偽隨機跳頻序列特性及其在FH-CDMA系統中的應用

董楨

【摘要】 跳頻通信技術具有保密性高，抗干擾能力強，多址接入能力好等優勢，在軍事通信中已經廣泛應用。跳頻序列是保證跳頻系統具有上述優勢的關鍵。本文從跳頻系統的需求出發，討論偽隨機跳頻序列的性能指標及其數學關系，研究幾類常見的偽隨機序列（素數跳頻序列，多項式跳頻序列等）在跳頻多址接入（FH-CDMA）系統中的應用。通過理論與仿真分析相結合，給出不同偽隨機跳頻序列的漢明相關特性對系統誤碼率性能的影響。

【關鍵詞】 跳頻系統 跳頻序列 漢明相關性 誤碼率

一、概述

跳頻（Frequency-hopping）通信是一種擴頻通信技術（Spread-spectrum），系統的工作頻點隨著跳頻序列在較寬的頻帶內隨機跳變，敵方由于無法準確地估計和快速跟蹤跳頻系統的工作頻點，從而實現了跳頻通信的安全性和抗干擾能力。同時，跳頻通信系統中每個跳頻電臺都預先分配了唯一條跳頻序列，從而實現跳頻系統的多址接入能力，跳頻序列即是跳頻用戶的地址碼[1]。眾所周知，在碼分多址系統（CDMA）中（包括直擴系統DS-SS和跳頻系統），多用戶干擾（MAI）是影響其性能的關鍵[2]。在跳頻多址接入系統中，多用戶干擾是由跳頻頻點的碰撞會帶來的。因此在跳頻通信實現中，為了實現跳頻通信的優勢，我們希望跳頻頻點隨機性越強越好，跳頻序列條數越多越好，跳頻序列間頻點的碰撞越少越好。

跳頻序列性能的好環對跳頻系統具有舉足輕重的作用。雖然完全隨機的跳頻序列具有良好的統計特性，但是在現實中無法實現（收發端無法實現跳頻圖案同步），因此，實際系統中一般需要采用多種數學變化和數學技巧（移位變換[3]，有限域變換[4]等）來得到跳頻序列，這類跳頻序列可以用具體的數學算法描述，因此，我們稱之為“偽隨機跳頻序列”。目前，關于跳頻序列的設計與分析是學術界的研究熱點，提出了多種具有良好特性的偽隨機跳頻序列的構造算法，如多項式跳頻序列[5]，無碰撞區跳頻序列[3]等。多條偽隨機跳頻序列構成“跳頻序列集”。

本文結合跳頻多址通信系統的需求，介紹了偽跳頻序列特性與系統性能之間的關系。為了使得FH-CDMA系統滿足保密性和多址能力要求，構造出偽隨機跳頻序列的各個參數需要滿足一定的數值關系（理論下界）。分析了幾類典型偽隨機跳頻序列（素數跳頻序列，多項式序列等）的漢明相關特性，并將其應用與跳頻多址接入系統中，通過仿真給出了基于上述幾類偽跳頻序列的異步2FSK-FH-CDMA系統的誤碼率性能。通過分析看出，滿足跳頻序列理論下界的偽隨機跳頻序列具有良好的誤碼率性能。

二、偽隨機跳頻序列參數的要求及其理論下界

在多個用戶的跳頻網絡中，跳頻集中的每條跳頻序列分配給唯一用戶使用。假設這樣的跳頻序列集S具有K條跳頻序列，每條序列C（k）長度為L，則S可以表示為：

為了實現FH-CDMA系統具有良好的性能指標，跳頻序列集的參數（序列個數K，序列長度L，頻點個數q，最大漢明相關值H（ X ）和H（ X， Y ））需滿足下述幾個要求：

跳頻序列集中的任意兩個跳頻序列X和Y，其漢明互相關值H（ X， Y ）盡可能小，即發生頻率碰撞的次數少。

跳頻序列集中任意跳頻序列X，其漢明自相關旁瓣值H（ X ）盡可能小，即使得跳頻序列準確同步。

跳頻序列集中的序列數K盡可能多，即跳頻系統能容納更多的跳頻用戶。

頻點集合F中的頻點個數盡可能小，且每個頻率出現次數，出現位置是均勻的，即實現跳頻的隨機性。

上述條件的最優值不可能同時滿足，他們是相互制約的。通過嚴謹的數學分析發現，上述參數滿足一定的數學關系，即滿足Peng-Fan 理論下界。

定理1（Peng-Fan 界）[6]： 令S是一個在大小為q的頻點集F上的跳頻序列集，其序列數目為K，序列長度為L，令I =「 LK/q」，則有

三、典型的偽隨機跳頻序列特性及其系統性能分析

本節首先給出幾類典型的偽隨機跳頻序列的漢明相關特性，然后，通過仿真給出基于這幾類跳頻序列的BFSK-FHCDMA系統的誤碼率性能。

FH-CDMA系統收發端一般模型如圖1所示。本文考慮FH-CDMA系統有K個跳頻用戶，發送端調制方式采用BFSK調制方式，一跳脈沖周期發送發送一個調制符號；解跳端采用非相干解調，信道考慮高斯加性白噪聲（AWGN）。系統使用的偽隨機跳頻序列集表示為S={C（k）}k=M=S（q， M， L， Hm），其中q為跳頻頻隙集大小，K表示跳頻序列個數，L表示跳頻序列周期，Hm表示漢明自相關旁瓣/互相關最大值。

