大旋轉(zhuǎn)角的空間直角坐標轉(zhuǎn)換方法的改進

劉志平　楊　磊

1　中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室, 徐州市大學(xué)路1號, 221116

大旋轉(zhuǎn)角的空間直角坐標轉(zhuǎn)換方法的改進

劉志平1楊磊1

1中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室, 徐州市大學(xué)路1號, 221116

摘要：針對現(xiàn)有大旋轉(zhuǎn)角空間直角坐標轉(zhuǎn)換方法存在的問題，基于尺度參數(shù)的SVD估計提出改化模型，并推導(dǎo)了參數(shù)解估計的方向余弦法、單位四元數(shù)法及羅德里格矩陣法。最后，基于奇異點、模型條件數(shù)、中誤差及迭代次數(shù)等指標，通過文獻算例和大旋轉(zhuǎn)角仿真算例比較分析了3種方法在七參數(shù)模型與本文改化模型的坐標轉(zhuǎn)換效果。結(jié)果表明，旋轉(zhuǎn)矩陣的SVD初值優(yōu)于單位陣初值，改化模型優(yōu)于七參數(shù)模型，方向余弦法優(yōu)于其他兩種方法。

關(guān)鍵詞：坐標轉(zhuǎn)換模型；大旋轉(zhuǎn)角；方向余弦法；單位四元數(shù)法；羅德里格矩陣法

在空間直角坐標轉(zhuǎn)換應(yīng)用中，布爾莎(Bursa)、莫洛金斯基(Molodensky)和武測模型等被廣泛使用，但此類模型及其解法僅適用于小旋轉(zhuǎn)角的坐標轉(zhuǎn)換[1-3]。鑒于此，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種大旋轉(zhuǎn)角空間直角坐標轉(zhuǎn)換的方法，其中最具代表性的方法包括方向余弦法[4]、單位四元數(shù)法[5-6]及羅德里格矩陣法[7-8]，它們在空間直角坐標轉(zhuǎn)換[9-10]、視覺領(lǐng)域的相機姿態(tài)標定[6]及近景攝影測量領(lǐng)域的相對定向等應(yīng)用中取得了較好的效果[11]。然而，上述方法均是基于七參數(shù)模型的迭代解法，研究過程中僅考慮坐標轉(zhuǎn)換的精度，而鮮少顧及模型病態(tài)性、旋轉(zhuǎn)參數(shù)與尺度參數(shù)相關(guān)性以及迭代初值等對坐標轉(zhuǎn)換方法中迭代收斂性和精度的影響。

本文在七參數(shù)模型的基礎(chǔ)上提出改化的六參數(shù)模型(簡稱改化模型)，進而推導(dǎo)了改化模型中參數(shù)估計的方向余弦法(增量迭代)、單位四元數(shù)法(全量迭代)和羅德里格矩陣法(全量迭代)，并給出了3種算法的迭代參數(shù)更新方法。最后，通過現(xiàn)有文獻的3個算例和大量的大旋轉(zhuǎn)角仿真計算，對七參數(shù)模型、改化模型及其估計方法進行詳細比較，并以奇異點、模型條件數(shù)、中誤差及迭代次數(shù)等作為指標進行全面分析，所得結(jié)論對大旋轉(zhuǎn)角的空間直角坐標轉(zhuǎn)換應(yīng)用研究具有參考價值。

1空間直角坐標轉(zhuǎn)換方法

1.1七參數(shù)模型及改化

將三維坐標系Ⅰ和Ⅱ下的坐標分別記為Xi和xi，則Xi轉(zhuǎn)換至xi的七參數(shù)模型[4]可表達為:

(1)

式中，Xi=(XiYiZi)T，xi=(xiyizi)T，m表示尺度參數(shù)，d=(dxdydz)T表示平移向量，R表示旋轉(zhuǎn)矩陣且滿足RRT=I3，可用3個獨立旋轉(zhuǎn)角表達為:[2]R=R2(θ)R1(γ)R3(ψ)。

在實際應(yīng)用中，若直接對七參數(shù)模型進行參數(shù)估計，由于尺度參數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣存在數(shù)學(xué)相關(guān)性，易導(dǎo)致迭代估計算法發(fā)散，參數(shù)結(jié)果嚴重失真(尤其在大旋轉(zhuǎn)角度的情況)。針對該問題，本文對七參數(shù)模型進行改化，其過程如下。

首先，計算重心坐標對(Δxi,ΔXi)。由七參數(shù)模型可得重心坐標對的等式關(guān)系:

(2)

當有多個重心坐標對時，由等式關(guān)系(2)得：

(3)

(4)

進一步地，對混合矩陣進行奇異值(SVD)分解[11]，得：

(5)

式中，U、V表示正交矩陣，S=diag(s11,s22,s33)表示對角矩陣。

(6)

(7)

1.2改化模型參數(shù)估計

1.2.1方向余弦法

若用rj表示矩陣R的第j個行向量(j=1,2,3，共3行)，并將其表示為近似向量rj,0和待估向量δrj之和，則有：

(8)

將式(8)代入改化模型(7)，考慮矩陣R的正交性質(zhì)，整理可得模型參數(shù)估計方程為：

(9)

