一道有關速度合成題的導數法求解

◇　廣東　李鈺豐

一道有關速度合成題的導數法求解

◇廣東李鈺豐

在高中物理中,解答速度的問題一般采用矢量的合成與分解的方法來處理．其實對于一些難以處理的問題,還可以從速度的最基本的定義出發,并結合幾何關系來求解．當時間改變Δt足夠小時,可以根據導數的知識來尋求瞬時速度的數學表達式．利用數學方法來處理與速度相關的物理問題會使解題變得異常清晰,減少不必要的疑慮．下面以一道具體的例題來加以說明．

圖1　　　　　　　　　圖2

解法1矢量合成法.

物體A的運動(即繩的末端的運動)可看成2個分運動的合成:一是沿繩的方向被牽引,繩長縮短,繩長縮短的速度即等于v0;二是垂直于繩以定滑輪為圓心的擺動v1,它不改變繩長,只改變角度θ的值．這樣就可以將vA按圖2所示的方式進行分解,得到物體A的速度vA=v0/cosθ.

這種解法雖然簡單，但同學們對為什么存在v1以及為什么可以這樣合成難以理解，導致在學習過程中只能死記結果，難以靈活運用.

圖3

解法2導數法.

下面從速度的基本定義出發，利用導數的知識進行求解.

如圖3所示,繩移動的位移

①

物體A水平移動的位移

②

因此繩移動的速度

③

物體移動的速度

④

⑤

⑥

由式⑤、⑥可得vA=v0/cosθ.

理解與分析本題很容易陷入一個誤區，即認為物體的運動速度等于繩上某質點運動速度在水平方向的分量，因而得出vA=v0cosθ的錯誤結論.實際上，從幾何上可以直觀地看出v0與vA的大小關系.在圖3中AD邊上取點E，使得DE=DB，由于∠DEB<90°, 所以∠AEB為鈍角，在△ABE中，AB>AE，所以可判斷出vA>v0.從而判斷出vA=v0cosθ的結論錯誤.這一點還可以用實驗加以驗證，只要測量出繩移動的距離和物體移動的距離，二者進行比較就一目了然了.

圖4

要正確理解v1的來源和方向，可以采用二步法：第1步，假設繩子斜向上將物體拉動并使其離開了桌面，此時桌子對物體的支撐力為0；第2步，再來分析物體在空中的受力情況及其運動的趨勢. 如圖4所示，由于物體離開了桌面，此時物體受到2個力的作用，一是物體的重力mg，另外一個力是繩子的拉力F1.將重力mg分解為垂直于繩的方向的分量mgcosθ以及平行于繩的方向的分量mgsinθ，可以看出F1和mgsinθ的合力提供物體做圓周運動的向心力，而mgcosθ則提供一個斜向下的使物體運動的力，因而使物體產生一個垂直于繩的方向的斜向下的速度v1.

本文從位移變化的角度,結合高中所學到的導數知識找到了文中所提出的問題的正確答案．在此基礎上分析了速度v1的成因．本文的分析方法對于求解速度合成與分解的類似問題有一定的參考價值．

(作者單位：廣州市第二中學)