談數學思維模式發展

“模式”是一種可以照著去做的標準樣式。數學模式是反映特定的數學問題或對象的關系結構，數學思維模式是指主體在數學思維活動中形成的相對穩定的思維樣式，是一定的數學知識結構與數學思維方式結合而成的動力系統。數學思維模式具有簡約思維過程、降低思維強度、提高思維效率的認識功能。在通常意義下，凡是相對穩定成型的數學思想規律、方法及典型問題或基本問題都屬于數學思維模式的范疇。

一、幾種主要的數學思維模式

數學的載體是數、式、圖形、結構等數學對象。由于這些對象是具有特殊性的，它們是抽象的“思想事物”，所以數學的思維反映在認識數學的概念、法則、定理甚至符號之中。數學知識綜合復雜、千差萬別，但仔細分析，大體有以下四種數學思維模式。

1.數學思維的操作模式：數學方法。數學思維的最初級模式是法則和方法以及公式等的直接應用。如加減乘除的四則運算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等，表現為有章可循、可以操作的一種程序，這里講的操作，當然是思維操作。例如，用兩塊三角板過直線外一點畫已知直線的平行線，教師總結的“一放、二靠、三移、四畫”的程序，就是便于學生掌握“過直線外一點畫已知直線的平行線”的方法。

2.數學思維的機理模式：數學原理。機理模式的數學思維，表現為一種適應范圍廣、高層次的方法。它充滿著理性與邏輯性，常以數學原理的形式出現，有時雖然也有操作，但操作只是從屬地位。如果說操作模式的數學思維常表現為“一定要這樣”，那么機理模式的數學思維突出的是“為什么是這樣”。機理模式的數學思維表現有：分析和綜合原理、等價原理、對稱原理、分類原理、抽屜原理等，如式的恒等變形，根據的是等式的性質。

3.數學思維的動態模式：數學思想。學習數學的基本要求是理解，要將數學知識廣泛地融會貫通，這就是動態模式的數學思維，表現為數學思想是一種辯證性、運動性、總體性的思維形式，即從普遍聯系的視角來數學思維。如轉化思想、運動思想、數形結合思想、優化思想、集合思想、極限思想、對應思想、變換思想、普通性與特殊性思想等都屬動態思維模式。

4.數學思想的工具模式：數學意識。數學家如何創造了數學？數學家在處理似乎與數學無關的問題時，他們的技巧為何如此高超？這種創造，這種處理，就是工具模式的數學思維：數學意識。作為數學意識，最深刻、本質的認識是：數學是科學的仆人，數學是科學的語言，甚至數學是宇宙的語言，數學是思維的工具。例如，笛卡兒提出過的“萬能方法”（把任何問題化歸用代數方程解的數學問題），雖然“萬能模式”的設想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質上肯定了數學思維對認識世界的工具作用。正如馬克思所說：“一門科學，只有當它成功地運用數學時，才算達到真正完善的地步。”這即所謂的數學意識。也就是說數學的對象是一種邏輯的建構，一般的科學對象可以說是“數學建構”。

二、對一道例題幾種解法的思維模式層次剖析

蘇教版小學數學五年級上冊（2014版）第96頁編排了如下一道例題。

南山中心小學舉行小學生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

教學中，教師在學生認真審題、理解題意的基礎上，讓學生嘗試尋找解決問題的方法后交流。

第一種方法，在紙上寫了紅、黃、綠、藍4支隊的名字，然后兩兩配對，一個一個地數，得到的結果為6場（如圖1）。

顯然，這種方法是這一比賽法則的操作思維。此思維法則，顯示了對經驗的總結，這種思維操作模式的直接結果是熟悉數學知識與形成數學技能，掌握基本的數學方法。

第二種方法，把這4支比賽球隊列成一個表，即比賽的場次表（如下表），得到的結果是6場。

這種方法主要是分類或分解原理的機理思維，在這里我們會感悟到：如果沒有經過法則和方法的認真操作，就不能形成扎實的基本功；如果不能上升到數學的原理去思維、思考法則和方法的機理，勢必是機械的數學學習。反過來，如果僅僅是從原理上學習數學，而不是在法則訓練的基礎上去提煉，則數學原理就成為無源之水、無本之木。因此法則的操練與原理的領悟二者緊密聯系，不可偏廢。