3.1偽隨機跳頻序列集

1） 素數跳頻序列

經典素數跳頻序列集構造算法詳見[1]，該序列集表示為

S1={{0，1，3，2，4}； {0，2，1，4，3}； {0，3，4，1，2}； {0，4，2，3，1}}

通過計算可得各個參數表示為：S1=S（q， K， L， Hm）=S（5，4，5，1）。該跳頻序列在一個跳頻周期內的平均碰撞概率為Hm/L=1/5。各參數代入（4）式可知，該偽隨機跳頻序列集滿足Peng-Fan界，是漢明最優的跳頻序列集。

2） 多項式跳頻序列

文獻[5]提出的一類三次多項式跳頻序列集S2，如下所示：

S2={{2，3，3，0，1，3，1，4，4，0，3，4，3，2，2，0，4，2，4，1，1，0，2，1}， {4，0，0，2，3，0，3，1，1，2，0，1，0，4，4，2，1，4，1，3，3，2，4，3}，{1，2，2，4，0，2，0，3，3，4，2，3，2，1，1，4，3，1，3，0，0，4，1，0}， {3，4，4，1，2，4，2，0，0，1，4，0，4，3，3，1，0，3，0，2，2，1，3，2}， {0，1，1，3，4，1， 4，2，2，3，1，2，1，0，0，3，2，0，2，4，4，3，0，4}}；

通過計算該跳頻序列各參數表示為：S=S（q， K， L， Hm）=S（5，5，24，5）。該跳頻序列在一個跳頻周期L內的平均碰撞概率為5/24，與素數跳頻序列基本相同。該跳頻序列集亦滿足Peng-Fan界，是漢明最優的跳頻序列集。

3） 二進制序列映射成跳頻序列

這類偽隨機跳頻序列是通過已有的二進制序列（如m序列，Gold碼等）[1]，M個二進制數映射為一個2M多進制數，以此方法形成跳頻序列集S3。這種跳頻序列的構造算法比較簡單，其最大的優勢是跳頻序列的長度L可以任意擴展，工程實現上應用該類跳頻序列較多。但是這類跳頻序列無法保證頻點碰撞較低，也就是說，這類跳頻序列在某些時刻下，會出現較大的頻點碰撞；另外，該類跳頻序列的頻點隨機性較差，易受到敵對干擾。一般情況下，該類偽隨機跳頻序列不滿足Peng-Fan理論界。下面給出了一個二進制序列構造跳頻序列的例子。構造出的 S3的序列個數K=5，序列長度L=30； 頻點個數q=5。該類跳頻序列集中序列的漢明互/自相關函數曲線如圖2所示。

從仿真圖可以看出，最大漢明互相關值H（ X，Y ）=7，最大漢明自相關旁瓣值H（ X）=13，該跳頻序列集S3不滿足Peng-Fan理論界。與偽隨機序列S2相比，該類跳頻序列在某些時延下的漢明互/自相關值較大。

3.2基于偽隨機跳頻序列的FH-CDMA系統誤碼率分析

本小節考慮的BFSK-FH-CDM系統如圖1所示。跳頻系統中用戶個數為K，且跳頻多用戶是異步接入系統。另外，假設接收端的參考用戶為用戶d=1。采用Matlab仿真分析方法，分別對采用上述三種偽隨機跳頻序列（S1，S2和S3）的誤碼率進行分析。為了合理比較，三種偽隨機跳頻序列的頻點個數q，用戶個數K基本一致。

從仿真圖可以看出，采用跳頻序列集S3的FH-CDMA系統誤碼率較高，這是因為在某些時延下，該跳頻序列的漢明相關值較大，從圖3也可得到這樣的結論。采用跳頻序列集S1和S2的FH-CDMA系統誤碼率基本相同，這是因為，這兩個跳頻序列集均滿足Peng-Fan理論界，其頻點的平均碰撞概率基本相同均等于1/5。實線曲線為沒有頻點碰撞時，FH-CDMA系統的誤碼率性能。采用特定的（準）正交跳頻序列（如無碰撞區跳頻序列），多用戶FH-CDMA系統誤碼率可以逼近該性能下界。

四、結論

本文從跳頻多址接入系統的性能需求出發，討論了偽隨機跳頻序列性能對跳頻系統的影響，介紹了偽隨機跳頻序列參數之間的制約關系。分析了幾類典型跳頻序列集的漢明相關特性。最后，將這幾類跳頻序列集應用與異步BFSKFH-CDMA系統，通過仿真分析，比較基于不同跳頻序列的FHMA系統誤碼率性能。從分析可以看出，滿足Peng-Fan理論界的偽隨機跳頻序列具有較低的頻點碰撞概率，因此誤碼率性能較好。一般情況下，偽隨機跳頻序列構造都以滿足理論界為設計指標。

參 考 文 獻

[1] 梅文華， 王淑波，邱永紅等. 跳頻通信[M]. 北京：國防工業出版社，2005.

[2] Choi K， Cheun K. Performance of asynchronous slow frequency-hop multiple-access networks with MFSK modulation[J]. IEEE Trans. Commun.， 2000， 48（2）： 298-307.

[3] Ye W X， Fan P Z， and Gabidulin E M. Construction of non-repeating frequency-hopping sequences with no-hit zone[J]. Electronics letters， 2006， 42（12）： 681-682.

[4] 梅文華， 楊義先， 周炯磐. 跳頻序列設計理論的研究進展. 通信學報. 2003，24（2）：92一101.

[5] PENG D Y， PENG T， FAN P Z. Generalised class of cubic frequency-hopping sequences with large family size[J]. IEE Proceedings - Communications， 2006， 152（6）： 897-902.

[6] 彭代淵， 范平志， 李門浩. 低碰撞區跳頻序列集周期漢明相關函數的理論限[J]. 中國科學， 2006， 36（1）： 1-11.