基于軸線馬赫數分布的噴管擴張段無粘型面設計

胡振震，李震乾，石義雷，陳愛國

基于軸線馬赫數分布的噴管擴張段無粘型面設計

胡振震＊，李震乾，石義雷，陳愛國

（中國空氣動力研究與發展中心超高速空氣動力研究所，四川綿陽 621000）

針對高超聲速風洞軸對稱噴管設計問題，開展了噴管擴張段無粘型面設計研究。介紹了基于預設軸線馬赫數分布的直接設計方法，改進了基于面積比的軸線馬赫數分布預設方法，提出了一種方便多點控制的軸線特征點分布方法。對設計噴管流場進行特征線網三角化，與數值模擬結果進行比較，并分析了影響噴管無粘型面的設計因素。表明：改進的面積比方法可以保證軸線馬赫數分布預設的合理性；軸線馬赫數分布、軸線上特征點分布和邊界特征點數明顯影響噴管無粘型面。

高超聲速風洞；擴張段無粘型面；直接設計；軸線馬赫數分布

0 引 言

高超聲速風洞噴管設計目前普遍采用無粘型面加邊界層修正的直接設計方法，相比于優化設計［1－3］，該方法原理簡單計算便捷，在廣泛應用中取得了成功。然而在實踐中有時也發現一個問題，即風洞運行的實際流場與噴管設計流場存在差異。該問題的產生因素有很多，包括來流非均勻非穩態、非平衡膨脹、邊界層轉捩、熱化學非平衡、氣體組分冷凝、加工和組裝精度、噴管內表面侵蝕和型面的力熱變型等，但噴管的無粘型面設計則是其中最重要的一個方面，因而分析其差異應首先確認噴管無粘型面設計方面的問題。

無粘型面直接設計方法根據原理可分為3類：基于預設初始膨脹段型面的方法［4］；基于泉流（或源流）假設的方法（如Foelsch［5］方法、Cresci［6］方法和Sivells［7－8］方法）和基于超聲速區預設軸線馬赫數分布的方法（如ASN［9］方法）。研究表明，第2類基于泉流假設的方法（特別是Sivells方法）在選擇合適的設計參數情況下可以得到良好的無粘噴管設計，但該類方法設計的噴管長度較長，調整不易。第1類和第3類方法均需計算完整的超聲速區特征線網，區別在于第1類方法依據預設的初始膨脹段型面確定軸線上核心區的馬赫數分布，而第3類方法則根據預設的軸線馬赫數分布反求噴管型面。但在喉道附近利用特征線法從預設的噴管型面計算流場，相比利用軸線上給定的速度分布反算能產生該預設速度分布的型面要困難。

超聲速區軸線馬赫數分布的預設方法，最簡單的是采用多項式分布描述，比如采用三次多項式［10］或五次多項式。多項式系數根據超聲速區起點和終點的馬赫數及其一階和二階導數條件確定，并可以通過附加項調整三次多項式，使得內部分布可調。但隨著馬赫數升高或者噴管長度增加，采用三次或五次多項式分布會使得軸線存在大于出口馬赫數的區域，導致軸線馬赫數分布出現問題。易仕和等人考慮采用Bezier曲線［9，11］和B樣條曲線［9，12］的軸線上速度分布方法直接避免該問題，而Tajfar等人［10］考慮利用泉流面積比和馬赫數的關系，首先由三次或五次多項式描述面積比分布，然后根據面積比反算馬赫數分布。采用了面積比的多項式分布后，軸線馬赫數不會超過設計出口馬赫數，但仍可能產生分布不合理的現象，特別是在起點附近可能馬赫數增長過快，進而導致計算特征線網時特征線相交。為此本文在Tajfar方法的基礎上做出改進，解決局部速度分布不合理的問題。