第三種方法，先分析2支球隊比賽的場數，3支球隊比賽的場數，再分析得到4支球隊比賽的場數為1+2+3=6（場）。教學時有些教師還會作適當的延伸，提問5支球隊、6支球隊……要比多少場呢？找出球隊數增加與比賽場數增加的規律，從而解決問題。這是一種運動思想的動態數學思維。這種動態思維是溝通數學知識之間、數學知識與實踐之間內在聯系的思維形式，是具有深刻的居高臨下的理解知識的思維模式。學習知識就是一個不斷地由薄到厚和由厚到薄的過程，這里由厚到“薄”不是知識少了，而是精了，是對知識理解達到了融會貫通。

第四種方法，把每支球隊抽象為一個點，兩隊比賽是兩點連線，比賽的場數是四邊形的邊數與對角線數的和（如圖2）。

這種解法是抽象化、模型意識的工具思維。數學意識是人類用數學思維處理問題的方式。解法四其反映的思維包含著較高的抽象化意識、模型化意識和符號化意識的成分。它將具有數學再生與創造的品格和用來解決挑戰性問題的能力的品格。

可見，數學思維的四種模式反映了由低到高發展的四個層次。最基礎的思維材料是數學知識，操作模式思維的數學方法是數學知識的積累模塊；機理模式思維的數學原理是對數學知識的消化、理解與系統化；動態模式思維的數學思想是對數學知識的掌握；工具模式思維的數學意識是對數學知識的運用。

三、給小學數學教學的啟示

形成數學意識是數學思維的最高境界。它是學習者走出校門若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都模糊了而保留下來的終身受益的東西。學會了自覺地用“數學的思維方式”去思考問題，才算是真正學會了“數學的思維方式”。

1.數學教學應重視讓學生數學思維模式的有序發展。低層次的數學知識，只能為數學方法、數學原理、數學思想、數學意識提供較為狹小的陣地，但隨著數學知識領域的擴大，也為數學思維的發展提供了廣闊的空間。應讓數學思維模式隨著數學知識的深入而滾動發展，循序漸進，螺旋上升。

2.數學教學要讓學生掌握初步的建構數學模型的本領。解決實際問題時，要善于引導學生建立（或選擇）一個較好的（既反映問題的本質又相當簡單）數學模型。建立數學模型的過程，就是一個數學化的抽象的過程，其實質就是通過抽象找出當前問題與某種數學結構的聯系，把一個實際問題轉化為一個數學問題的過程。學生掌握了這樣的本領，也是學生形成數學意識的堅實基礎和有利條件。

3.數學教學中教師應具有讓學生走向“理性思維”的智慧。要善于透過數學知識的層面去審視教材，發掘和把握教材資源中含有的數學理性思維因素，發揮其應有的作用；同時還要善于研究數學思維模式的層次，能帶著培養學生“數學意識”的眼光，去尋找適切的途徑，優化學生思維的發展，讓學生的理性精神逐步豐滿起來。

許光新，男，1956年生，中學高級教師，江蘇省小學數學特級教師，無錫新區實驗小學校長。曾主持的江蘇省教育規劃重點課題“為每一個兒童設計課程—個性化教學的探索與實踐”獲江蘇省基礎教育成果一等獎。現主持研究江蘇省首批基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“為每一個兒童設計課程—豐富學生的學習方式”。曾出版專著3本，有100多篇教育教學文章在《人民教育》、中國人民大學復印報刊資料等刊物發表或轉載。