介質表面電磁波反射和透射能量的分析與計算* 1

姚宜東,徐　毅,楊新華,李　文,魏川奇

(北京航天控制儀器研究所,北京 100094)

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介質表面電磁波反射和透射能量的分析與計算* 1

姚宜東,徐毅,楊新華,李文,魏川奇

(北京航天控制儀器研究所,北京 100094)

摘要：研究電磁波在介質表面的反射透射特性時，若運用傳統的微波二端口網絡模型進行分析，容易進入無耗條件下水平極化波和垂直極化波能量不守恒的誤區。通過討論微波二端口網絡模型的建模基礎和適用條件，分析了在處理介質表面能量問題上該方法存在不足的原因。并針對這些不足，運用麥克斯韋方程組和場分析方法，使用坡印廷矢量建模，引入波阻抗和有效面積，正確計算了反射波和透射波能量的表達式，得到了能量守恒的正確結果。

關鍵詞：介質表面；反射系數；透射系數；微波二端口網絡；坡印廷矢量

0引言

平面電磁波入射至介質表面時，會發生反射與折射現象。根據反射波和折射波與原入射波的場強的比值，可以定義反射系數和透射系數(傳輸系數)[1-2]。對平面電磁波斜入射至分層介質后的反射、折射性質和計算方法，近年來有不少的文章進行過論述，包括分層介質的有效電磁參數[3]、傳播衰減[4]、反射特性[5-7]、分界面電磁分析的時域有限差分法[8-9]、全折射全反射性質[10]和介質表面的類柱狀波[11]等。在分析介質表面反射波、透射波與入射波的能量關系時，可使用麥克斯韋方程組和場分析方法精確推導反射系數和透射系數。在介質表面無耗的條件下，由能量守恒可知反射波能量與透射波能量之和等于入射波能量。由傳統的微波二端口網絡模型理論可知，電信號的透射系數和反射系數滿足關系Γ2+T2=1[12]。但由麥克斯韋方程組推導的反射系數和透射系數并不滿足該公式。即使用微波二端口網絡模型來分析介質表面電磁波能量，會進入能量不守恒的誤區。本文通過分析出現該矛盾的原因，指出在計算介質表面處的能量時使用微波二端口網絡模型容易忽略一些關鍵參量，并利用坡印廷矢量進行建模分析，正確計算了電磁波在穿越介質表面時各部分能量的守恒關系。

1不同極化方式的電磁波穿越介質表面時反射波與透射波的計算

天線輻射的電磁波在遠場區域可近似認為是平面波，即電場和磁場矢量均垂直于傳播方向。根據電場矢量所處的平面，可以定義水平極化和垂直極化兩種正交極化方式。任意平面波可以進行正交分解，由水平極化波和垂直極化波加權組成。

定義水平極化波為電場矢量在xz平面的平面電磁波，在斜入射至兩理想介質表面時，反射和折射如圖1所示。

圖1　水平極化波斜入射至介質表面產生的反射波與透射波

此時水平極化波的入射場可寫為[12-13]

Ei=E0(excosθi-ezsinθi)e-jk1(xsinθi+zcosθi)

反射場可以寫為：

Er=E0Γ‖(excosθr+ezsinθr)e-jk1(xsinθr-zcosθr)

由理想介質表面即z=0處切向場的連續條件，可以得到：

上兩式兩邊都是坐標x的函數，若Ex和Hy在分界面z=0處對所有x都連續，那么x的變化在方程兩邊必須相同，即滿足以下條件：

k1sinθi=k1sinθr=k2sinθt

于是可求出反射系數和透射系數為：

其中，

對于垂直極化波(電場矢量在xy平面內)，由類似推導過程可求得反射系數和透射系數分別為：

2基于微波二端口網絡的建模與討論

圖2　無耗微波二端口網絡能量守恒示意

根據前文推導出的水平極化波和垂直極化波的反射系數和透射系數表達式，代入發現Γ2+T2≠1，即入射波能量不等于反射波能量與透射波能量之和，進入了能量不守恒的誤區。可以判斷，利用微波二端口網絡模型來分析介質表面能量的方法出現了錯誤。

微波二端口網絡模型分析是運用電路分析理論對電磁波問題進行分析和計算的方法。例如，在傳輸線或波導問題中，把傳輸線處理成用長度、傳播常數、特征阻抗等表征的分布式元件，再用電路理論分析整個系統的性能[12]。然而在介質表面電磁波能量的建模和計算中，簡單的將反射系數、透射系數等同于散射參數S11和S21是不適當的，因為分界面兩側介質的波阻抗的差異會影響網絡端口的阻抗匹配條件，使某些常用計算公式不再適用。同時，對于入射和出射的電磁波，其能量進入和離開介質表面的有效面積與實際面積之間也存在差異，會影響到電磁波能量的計算。因此，簡單的使用散射參數的平方關系去分析介質表面的電磁能量，是不適當的。

微波二端口網絡模型分析的基礎是麥克斯韋方程組和場分析，傳播常數和特性阻抗等模型參量均是使用麥克斯韋方程組嚴格計算得到的。因此，為了準確分析介質表面電磁波入射出射的能量，需要從麥克斯韋方程組和場分析入手。

3基于坡印廷矢量的建模與計算

空間中電磁波的能量流動由坡印廷矢量(即能流密度矢量)定義，天線輻射的能量在遠場區域單位面積的功率可以由坡印廷矢量計算[14]。

用Sav表示在某段時間內輻射場穿過單位面積的平均能量，如圖3表示。其中，Ai是電磁波有效入射面積，Ar是有效反射面積，At是有效透射面積。則入射能量Eni=Savi*Ai，反射能量Enr=Savr*Ar，透射能量Ent=Savt*At。