噴管直接設計方法應用的基本技術是特征線網計算［4，13－14］和型面點確定技術。型面點的確定可采用流函數法和流量積分法，本文采用Moger和Ramsay［14］提出的拋物擬合的流量積分法。特征線網計算過程中分從前往后和從后往前2種推進方法，在已知邊界情況下可利用左行特征線一條一條的往上游推進或利用右行特征線往下游推進（見圖1），本文采用向下游推進的方法。為研究無粘型面設計和特征線網質量的影響因素，本文將對設計噴管的特征線網進行Delaunay三角化［15］，并與數值模擬流場結果進行比較分析。

圖1 特征線推進方法（a）往上游推進（b）往下游推進Fig.1 Characteristic marching method（a）march upstream（b）march downstream

1 基于預設軸線馬赫數分布的直接設計方法

1.1軸線馬赫數分布及面積比方法的改進

軸線上的馬赫數分布預設可分為分段預設和統一預設2種方法。Sivells方法在本文作者看來，可以理解為是一種分段預設方法。該方法將軸線分成3個部分，從聲速點I到點E是泉流開始的區域，速度分布用四次多項式描述，從E點到D點為泉流區，從D點到F點是均勻流開始的區域，馬赫數分布用一個五次多項式描述（見圖2）。軸線分成3段，但結合起來就是一種軸線馬赫數分布，若給出喉部的一條初始線AJ（通過喉部跨聲速近似解［16－17］確定一條初值線并由MOC求得），再結合出口馬赫線FC，即可通過MOC計算噴管擴張段完整特征線網（見圖3）進而確定噴管型面，而無需分段計算特征線網（見圖2）。

圖2 Sivells方法確定噴管型面Fig.2 Sivells method to determine the nozzle contour

圖3 基于Sivells方法預設軸線馬赫數分布的特征線網Fig.3 Characteristic network based on the Sivells’axial Mach number distribution

軸線上馬赫數分布的統一預設可采用多種方法，比如三次多項式、五次多項式、Bezier曲線、B樣條曲線，以及面積比的三次多項式等。預設馬赫數需滿足條件：J點：Ma（xJ）＝MaJ，Ma′（xJ）＝Ma′J，Ma″（xJ）＝Ma″J，F點：Ma（xF）＝MaF，Ma′（xF）＝0，Ma″（xF）＝0。J點信息在已知喉道曲率半徑和轉折角情況下通過跨聲速近似解或CFD解獲得，一階和二階導數通過差分方法計算。而F點的位置為：

其中cF≥1為調整噴管長度的系數。

三次多項式分布為：

改進的三次多項式分布可通過a4系數進行內部微調：

五次多項式分布為：

Bezier曲線和B樣條曲線分布公式相對復雜，2種曲線的定義、構造和插值可參考文獻［18－19］。這里給出p次B樣條曲線的應用。對于軸線上馬赫數分布問題，B樣條曲線是u（u∈［0，1］）的函數，由n＋1個p階基函數構成，基函數需要m＝n＋p＋1個節點構造，節點構成的節點矢量ui（i＝0，…，m）采用平均分布，控制點Pi（i＝0，…，n）為（x，Ma）坐標，B樣條曲線描述的馬赫數分布由參數u的方程表示：

控制點P0為：（x0，Ma0）＝（xJ，MaJ）

控制點P1由起點的一階導數確定：

其中dL是可調參數，常取控制點構成的總弦長，當得到的控制點不合理時，可適當調整其大小。

控制點P2由起點的二階導數確定：

控制點Pn為：（xn，Man）＝（xF，Maexit）

控制點Pn－1由終點的一階導數確定：

控制點Pn－2由終點的二階導數確定：

上述6個控制點已經足夠構成B樣條曲線的馬赫數分布，若仍然需要進行內部微調，可以在控制點2～（n－2）之間增加控制點。

為解決軸線上局部區域馬赫數可能大于出口馬赫數的問題，Tajfar等人考慮利用泉流區面積比和馬赫數的關系，首先由三次多項式描述面積比分布，然后根據面積比反算馬赫數分布。泉流面積比Ar與馬赫數的關系為：

