多載波FTN系統脈沖成形濾波器的分析與設計* 1

段　昊，高媛媛，郭明喜，周智勇，聶晟昱，徐　洋

(1.解放軍理工大學 通信工程學院研究生3隊，江蘇 南京 210007； 2.解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

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多載波FTN系統脈沖成形濾波器的分析與設計* 1

段昊1，高媛媛2，郭明喜2，周智勇1，聶晟昱1，徐洋1

(1.解放軍理工大學 通信工程學院研究生3隊，江蘇 南京 210007； 2.解放軍理工大學 通信工程學院，江蘇 南京 210007)

摘要：多載波FTN (faster-than-Nyquist)系統會同時引入碼間串擾和載波間串擾，增加了IFFT模塊的實現難度。映射原理的提出很好地解決了這一問題，但同時也對成形濾波器的設計提出的更多要求。基于OFDM/OQAM系統，對多種原型濾波器的FTN映射性能進行了分析。為有效評價映射精度，推導并定義了誤差能量的概念。基于多載波FTN信號的離散時間表達，進一步設計了一種基于高斯脈沖的優化數字濾波器。該濾波器滿足嚴格的離散正交條件，且誤差能量更小，映射精度更高，從而提高系統的誤碼性能。同時也降低了復雜度，有利于多載波FTN系統的硬件實現。

關鍵詞：多載波FTN；成形濾波器；映射模塊；誤差能量；復雜度

0引言

實現數據的可靠、高效傳輸一直是通信發展的主要目標，眾所周知，通信系統中碼元的傳輸必須遵循Nyquist速率準則，否則會引起碼間串擾，影響誤碼性能。為了進一步提高頻帶利用率，Mazo等人在1975年提出了FTN(faster than Nyquist)傳輸技術，指出碼元傳輸可以在一定限度內超過Nyquist速率，不影響系統誤碼率，我們稱之為Mazo限[1-2]。這一原理的提出也為發展多種高速傳輸技術提供了新的思路。近年來，以OFDM為代表的多載波通信技術得到了廣泛的應用[3]，與傳統的單載波通信相比，該技術在抗干擾性和高效傳輸等方面擁有諸多優勢，將FTN的概念引入到多載波通信領域有著實際的應用價值。

2005年，Rusek等人首次將FTN原理與多載波技術相結合，提出了二維Mazo限的原理[4]，指出信號可以在時域和頻域同時進行一定程度的壓縮，不會影響誤碼性能。以此為基礎，他們又提出了多流FTN的概念[5]，從理論層面上證明了多載波FTN技術的可行性。針對多載波FTN系統的具體實現方案，文獻[6]進行了進一步的研究，首次提出了映射模塊的概念，將FTN信號等效轉化為普通的OFDM/OQAM正交符號，簡化了系統設計的復雜度，但同時也提高了成形濾波器的設計要求。文獻[7]比較了矩形窗和IOTA(isotropic orthogonal transform algorithm)函數作為成形脈沖時的映射性能，可以看出IOTA濾波器明顯更加適用于多載波FTN映射模塊。但是，考慮到IOTA濾波器自身的運算量，映射模塊精度的提高實際上是以高復雜度為代價的。研究表明，除了IOTA，還有多種時頻聚焦性能(TFL，time frequency localization)性能優異的濾波器能夠適用于OFDM/OQAM系統[8-9]，這些脈沖的映射性能有待進一步研究。另一方面，分析過程中并沒有給出映射精度的具體量化標準。在實際濾波器設計時，往往采用優化的數字濾波器，而映射系數的內積運算，本質上建立在對連續脈沖進行采樣和截斷的基礎上的。因此，設計合適的數字濾波器，從而提高映射精度、降低模塊復雜度，是一個值得研究的方向。本文著重研究了多載波FTN脈沖成形濾波器的分析和設計方案，具體的工作和章節安排如下：

(1)第一部分給出了對基于OFDM/OQAM的多載波FTN系統模型，映射模塊原理進行了分析。

(2)第二部分定義了誤差能量的概念，全面分析了多種經典原型濾波器的映射性能。

(3)第三部分基于離散時間下多載波FTN系統，設計了一種基于DZT(discrete Zak transform)變換的改進高斯濾波器。

(4)第四部分進行了仿真和數據分析

(5)第五部分對全文進行了總結。

1系統描述和模型分析

1.1基于OFDM/OQAM的多載波FTN系統

OFDM/OQAM系統，顧名思義，即采用偏置正交幅度調制(OQAM)的一種OFDM系統。與傳統的一些多載波實現方式不同，該系統將QAM調制后的復數信號實部和虛部分開，交替延時半個周期后分別進行傳輸，而各子載波間也并不要求嚴格正交，只需滿足實數域正交條件。基于OFDM/OQAM的多載波FTN信號需要在時頻域同時進行壓縮，系統格點分布如圖1所示。

