISO)譯碼算法來實(shí)現(xiàn)軟信息的交互，SC算法并不能完成這一功能。文獻(xiàn)[6]利用SC譯碼的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種低復(fù)雜度的軟輸出SC譯碼算法(SCAN)。

(3)

其中運(yùn)算符號(hào)⊙定義為：

傳統(tǒng)的教學(xué)多以教師講授為主，以教師為主體，易于控制教學(xué)的進(jìn)程，邏輯性和系統(tǒng)性相對(duì)較強(qiáng)，學(xué)生遵循教師的講解，易于快速形成知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系．然而，這種教學(xué)方法不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，學(xué)生的參與意識(shí)不強(qiáng)，因此需要改變授課方式．

(4)

(5)

2并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1SC軟輸出譯碼算法

Polar系統(tǒng)碼和傳統(tǒng)的系統(tǒng)碼類似，在編碼碼字中包含所要傳送的信息比特。可以對(duì)非系統(tǒng)碼進(jìn)行相應(yīng)的變換，獲得其系統(tǒng)碼的形式[7]。將式(2)分解后可得：

(6)

(7)

式中，GAB為集合B確定的矩陣GA的列向量構(gòu)成的矩陣。如果GAB為可逆矩陣，則極化后的子信道傳輸?shù)男畔椋?/p>

(8)

(9)

為保證GAB可逆，根據(jù)GN的特性，可將集合B與集合A取值相同，由此方式構(gòu)造的Polar碼即為系統(tǒng)碼。

2.2基于Polar系統(tǒng)碼的并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)

由于Polar碼本身的一些缺陷導(dǎo)致在有限碼長時(shí)，誤碼性能并不理想。為提高有限碼長性能，提出類似Turbo碼的并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2　Polar系統(tǒng)碼并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)

圖2給出了基于Polar系統(tǒng)碼的并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，類似與Turbo碼，信息比特先經(jīng)過Polar系統(tǒng)碼編碼形成第一路校驗(yàn)比特；然后再對(duì)交織后的信息比特進(jìn)行二次Polar系統(tǒng)編碼，形成第二路校驗(yàn)比特。兩路校驗(yàn)比特經(jīng)過刪余后與信息比特共同構(gòu)成級(jí)聯(lián)碼字。需要注意的是，Polar碼為分組碼，碼長必須為2的冪次，在交織長度為M的情況下，可以將整個(gè)數(shù)據(jù)分為n=M/K個(gè)短的碼組進(jìn)行(N,K)系統(tǒng)碼的編碼，其中K為信息位長度。若每一個(gè)系統(tǒng)碼分組校驗(yàn)比特的刪余比特?cái)?shù)為Cp，總碼長為Nc=M+2n(N-K-Cp)，相應(yīng)的級(jí)聯(lián)碼碼率為：

(10)

該并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)可以采用類似Turbo的譯碼方式，分量譯碼器采用SCAN譯碼算法，通過多次迭代以獲得優(yōu)異的性能。

3性能分析及仿真

為分析所提結(jié)構(gòu)的的性能，以給碼字的構(gòu)造提供一定的理論指導(dǎo)，本節(jié)擬采用聯(lián)合界技術(shù)對(duì)所提并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行漸近性能分析。而后，利用外信息轉(zhuǎn)移圖來分析不同碼長Polar碼并行級(jí)聯(lián)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

3.1漸近性能分析

(11)

式中，Ad表示碼字集合中，碼字重量為d的碼字個(gè)數(shù)。相應(yīng)的，其輸入輸出枚舉函數(shù)可以表示為：

(12)

式中，Am,d表示輸入信息比特重量為m，輸出碼字比特重量為d的碼字個(gè)數(shù)。則相應(yīng)的誤碼性能上界為[8]：

(13)

在高信噪比條件下，影響性能的只有最小碼重的碼字。對(duì)于并行級(jí)聯(lián)的Polar碼而言，在高信噪比條件下，性能上界僅和最小碼重碼字有關(guān)，即：

(14)

在采用均勻交織以后，相應(yīng)碼重碼字的數(shù)量為[9]：

(15)

(16)

式中，M為交織長度。表1給出了(128,64)Polar系統(tǒng)碼和(64,32)Polar系統(tǒng)碼的碼重分布，這兩種碼長碼字的最小碼重均為8。

表1　系統(tǒng)Polar碼碼重分布

由表1中數(shù)據(jù)可知，采用(128,64)的Polar碼級(jí)聯(lián)以后的最小級(jí)聯(lián)碼重為9，對(duì)應(yīng)的信息序列重量為7。然而，信息重量大時(shí)，考慮交織的影響以后，其同時(shí)達(dá)到最小碼重的概率極小，需要將相應(yīng)較小的幾個(gè)碼重都考慮在內(nèi)，即其誤碼性能漸近界為：

(17)

相應(yīng)的，(64,32)碼級(jí)聯(lián)后的漸近性能為：

(18)

3.2收斂性能分析

上面僅僅估計(jì)了高信噪比時(shí)的信噪比漸近性能界，對(duì)于相同交織長度下，不同碼長Polar碼的迭代收斂特性并沒有給一個(gè)很好的描述[10]。在分析Turbo碼的收斂特性時(shí)，常采用外信息轉(zhuǎn)移圖(EXIT)來分析迭代收斂性能，對(duì)于并行級(jí)聯(lián)Polar碼也可以采用同樣的方法來估計(jì)收斂特性[11]。假設(shè)SISO譯碼器的先驗(yàn)輸入信息滿足高斯分布，為：