而面積比由三次多項式表示

其中J點面積及其導數信息可以由（10）式及其導數與J點馬赫數及其導數計算得到：

圖4～5給出了噴管出口馬赫數為12，cF取3.0和5.57時，不同預設方法的馬赫數分布比較。噴管喉道曲率半徑比等設計參數與Sivells方法選取的參數一致。cF＝5.57是噴管長度與Sivells噴管長度一致時的取值。

圖4 不同預設方法的軸線馬赫數分布（cF＝3.0時）Fig.4 Axial Mach number of different presetting methods with cF＝3.0

隨著cF取值增大，噴管長度增加，三次或五次多項式描述的馬赫數會明顯超過出口馬赫數。圖6表明采用三次多項式分布，cF＝4.0，軸線上特征點采用雙曲加密（兩端系數分別為0.99和0.50）時特征線出現相交。實踐表明：當軸線上的馬赫數略超過出口馬赫數時，特征線并不一定相交，但隨著超出程度增大，特征線出現相交。

圖5 不同預設方法的軸線馬赫數分布（cF＝5.57時）Fig.5 Axial Mach number of different presetting methods with cF＝5.57

圖6 軸線上馬赫數大于出口馬赫數時的特征線相交Fig.6 Characteristic intersection when Mach number on axis larger then Maexit

事實上，采用面積比的三次分布方法后，軸線馬赫數不會超過出口馬赫數，但仍可能存在不合理的地方，特別是當cF較小時，采用面積比的三次多項式分布，其起點J附近馬赫數增長明顯快過B樣條曲線和Sivells方法的結果（見圖4），而因為馬赫數增長過快，很可能導致計算特征線網時特征線相交。圖7給出了面積比三次多項式分布，cF＝2.9，軸線點加密同圖6時，起點J附近特征線網相交的情況。

為了避免在起點附近出現速度增長過快問題，本文在（10）式的基礎上做出改進，增加一個指數系數idx使起點附近馬赫數的增長速度可調，如式（13）所示：

盡管式中增加了一個系數但利用相關函數控制馬赫數分布的本質沒有變。當idx取1.0時，就是原面積比的方法，而當需要減小馬赫數增長速度時，僅需調整系數idx取值小于1.0，反之亦然。圖4表明idx系數為0.8的面積比預設方法在起點附近馬赫數增長速度明顯低于idx取1.0的情況?？偟膩碚f，面積比方法的改進，既滿足了超聲速區起點和終點馬赫數及其導數的連續，又保證了軸線上的馬赫數不超過出口馬赫數，避免過膨脹導致的冷凝問題，也保證了超聲速區起點和終點附近的馬赫數增長的合理性。表1總結了幾種軸線馬赫數分布方法的特點，表明改進的面積比方法可以適用于任意長度噴管設計，且比采用B樣條曲線計算量小，也更易于理解。

圖7 馬赫數增長過快導致的特征線相交（J點附近）Fig.7 Characteristic intersection caused by too fast Mach number increase（near J point）

表1 不同馬赫數分布方法比較Table 1 Comparison of different Mach number distribution methods

1.2軸線特征點分布

軸線上特征點的分布可采用指數函數加密［19］：

其中p＝1時為平均分布，p＞1時為指數加密，Npt為特征點總數，x1，x2為起點終點坐標。也可以采用雙曲函數加密：

其中b1，b2為加密參數，b1控制首端，b2控制未端，取值范圍［0～1），取值越接近1，加密程度越高。

上述2種加密方式，點的分布調整相對單調。文本提出一種多點控制的方法以實現更大的自由度。首先任意給定需要加密的位置（即控制點位置），并根據控制參數（統一給單側雙曲加密參數，如（15）式中的b1并取b2＝0）統一確定各位置的網格間距（該間距為第一個網格的間距），每個控制段（2個相鄰控制點之間）的各網格間距采用線性分布，則各控制段的所有網格確定，進而確定各段的網格數。各控制段的網格數在總網格數的比例乘以實際的網格數就是最終各段的實際網格數。然后根據網格間距線性分布規律，自動調整各段兩端的網格間距從而確定所有布點。