圖1　多載波FTN系統時頻域示意

在圖1中，黑色格點代表未壓縮前的OFDM/OQAM符號，稱之為正交符號，交叉格點表示壓縮后的非正交FTN符號。需要指出的是，本文中所有“正交”均指實數域正交。多載波FTN系統發送信號可表示為[7]：

(1)

這里ak,l即為發送的實數符號(取值為±1)，k、l是相應的時頻序數，TΔ、FΔ即為時頻域的壓縮系數。T0是傳統OFDM系統中復數符號的傳輸周期，K表示子載波的數目，本文假定其為偶數，即K=2N(N∈Z+)。g(t)代表高斯脈沖，考慮到其具有優異的TFL特性本文將其作為FTN信號脈沖。

1.2發送端映射模塊

眾所周知，多載波系統通常采用IFFT模塊以降低系統復雜度，但是經過時頻壓縮之后，IFFT的實現難度顯著增加。基于映射模塊的實現方案能夠很好地解決這一問題[7]，圖2和圖3分別給出了基于映射原理的系統框圖和映射格點示意圖。

(a)基于FTN映射模塊的系統發送端框

(b)多載波FTN格點映射示意

(2)

這里Ck,l,m,n即為映射系數，其基本原理如圖2(b)所示，可以表示為：

Ck,l,m,n=R〈gk,l(t),ψm,n(t)〉

(3)

(4)

(5)

2原型濾波器映射性能分析

2.1映射精度評價參數

(6)

產生的誤差函數定義為：

(7)

(8)

(9)

因此，我們可以得到映射過程中誤差能量為：

(10)

式中，εs代表信號的能量，這里我們對濾波器脈沖能量歸一化處理，可得：

(11)

誤差能量可以用以衡量映射精度，它實際上反映的是重構信號相對于原信號的有效能量損失程度。顯然，誤差能量值越小，映射精度越高。當然，評判映射模塊的性能，并不能僅僅依據誤差能量，還要考慮不同脈沖下映射系數的計算復雜度。而這兩個參量也正是本文用以衡量映射模塊性能主要標準。

2.2原型濾波器

設計合適的成形濾波器是提高映射模塊性能的核心問題。因此，下面我們對幾種經典的OFDM/OQAM原型濾波器進行映射性能分析。

(1)平方根升余弦脈沖(RRC)[10]

平方根升余弦函數是一種經典的原型脈沖，廣泛應用于現有的各類通信系統中。該濾波器表達式如下：

(12)

這里我們采用α=0.3的RRC脈沖。

(2)擴展高斯函數(EGF)[8]

擴展高斯函數(EGF)是基于高斯函數的改進脈沖方案，既具有良好的時頻聚焦特性，也滿足實數域正交的要求，其時域表達式如下：

(13)

式中，gα(t)=(2α)1/4e-παt2(α>0)，即高斯函數，其系數dk,α,υ0均為實數，可以被精確計算[8]。υ0、τ0分別是時頻域間隔參量，滿足υ0τ0=1/2。根據本文采用的OFDM/OQAM模型，我們規定α=1，τ0=T0/2，υ0=F0=1/T0。

(3)各項同性正交變換函數(IOTA)

2.3映射性能分析

圖3給出了三種原型濾波器的映射重構脈沖與原高斯脈沖的對比情況。從映射精度的角度來看，可以發現EGF脈沖性能最優，實際上，通過本文第四部分的能量誤差數值分析可以發現，在映射精度性能方面，EGF脈沖>IOTA脈沖>RRC脈沖，這是因為RRC的TFL性能最差，在映射的過程中難以實現能量的集中，因此誤差能量較高。而EGF雖然比IOTA的TFL性能略差，但采用了與系統模型相匹配的參量，反而取得了更高的映射精度。從復雜度角度來看，對單個FTN符號的映射運算量進行分析，可以發現RRC脈沖的運算復雜度最低，其他兩種脈沖復雜度相當。

