常微分方程中比較原理的應用

田苗青　郜欣春（鄭州大學西亞斯國際學院文理學院，河南新鄭451150）

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常微分方程中比較原理的應用

田苗青郜欣春
（鄭州大學西亞斯國際學院文理學院，河南新鄭451150）

摘要：在研究非線性系統(tǒng)問題時，比較原理起著舉足輕重的作用。比較原理可以將研究非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，使問題簡單化，并得到非線性問題解的一些重要性質(zhì)，從而給研究這些非線性問題所對應的實際問題提供了理論依據(jù)。文章主要通過舉兩個簡單的例子說明比較原理的用法。

關鍵詞：比較原理；非線性系統(tǒng)；解的性質(zhì)

一、預備知識

我們不加證明地引入比較原理，詳細證明參見［1］中的引理3.4。

引理1.1（比較原理）考慮微分方程

其中t≥0，f（t，u）關于t連續(xù)，且關于u滿足局部Lipschitz條件。設［t0，T）是u的最大存在區(qū)間，T可以是∞。如果對任意的t∈［t0，T），v=v（T）滿足

則有v（ t）≤ u（ t）， t∈［ t0， T ）。

注：從引理條件可知（1.1）的解是存在的，結(jié)論說明滿足微分不等式（1.2）的解可由（1.1）的解控制。

在研究復雜的非線性問題時，可以用比較原理將問題簡化成可求解微分方程，從而得到非線性問題解的一些性質(zhì)，給其對應的實際問題提供重要的理論依據(jù)。下面，我們舉兩個簡單的例子來說明比較原理的用法。

二、應用舉例

例1設u=u（t）對任意的t≥0滿足

其中q＞p≥1，a＞0。證明:對任意非負初值u（0x），（2.1）的

證明:易證（fu）=up-auq滿足局部Lipschitz條件，故對某t1＞0（2.1）在［0，t1）有唯一解。

由u（0x）的非負性及比較原理，易知

由比較原理知，u≤v=u0，?t≥0。

注：若在（2.1）中取p=1，q=2，則此方程就是經(jīng)典的人口增長Logistic模型［2］，從例子結(jié)果可以看出，人口不會無限制增長，是整體有界的。

例2設（u，v）滿足方程組

注:方程組（2.2）用來分析生物系統(tǒng)中抑制性神經(jīng)元和興奮性神經(jīng)元之間的交互作用，u，v分別表示興奮性神經(jīng)元和抑制性神經(jīng)元的輸出［4］。在此例中，雖然方程組（2.2）很復雜，但是我們通過適當?shù)刈儞Q及比較原理，將問題轉(zhuǎn)化成了易求解的一階線性微分方程，從而得到我們想要的結(jié)果。

從以上兩個例子中可以看出，在我們研究一些非線性問題時，不是直接求解所給的方程，而是通過比較原理轉(zhuǎn)化為簡單的方程去求解，從而得到我們想要的性質(zhì)。可見，比較原理在研究非線性動力系統(tǒng)時起著至關重要的作用。

參考文獻

［1］［美］Hassan K. Khail.非線性系統(tǒng)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2007：102-103.

［2］［美］Franks R. Giordano，William P. Fox，Steven B. Horton.數(shù)學建模［M］.葉其孝，姜啟源，等譯.北京:機械工業(yè)出版社，2014：335.

［3］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京:高等教育出版社，2004:31-34.

［4］Tonnelier A，Meignen S，Bosch H，and Demongeot J. Synchr onization and desychronization of neural oscillators［J］.Neural Networks，1999，12：1213-1228.

Abstract:Comparison principle plays a crucial role in the study of nonlinear system，and the nonlinear problem is transformed into a linear problem through the principle. Thus，it is easy to solve and get some important properties of the nonlinear system，which helps to study the practical problem corresponding to the nonlinear model. This paper illustrates the use of the comparison principle through a few simple examples.

Keywords:compare principle；nonlinear system；properties of the solution

中圖分類號：O175.14

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）11-0253-02

作者簡介：田苗青（1981，1-），女，漢族，籍貫：河南省林州市，學歷：碩士研究生，職稱：講師，職務：教師，研究方向：非線性發(fā)展方程。