考慮在［0，1）線段上布點，特征點數為151，實際網格數為150，考慮控制點（0，0.05，0.15，0.6，1.0），控制參數（0.9999，0.99，0.95，0.90，0.1），計算過程如下：

（1）由式（15）確定（式中x1＝0，x2＝1，b2＝0）各控制點網格間距為：（0.6779×10－5，0.3585×10－3，0.1259×10－2，0.2076×10－2，0.6578×10－2）

（2）各控制段的末端網格間距與首端比值rdi為：（52.8787，3.51314，1.64866，3.16826）

（3）由（16）式計算各段應布置網格數為：（273，123，269，92）

其中i為第i個控制點，Ni為控制點i～i＋1段網格數，di為i點的網格間距，rdi＝di＋1／di。

（4）確定各段實際布置點數為：（54，24，53，19）

（5）由（16）式確定各段實際的首端網格間距為：（0.3437×10－4，0.1846×10－2，0.6411×10－2，0.1010 ×10－1），末端網格間距和首端網格間距的比值不變，進而根據網格間距線性分布確定所有的點的位置。圖8給出了上述3種不同布點方法的結果。

2 馬赫12噴管的數值模擬分析

噴管無粘型面的設計實踐表明，隨著噴管設計出口馬赫數的提高，噴管長度增加，誤差會更為顯著，因此本文考慮設計馬赫12噴管，對無粘型面設計及其影響因素進行分析。

2.1軸線馬赫數分布的影響

噴管設計考慮特征點數：取AJ段81，JF段181，FC段251，轉折角12°，喉道曲率半徑比12。首先考慮與Sivells噴管長度一致（cF取5.57），比較4種馬赫數分布：（Case1）Sivells分布，d Ma為D點馬赫數與D點最小可取值之差和F點馬赫數與該最小值之差的比值，取0.8；（Case2）面積比的三次多項式分布；（Case3）面積比的五次多項式分布；（Case4）B樣條分布，dL取0.2·（xF－xJ）。

圖8 不同方法的布點比較Fig.8 Point distribution of different methods

然后考慮稍短的噴管（cF取3.0），比較4種馬赫數分布的結果：（Case5）馬赫數的三次多項式；（Case6）面積比的三次多項式，idx＝0.8；（Case7）面積比的五次多項式；（Case8）B樣條分布，dL取0.3 ·（xF－xJ）。

圖9～12給出了Case1～4的噴管設計流場馬赫數等值線（特征線網三角化后的結果，紅虛線）與數值模擬結果（黑實線）的比較，4種不同軸線馬赫數分布的設計流場與數值模擬結果基本一致。實際上特征線方法計算的出口參數就是均勻的設計出口馬赫數，只要數值過程足夠精確，理論上特征線方法得到的型面應該就是能夠產生均勻出口馬赫數的型面。但是實際計算中，布點數、網格和數值過程等都帶來誤差，所以實際得到的噴管出口必然有一定的偏差，而這個偏差需要用數值模擬方法獲得。圖9～12的結果表明特征線方法實際計算中的偏差并不明顯，至少在云圖上無法明確得出，但通過分析數值模擬的出口馬赫數可以比較在相同設計參數和計算條件下，不同分布所帶來的差異。圖13給出了Case1～4噴管的出口馬赫數比較，其中面積比五次多項式分布和Sivells分布的最大偏差接近0.1%，B樣條曲線分布的結果靠近軸線局部區域略大于0.1%，而面積比三次多項式分布的結果最大偏差為0.35%。圖14給出了Case5～8噴管的結果，其中因為面積比的三次多項式分布導致起點J附近的馬赫數增長過快，所以取idx＝0.8。除靠近壁面的區域外4種分布出口馬赫數偏差均小于0.1%，壁面附近偏差最大的是面積比的五次分布，約為0.3%，最小的是B樣條分布，但4種分布之間的差異小于0.03%。上述結果說明，在噴管長度、特征點分布和數量等設計參數一致時，采用不同的軸線馬赫數分布函數對噴管出口馬赫數存在影響，但只要采用合適的分布使得軸線馬赫數正確合理，可以在除壁面附近外的區域得到出口馬赫數偏差小于0.1%的結果。