(10)

式中，βr=(δr1δr2δr3dxdydz)T。

顯見，上述參數(shù)估計方程需要迭代計算。其中，迭代增量參數(shù)為(δr1,δr2,δr3),同時更新rj=rj,0+δrj,直至完成迭代計算。

1.2.2單位四元數(shù)法

單位四元數(shù)法表示的姿態(tài)矩陣為:

(11)

(12)

將式(12)代入改化模型(7)，整理得模型參數(shù)估計方程：

(13)

式中，βq=(q1q2q3dxdydz)T。

1.2.3羅德里格矩陣法

羅德里格矩陣表示形式為[8]

(14)

(15)

將式 (15)代入改化模型(7)，得模型參數(shù)估計方程：

(16)

式中，βω=(ω1ω2ω3dxdydz)T。

顯見，上述參數(shù)估計方程需要迭代計算。其中，迭代全量參數(shù)為(ω1,ω2,ω3),直至完成迭代計算。

1.3迭代參數(shù)更新方法

2)對于單位四元數(shù)法，根據(jù)式 (11)中單位四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系，得迭代參數(shù)更新式[9]：

(17)

3)對于羅德里格矩陣法，根據(jù)反對稱矩陣G(ω1,ω2,ω3)與旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系式 (14)，得迭代參數(shù)更新式：

(18)

2實驗結(jié)果與分析

2.1現(xiàn)有文獻算例

為驗證所提改化模型的3種估計方法的正確性和有效性，本文對各方法利用現(xiàn)有文獻算例分別進行比較研究。具體設(shè)計方案如下。

表2　3個方案的計算結(jié)果

2.2仿真算例

為更全面地比較文中所提改化模型的3種估計方法在大旋轉(zhuǎn)角情況下的適用性，選取江蘇省徐州市范圍(經(jīng)度116.5°～117.5°，緯度33.5°～34.5°，以0.25°為步長形成25個格網(wǎng)點)坐標數(shù)據(jù)進行比較研究。首先，根據(jù)各格網(wǎng)點的經(jīng)緯度，令大地高均為0 m，利用CGCS2000橢球參數(shù)計算各點的空間直角坐標，作為轉(zhuǎn)換前的坐標A。然后，給定一組七參數(shù)值d=[1.0001.5002.000]T、m=1.5×10-8及3個旋轉(zhuǎn)角(γ,θ,ψ)，由七參數(shù)模型(1)計算轉(zhuǎn)換后的各格網(wǎng)點坐標B，進而利用各方法計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。

表3　兩個方案的計算結(jié)果

3結(jié)語

本文探討了現(xiàn)有大旋轉(zhuǎn)角空間直角坐標轉(zhuǎn)換方法中存在的問題，并在此基礎(chǔ)上提出改化模型。推導(dǎo)了改化模型的方向余弦法、單位四元數(shù)法及羅德里格矩陣法，并基于奇異點、模型條件數(shù)、中誤差及迭代次數(shù)等指標，通過大量驗證計算得出：1)與七參數(shù)模型相比，改化模型顯著改善了模型的病態(tài)性，同時有助于避免迭代發(fā)散；2)方向余弦法、單位四元數(shù)法和羅德里格矩陣法受初值影響的差異較大，迭代初值的精化可明顯提高方向余弦法和單位四元數(shù)法的收斂效率和精度；3)使用文中所提出的SVD估計作為迭代初值，在本文的評價指標下，方向余弦法優(yōu)于單位四元數(shù)法，羅德里格矩陣法效果最差。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No. 41204011,41504032; Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,No. SKLGED2014-3-2-E.

About the first author:LIU Zhiping, associate professor, majors in adjustment theory, navigation positioning and geospatial inversion, E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn.

An Improved Method for Spatial Rectangular Coordinate Transformation with Big Rotation Angle

LIUZhiping1YANGLei1

1Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of NASMG, CUMT,1 Daxue Road, Xuzhou 221116, China

Abstract:To accomplish spatial rectangular coordinate transformation with big rotation angles, the improved coordinate transformation model is proposed. This model is based on scale parameter estimation using the matrix singular value decomposition (SVD). Three estimation methods, including direction cosine, unit quaternion and Rodrigues are presented for the improved coordinate transformation model. Finally, simulated and practical experiments of coordinate transformation with big angle are tested to compare and analyze the adaptability of the three methods using the total number of singular points, the condition number of normal matrix, the number of iterations and the RMS, etc. Experimental results show that the improved model is better than the extant seven parameters model, that the SVD solution of rotation matrix is superior to unit matrix as an initial value, and that the direction cosine method is preferable to the other two methods.

Key words:coordinate transformation model; big rotation angle; direction cosine; unit quaternion; Rodrigues

收稿日期：2015-06-25

第一作者簡介：劉志平，副教授，主要從事誤差理論、導(dǎo)航定位和反演分析研究，E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.07.006

文章編號：1671-5942(2016)07-0586-05

中圖分類號：P226

文獻標識碼：A

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41204011,41504032)；大地測量與地球動力學(xué)國家重點實驗室開放基金(SKLGED2014-3-2-E)。