(19)

(20)

利用該先驗(yàn)信息進(jìn)行軟輸出譯碼以后，得到的外信息為E，則外信息與發(fā)送信息的互信息為：

(21)

即IE=T(IA,Eb/N0)，與輸入先驗(yàn)信息和信道軟信息有關(guān)。IA和IE的關(guān)系即為外信息轉(zhuǎn)移圖，通過該圖即可觀察某種Polar碼的迭代收斂特性。

3.3仿真結(jié)果

基于前面的分析，本節(jié)對(duì)前面結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的仿真驗(yàn)證，信道條件為AWGN信道，采用BPSK調(diào)制。Polar系統(tǒng)碼采用SCAN算法，迭代譯碼最大迭代次數(shù)為5次，Polar碼構(gòu)造方法采用密度進(jìn)化算法[12]，且碼率設(shè)置為0.5，級(jí)聯(lián)碼率為1/3。

圖3給出了Eb/N0=1.2 dB，交織長度為40 960時(shí)，不同碼長Polar碼的外信息轉(zhuǎn)移圖對(duì)比；可以看出，在相同交織長度下，碼長越長，收斂門限越高；然而相應(yīng)的誤碼平層越低，原因是碼長長，最小碼重較大。

圖3　Eb/N0=1.2 dB,交織長度40 960，不同Polar碼并行級(jí)聯(lián)迭代的外信息轉(zhuǎn)移圖對(duì)比

圖4給出了不同碼長Polar碼在相同交織長度條件下的誤比特率仿真結(jié)果對(duì)比，分量譯碼器采用SCAN算法，SCAN僅1次迭代，分量譯碼器之間的迭代次數(shù)為5次。由圖中可以看出(64,32)Polar碼收斂門限較低，誤碼平層較高，而相應(yīng)的(128,64)Polar碼收斂門限最高，誤碼平層最低，這和EXIT圖分析結(jié)果一致。同時(shí)，可以看出，利用聯(lián)合界技術(shù)分析的(128,64)Polar的漸近收斂特性和仿真曲線在高信噪比條件下基本一致，驗(yàn)證了分析的準(zhǔn)確性。同時(shí)，在誤比特率10-5條件下，若采用(128,64)并行級(jí)聯(lián)，與相同碼率，碼長相近的系統(tǒng)Polar碼相比，性能優(yōu)勢(shì)在0.5 dB左右。同時(shí)，并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的分量譯碼過程中，每個(gè)碼塊可以并行譯碼，譯碼延時(shí)相比于單獨(dú)的系統(tǒng)Polar碼而言，要低很多。

圖4　交織長度1024，級(jí)聯(lián)碼率1/3,分量碼率0.5，不同碼長條件下誤比特率仿真結(jié)果

4結(jié)語

本文提出了基于Polar系統(tǒng)碼的并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，利用聯(lián)合界技術(shù)和外信息轉(zhuǎn)移圖分別分析了所提結(jié)構(gòu)的漸進(jìn)性能和迭代收斂性能，AWGN信道下的仿真結(jié)果與理論分析相符合。與相同碼長碼率的系統(tǒng)碼相比，性能提升0.5 dB，大大提高了Polar碼的實(shí)用價(jià)值。為實(shí)現(xiàn)高碼率的并行級(jí)聯(lián)碼，系統(tǒng)Polar碼的刪余設(shè)計(jì)需要進(jìn)一步的研究。并行級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的收斂門限和誤碼平層需要一個(gè)折衷，在分量碼長選定的情況下，需要深入研究合適的交織器來降低誤碼平層。

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Design and Analysis of Parallel Concatenation Structure for Systematic Polar Codes

PAN Xiao-fei,ZHANG Qing-shuang,CAI Biao,CHENG Feng-yi

(College of Communications Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing Jiangsu 210007,China)

Abstract：A parallel concatenated structure based on systematic polar codes is proposed,thus to improve the performance of polar codes with finite length by using the iterative decoding strategy.Firstly,the union bounding technique is used to estimate the asymptotic performance for the proposed structure when uniform interleaver is considered.Then,the convergence behavior is analyzed by means of extrinsic information transfer chart (EXIT chart).Simulation results show that the proposed structure outperforms the systematic polar codes in same code length and rate.Meanwhile,the simulation results and theoretical results are well matched and this indicates the correctness of this theoretical analysis.

Key words：systematic polar codes; parallel concatenation; asymptotic performance; iterative convergence behavior

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.02.002

* 收稿日期：2015-09-06；修回日期：2015-12-21Received date:2015-09-06；Revised date：2015-12-21

中圖分類號(hào)：TN911.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1002-0802(2016)02-0130-05

作者簡(jiǎn)介：

潘小飛(1979—)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榈托旁氡葪l件下信號(hào)的接收，信息論與編碼；

張青雙(1990—)，男，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾畔⒄撆c信道編碼，衛(wèi)星通信；

蔡彪(1992—)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信；

成風(fēng)毅(1988—)，男，碩士研究生，助教，主要研究方向?yàn)樾畔⒄撆c信道編碼，衛(wèi)星通信。