圖9 基于Sivells軸線馬赫數分布預設的噴管馬赫數等值線Fig.9 Mach number contour of the nozzle designed with the Sivells’axial Mach number distribution

圖10 基于面積比三次多項式分布預設的噴管馬赫數等值線Fig.10 Mach number contour of the nozzle designed with the cubic distribution of the ratio of area

圖11 基于面積比五次多項式分布預設的噴管馬赫數等值線Fig.11 Mach number contour of the nozzle designed with the quintic distribution of the ratio of area

圖12 基于B樣條曲線馬赫數預設的噴管馬赫數等值線Fig.12 Mach number contour of the nozzle designed with the B－spline Mach number distribution

2.2軸線特征點的位置分布及其數量的影響

軸線上特征點的位置分布會明顯影響特征線網，比如影響網格的過渡光滑性和正交性。圖15給出了馬赫12噴管，軸線上馬赫數三次多項式分布，軸線上點數101，出口馬赫數線上點數101，軸線上的點采用雙曲加密，兩端加密參數分別為（a）0.999，0.5；（b）0.99，0.5；（c）0.9，0.5的特征線網，其中圖5（a）和5（b）圖在特征線網起始區域（J點附近）過渡明顯好于

圖13 不同軸線馬赫數預設方法的噴管出口馬赫數Fig.13 Mach number at exit of the nozzle designed with different axial Mach number presetting methods

圖14 不同軸線馬赫數預設方法的噴管出口馬赫數cF＝3.0Fig.14 Mach number at exit of the nozzle designed with different axial Mach number presetting methods with cF＝3.0

圖15 軸線上不同布點的特征線網和噴管型面比較Fig.15 Comparision of characteristic networks and contours of different point distributions

圖5 （c）。圖5（d）圖中噴管無粘型面的差異反映了圖5（a）、5（b）和5（c）不同特征線網所導致的差異，表明特征線網是否過渡光滑是其質量的重要影響因素。

特征點的數量既影響特征線網疏密也影響其是否光滑過渡。圖16給出了采用4種不同布點數時在F點附近的特征線網，軸線上兩端加密參數為0.999和0.5，其中軸線和出口馬赫線分別為（a）101，101；（b）101，166；（c）151，251；（d）201，333。在圖16（a）中F點附近軸線和出口馬赫線上的右行特征線過渡不夠光滑，而圖16（b）、16（c）和16（d）相對較好。隨著點數的增加特征線網也隨之變密。圖17給出了噴管某位置的型面比較，可以看到采用不同點數時的細微差異。

圖16 不同點數的特征線網（F點附近）Fig.16 Comparision of characteristic networks of different point numbers（near Fpoint）

圖17 不同點數的型面比較Fig.17 Comparision of contour of different point numbers

采用數值模擬方法考察軸線和出口馬赫線上點的數量和分布對于噴管流場的影響，考慮馬赫12噴管，三次多項式軸線馬赫數分布cF＝3.0，初始線特征點數81，喉道曲率半徑比12，轉折角12°，泉流半徑為1.0。計算如下狀態：（Case1）軸線101雙曲函數分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線166，平均分布；（Case2）軸線151雙曲函數分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線251，平均分布；（Case3）軸線201雙曲函數分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線333，平均分布；（Case4）軸線151雙曲函數分布b1＝0.99，b2＝0.5，出口馬赫線251，平均分布；（Case5）軸線151多點控制分布（見1.2節），出口馬赫線251，平均分布。