(a)RRC映射重構脈沖

(b)EGF映射重構脈沖

(c)IOTA映射重構脈沖

總的來講，三種濾波器各有特點，EGF函數良好的映射精度也是以復雜度的提高為代價的。實際上，映射精度的計算都是建立在連續脈沖截短和抽樣的基礎之上的，這樣的處理顯然會犧牲一定的正交性，而密集的采樣也增加的計算復雜度。因此，我們考慮設計一種離散條件下嚴格正交的數字濾波器，兼具良好映射精度和復雜度性能。表1給出了三種濾波器各項性能的分析與對比，其中N代表仿真計算時脈沖采樣點的個數，仿真模型將在第四部分詳細介紹。

表1　三種原型脈沖映射性能對比

3數字濾波器設計方案

3.1多載波FTN信號的離散時間表達

考慮到OFDM/OQAM系統在周期T0時間內傳輸了K=2N個復數信號，設定抽樣時間為Ts=T0/2N，假設濾波器p[v]長度為L，那么需要在區間[-(L-1)/2Ts,(L-1)/2Ts]范圍內對p(t)進行抽樣，時延為(L-1)/2Ts，可以得到常規OFDM/OQAM離散信號的表達式[11]：

(14)

(15)

在此基礎上，我們可以進一步得到離散時間的多載波FTN表達式，同樣地，基于離散高斯脈沖g(v)，可以得到：

(16)

為了確保時延的精確性，我們規定TΔ=i/N(i=1,2,…,N)。則相應的FTN基函數為：

(17)

另一方面，我們將離散基函數ψm,n[v]和gk,l[v]代入到1.2節誤差能量的推導過程中，假設Ck,l,m,n=〈gk,l(v),ψm,n(v)〉，將積分等效為疊加，很容易能夠發現，離散系統映射精度的計算仍然可以沿用式(10)。

3.2基于高斯脈沖的正交濾波器設計

文獻[12]根據DTZT變換(discrete-timeZaktransform)，提出了時頻局域優化脈沖的正交條件。在此基礎上，我們采用DZT變換(discreteZaktransform)的方法，提出了一種改進的高斯脈沖數字正交濾波器。該濾波器應用于多載波FTN系統后，不僅能夠獲得時頻的正交性，而且可以保證優良的TFL特性，從而進一步地提高了映射精度，也降低了模塊復雜度。

首先，我們給出DZT變換條件下濾波器p0[v]的正交條件：

(18)

這里R是任意取定的常數參量，Zp0[v,u]即為有限長脈沖p0[v]的DZT變換，其表達式如下：

(19)

式中，v=0,1,2,…,K/2-1，u=0,1,2,…,R-1。值得注意的是，DZT變換可以通過FFT模塊進行實現，這樣大大減少了運算復雜度。

當初始濾波器p[v]滿足對稱條件p[v]=p[α+(2γ+1)N-v]時，根據式(18)可以推導得出正交濾波器p0[v]的Zak域表達式：

(20)

這里α∈[0,K-1]，γ∈Z，常數α和γ使得脈沖的長度能夠任意選擇。

根據以上分析以及多載波映射模塊的特點，我們選擇TFL性能最佳的高斯脈沖作為初始原型濾波器，脈沖序列正交化的步驟如下：

第一步：根據3.1節的介紹，首先構建離散高斯脈沖序列g[v]，將其作為初始濾波器，濾波器長度為L=K/2×R=NR。

第二步：計算g[v]的DZT變換矩陣Zg[v,u]。

第三步：根據公式(20)計算正交濾波器g0[k]的DZT變換矩陣Zg0[v,u]

第四步：對Zg0[v,u]進行DZT逆變換，即能得到長度為Lg的正交數字濾波器g0[v]。

上述變換得到的正交數字濾波器波形和幅頻響應如圖4(a)、圖4 (b)所示，圖4(c)給出了其正交映射的重構脈沖與原離散高斯脈沖對比效果。

(a)數字正交濾波器波形

(b)幅頻響應

(c) 正交基函數的映射重構信號

4仿真與數據分析

本節我們將對幾種濾波器的映射性能進行系統仿真和數據分析。在仿真模型方面，設計系統子載波數K=128，時頻間隔分別為T=F=1，時頻壓縮系數分別是TΔ=0.75，FΔ=0.9，正交基函數集元素個數Nt×Nf等于3×3。下面分別從映射精度、模塊復雜度以及系統誤比特率等方面進行分析和比較。