圖3　基于坡印廷矢量的建模框

根據坡印廷矢量定義，可知：

對于平面波，將磁場矢量用電場矢量和波阻抗表示，上式變為:

將圖3所示的建模框圖具體化，取入射波在介質表面(xy平面)的任意形狀的照射面，假設此照射面面積為A。進入此面積的電磁波能量為入射波能量Eni，流出此面積的電磁波能量為反射波能量Enr，透射波能量Ent。如圖4所示。

圖4　入射波和反射波、透射波的能流示意

(1)計算入射波能量

標記入射波平均坡印廷矢量為Savi，計算能量時，其有效入射面積為垂直于入射波方向的橫截面積Ai，即照射面面積A在垂直于入射波方向上的投影面積:

Ai=Acosθi

由能流密度計算入射波能量為：

(2)計算反射波能量與透射波能量

標記反射波平均坡印廷矢量為Savr，反射波的垂直投影面積Ar=Acosθr=Acosθi，反射波能量為：

標記透射波平均坡印廷矢量為Savt，透射波的垂直投影面積At=Acosθt，透射波能量為:

對于水平極化波，將推導出的水平極化波反射系數和透射系數公式帶入，可得：Enr+Ent=∮ArSavrdA+∮AtSavtdA=

∮AiSavidA=Eni

因此，在平面電磁波斜入射至介質表面時，反射波能量與透射波能量之和與入射波能量相等。

對于垂直極化波，通過相同步驟計算，也可得到相同結論。

Enr+Ent=∮ArSavrdA+∮AtSavtdA=∮AiSavidA=Eni

4結語

利用微波二端口網絡模型對電磁波斜入射至介質表面處的能量進行分析和計算時出現“能量不守恒”的原因，在于不適當的等效，簡單的將反射系數、透射系數等同于散射參數，卻忽略了波阻抗和有效輻射面積等其他參量。由于網絡端口的阻抗匹配條件不成立，故常用的計算公式Γ2+T2=1不再適用。而以麥克斯韋方程組和場分析為基礎的坡印廷矢量建模則回歸電磁分析基礎，正確計算了反射、透射波的能量。這兩種建模方法的主要區別在于兩點。

1)電磁波能量密度是電場和磁場的矢量叉乘，而電信號能量密度是有效電場信號強度的平方。在平面波條件下，兩者之間的計算存在波阻抗的差異。而介質分界面兩側的波阻抗不同，即使用微波二端口網絡建模時，兩端口的波阻抗不能簡單的抵消，因此，計算時必須考慮不同介質波阻抗的差異。

2)電磁波穿過介質表面時，可能出現垂直入射或斜入射兩種情況，在計算能量時，需考慮到有效輻射截面和照射面積之間的差別。由于二端口網絡模型是對電路電壓和電流的分析，不存在入射面積的差異，均等效于垂直入射，因此不適用于分析斜入射。從數學計算角度來說，電磁波能量是密度對穿透面積的積分，計算時需取有效輻射截面而非照射面積，而電信號能量的穿透面積與照射面積相同，缺少有效輻射界面的概念。

因此，在分析電磁波斜入射至介質表面處反射、透射波能量的問題上，不適當的使用微波二端口網絡建模會進入能量不守恒的誤區，應回歸微波二端口網絡分析法的基礎，從電磁波能流的實際含義去理解，用麥克斯韋方程組和場分析方法進行計算。

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Analysis and Calculation on Reflection and Transmission Energy of Electromagnetic Wave at Dielectric Interface

YAO Yi-dong，XU Yi，YANG Xin-hua，LI Wen，WEI Chuan-qi

(Beijing Institute of Aerospace Control Devices，Beijing 100854，China)

Abstract：For analyzing the electromagnetic characters of reflected wave and transmitted wave at the dielectric interface, the traditional microwave two-port network model might be incorrectly used and the result may probably present a fault that no energy conserve when the network is in lossless condition. Based on discussion of the modeling base and proper condition, the defect of microwave network modeling method for solving the energy issue is analyzed. Maxwell equations and field analysis as basis of the network modeling are applied. A modeling method based on Poynting vector is proposed for strict solving the issue by introducing wave impedance and effective area in calculation. The correct expressions of the reflected wave and transmitted wave energy as well as energy conservation are finally derived.

Key words：dielectric interface; reflected coefficient; transmitted coefficient; microwave two-port network; Poynting vector

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.05.010

* 收稿日期：2015-12-18；修回日期：2016-04-02Received date:2015-12-18；Revised date：2016-04-02

中圖分類號：TM154.3

文獻標志碼：A

文章編號：1002-0802(2016)05-0558-05

作者簡介：

姚宜東(1984—)，男，博士，工程師，主要研究方向為衛星移動通信天線技術和數字分布式天線系統;

徐毅(1979—)，男，學士，高級工程師，主要研究方向為衛星移動通信技術及應用;

楊新華(1985—)，女，碩士，工程師，主要研究方向為微波器件和衛星移動通信天線技術;

李文(1988—)，男，碩士，助理工程師，主要研究方向為數字分布式天線系統和衛星移動通信天線技術;

魏川奇(1989—)，男，碩士，助理工程師，主要研究方向為衛星移動通信天線技術。