圖18的噴管出口馬赫數表明，5個狀態的結果在除靠近上壁面的區域外，偏差均在0.1%以內，不同狀態在不同的y位置偏差各異。從圖19噴管上壁面的馬赫數看，狀態3最接近出口馬赫數12，偏差約0.19%，而狀態1的結果偏離最大達0.45%，說明當網格點數偏少時，計算結果偏離明顯增大，隨著網格點數增加，特征線網的精度明顯增加。而狀態2、4和5在相同點數情況下，軸線上特征點的不同分布會

圖18 噴管出口馬赫數Fig.18 Mach number at exit of the nozzle

圖19 噴管上壁面馬赫數Fig.19 Mach number at wall of the nozzle

產生一定的差異，其中狀態4的結果最接近出口馬赫數，但3種結果偏差小于0.02%，結合圖15分析，首端加密參數b1大于0.99，使得特征線網過渡光滑，是特征線網質量的重要保證。

3 結 論

對于高超聲速風洞噴管的無粘型面設計，基于預設軸線馬赫數分布的直接設計方法是目前最普遍采用的方法。通過本文的研究得出如下結論：

（1）對基于面積比的軸線馬赫數分布設定的方法進行改進，使得在原方法保證軸線馬赫數不超過出口馬赫數的同時，提高了軸線上起點附近馬赫數增長的合理性。采用多點控制的軸線特征點位置分布方法，提供了軸線特征點分布更大的自由度和可控度。

（2）軸線上馬赫數分布函數、特征點的分布和邊界上特征點的數量影響特征線網的質量，進而影響噴管無粘型面。當采用某種分布函數保證軸線上馬赫數分布合理，則可以保證出口馬赫數除壁面附近外的絕大部分區域偏差小于0.1%。特征點數增加或者采用一定的特征點分布，使得特征線網過渡更光滑，能進一步減小壁面附近的出口馬赫數偏差。

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Design of nozzle inviscid contour based on axial Mach number distribution

Hu Zhenzhen＊，Li Zhenqian，Shi Yilei，Chen Aiguo（Hypersonic Aerodynamics Research Institute，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang Sichuan 621000，China）

The supersonic inviscid contour design methods were studied for the hypersonic wind tunnel axial－symmetric nozzle.The Direct－design technique based on the axial Mach number distribution presetting was introduced，the axial Mach number distribution presetting method based on the ratio of area was improved，and a new multipoint－control characteristic point distribution method was proposed.The designed nozzle characteristic network was triangulated and compared with the numerical simulation result，and influencing factors were analyzed for the nozzle inviscid contour.Results indicate that：the feasibility of the axial Mach number distribution presetting method based on the ratio of area is guaranteed by the present improvement；the nozzle inviscid contour is significantly affected by the axial Mach number distribution，axial characteristic point distribution and the amount of characteristic points on the boundary.

hypersonic wind tunnel；supersonic inviscid contour；direct－design；axial Mach number distribution

V211.74

：A

（編輯：楊 娟）

1672－9897（2016）04－0097－08

10.11729／syltlx20150115

2015－09－04；

2015－12－04

＊通信作者E－mail：hzzmail＠163.com

Hu Z Z，Li Z Q，Shi Y L，et al.Design of nozzle inviscid contour based on axial Mach number distribution.Journal of Experiments in Fluid Mechanics，2016，30（4）：97－104.胡振震，李震乾，石義雷，等.基于軸線馬赫數分布的噴管擴張段無粘型面設計.實驗流體力學，2016，30（4）：97－104.

胡振震（1984－），男，浙江武義人，助理研究員。研究方向：高超聲速試驗技術。通信地址：四川省綿陽市二環路南段6號15信箱506分箱（621000）。E－mail：hzzmail＠163.com