圖5給出了幾種正交濾波器的映射誤差能量的分布情況，可以看出隨著正交基數目的變化，基于高斯脈沖的離散正交濾波器始終具有最佳的映射精度。當正交基數目在8個以下時，四種濾波器的映射精度都比較差，隨著基函數的增多，誤差能量出現陡降，除了RRC濾波器之外，其他三種脈沖均可降至0.05以下，說明此時映射模塊已經能夠較好地重構信號。

圖5　不同正交濾波器的映射精度性能對比

復雜度是衡量映射模塊性能的另一個重要指標，在2.3部分，我們針對三種原型濾波器，就單個FTN符號的映射計算復雜度進行了對比。引入正交數字濾波器之后，為方便比較，我們對整個映射模塊的復雜度性能進行分析，結果如表2所示。可以看出EGF和IOTA濾波器的復雜度計算量最高。在仿真過程中，原型脈沖采樣點數N相比子載波K一般需要高出若干數量級，達到103～104。因此很容易看出，即使相較于復雜度較低的RRC脈沖，數字正交濾波器也有著不錯的優勢。

表2　典型脈沖映射模塊復雜度對比

文獻[13]針對多載波FTN映射模塊，提出了一種基于連續干擾消除(SIC)的接收方案，并結合了卷積編碼和基于BCJR的迭代譯碼結構。利用該原理，我們建立了整個多載波FTN系統的收發機模型，并對不同成形濾波器下的系統的誤比特性能進行了分析，如圖6所示，可以看出，在整個信噪比范圍內，離散正交濾波器性能最優。這是因為其在映射精度上的優勢，更好地減輕了系統ISI和ICI。

圖6　采用不同濾波器的多載波FTN系統

5結語

映射模塊的引入使得傳統IFFT模塊得以應用與多載波FTN系統，但同時也對脈沖成形濾波器提出了更高的要求。本文研究了基于OFDM/OQAM系統的多載波FTN脈沖分析與設計。定義了誤差能量的概念，可以精確衡量映射精度。以此為基礎，從多個角度對幾種典型的原型濾波器映射性能進行了對比，分析表明EGF濾波器擁有相對較優的映射精度，但計算的復雜度較高。針對該問題，文章進一步提出了基于高斯脈沖的正交數字濾波器，將模塊復雜度降低了一至兩個數量級，并且提高了映射精度，從而取得了更優的系統誤碼性能。

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Analysis and Design of Pulse Shaping Filters for Multicarrier FTN System

DUAN Hao1，GAO Yuan-yuan2，GUO Ming-xi2，ZHOU Zhi-yong1，NIE Sheng-yu1，XU Yang1

(1.Postgraduate Team 3,College of Communication Engineering;2.College of Communication Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing Jiangsu 210007,China)

Abstract：The multicarrier FTN (faster-than-Nyquist) system would simultaneously introduced with inter-symbol interference and inter-carrier interference, thus raising the difficulty in realizing IFFT module. The concept of FTN mapper could fairly solve this problem, and however, the mapper would also pose further requirement for design of shaping filters. Based on OFDM/OQAM system, the mapping performance of various original filters is analyzed, and an evaluation parameter called error energy also deduced and defined, thus to effectively evaluated the mapping precision. An optimized digital filter from Gaussian pulse and based on the discrete-time formulation of multicarrier FTN signal is further designed. This filter could satisfy the discrete orthogonality condition strictly, and with less error energy and higher mapping precision, fairly improve the BER performance. In addition, the system complexity is reduced, being conducive to the hardware implementation of multicarrier FTN system.

Key words：multi-carrier FTN; pulse shaping filter; mapper; error energy; complexity

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2016.05.012

* 收稿日期：2015-12-16；修回日期：2016-03-26Received date:2015-12-16；Revised date：2016-03-26

基金項目：國家自然科學基金(No.61301157)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.61301157)

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號：1002-0802(2016)05-0569-07

作者簡介：

段昊(1991—)，男，碩士研究生，主要研究方向為高速無線通信技術；

高媛媛(1968—)女，博士，教授，主要研究方向為高速無線通信技術；

郭明喜(1978—)，男，博士，講師，主要研究方向為高速無線通信技術；

周智勇(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為網絡信息系統工程；

聶晟昱(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為高速無線通信技術；

徐洋(1990—)，男，碩士研究生，主要研究方向為高速無線通信技術。