復合板在沖擊下的動力學行為研究

許婉韻，馮志強，彭　磊

(西南交通大學 力學與工程學院，成都　610031)

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復合板在沖擊下的動力學行為研究

許婉韻，馮志強，彭磊

(西南交通大學 力學與工程學院，成都610031)

摘要：采用市面上廣泛使用的鋁鈦鋼材料，針對3層板結構，研究其在復合狀態(tài)與夾層狀態(tài)下對沖擊的動力學響應問題。利用Signorini法則與Coulomb法則建立了接觸摩擦模型，應用雙勢理論求解動態(tài)響應，并采用幾個經典的2D有限元模型來模擬3層板在復合狀態(tài)與夾層狀態(tài)下的沖擊動力學響應。通過對模型幾何參數(如層寬、層厚等)的控制，研究不同尺寸結構對其沖擊性能的影響；同時還通過改變模型材料參數(如彈性模量、泊松比)，得到不同材料對沖擊的動力學表現，并對結果進行總結分析。對鋁、鈦、鋼3層板結構沖擊進行數值模擬，驗證了此方法的可行性與實用性。最后對所得結果進行了評價，并提出了未來此類模型在數值模擬中的優(yōu)化方向，對該方法及專用軟件的應用前景提出展望。

關鍵詞：沖擊; 復合板材料; 有限元計算

隨著現代工業(yè)技術的發(fā)展和各種新技術、新產業(yè)的出現，人們對材料性能的要求日益提升，在某些條件下單一一組材料的性能已經很難滿足要求，因此研究和制備新型復合材料成了材料科學與工程領域中一個重要的發(fā)展方向。復合板是一種特殊的新型板材結構。這種層狀復合板是由2種或3種材料通過特殊的工藝制造而成，與單一材料相比，它很好地融合了幾種材料的優(yōu)點，擁有良好的力學性能[1-3]。近年來，國外三明治復合材料已普遍應用于航空航天領域，在軌道車輛，尤其高速磁浮列車和高速列車領域也開始得到應用[4-5]。近幾十年來，層狀金屬復合板的研制、生產和應用越來越引起人們的關注，成了世界各國競相研發(fā)的新型材料。到目前為止，這種復合材料已經在航空航天、石油、化工、冶金、機械、汽車、輪船、建筑、核能、電力和電子等領域得到了廣泛應用。Reddy等[2]對復合層結構的理論和數值研究作出來重大的貢獻，唱忠良、劉學杰、Sayer等[6-10]也分別利用現有的商業(yè)軟件對層狀復合板結構的沖擊性力學表現進行了研究。本文基于雙勢理論，模擬層狀復合板結構在沖擊作用下的力學表現，并給出了結構優(yōu)化方向。

1建模過程

3層板的建模過程大致可以歸納為以下3個步驟：① 通過ANSYS軟件對3層板結構進行實體建模，并進行相應網格劃分，導出節(jié)點位置、單元參數等模型幾何數據；② 處理通過ANSYS得到的模型幾何數據，將其改寫成FER/Impact計算軟件能識別的數據格式，并將數據導入，得出計算結果；③ 將FER/Impact得到的計算數據導入FER/View[11]后處理軟件中，查看相應的結果云圖，分析結果數據。FER/View是馮志強教授團隊自主研發(fā)的一套后處理軟件，它集成了目前大量商業(yè)后處理軟件的主要功能，但是對于科研工作來說，得益于它的自主開發(fā)性，所以使用更方便、更直接。FER/Impact也是馮志強教授團隊自主研發(fā)的一套分析接觸碰撞問題的有限元軟件，其運行得出的計算數據可以直接導入FER/View進行后處理。有關FER/Impact的算法原理本文將著重介紹。

本文涉及了考慮摩擦的接觸碰撞問題。為了計算摩擦接觸力，推導出接觸法則(Signorini和Coulomb)的拉格朗日增量形式，然后根據Uzawa技術和Newton-Raphson法計算相關未知量。計算線程見圖1。

圖1　計算線程

1.1運動學原理

先定義2個彈性變形體Bα(α=1，2)，其表面記作Γα，并假設其表面規(guī)則，使得在其表面上任意一點M都能找到唯一垂直于表面的單位向量nα：

(1)

2個碰撞體之間的相對速度記作

(2)

(3)

1.2接觸摩擦模型

經典的接觸法則Signorini法則主要是指：2個接觸物體相互不滲透，則可以通過線性規(guī)劃的思路將其法相接觸力rn和法相接觸距離un轉換成一個關于un和rn的表達式。.具體來說，當un大于0時，rn必然為0，乘積為0；當rn大于0時，un必然為0，乘積也為0。

(4)

(5)

(6)

經典的摩擦模型可表示為

(7)

其中：μ是摩擦因數；Kμ是庫倫錐。

接觸摩擦模型如圖2所示，可以表示為：

(8)

(9)

其中：M是質量矩陣；A是耗散矩陣；Fint是內部節(jié)點力；Fext是外部節(jié)點力；R是接觸力。

(10)

BL和BNL(u)分別表示節(jié)點位移變化的線性和非線性部分矩陣，S是二階Piola-Kirchhoff應力張量。

式(9)可以寫作如下形式:

(11)

在t=0時刻的初始條件為

(12)

切向剛度矩陣K可由Fint對u的偏導得出：

(13)

基于典型的Newton-Raphson迭代法的非線性分析可得[12]：

(14)

其中：

(15)

其中：0≤ξ≤1; 0≤θ≤1；i和i+1是方程在計算過程中的迭代次數。在每個時間步長后修正速度如下：

(16)

這樣易知式(14)中有2個未知量Δu和R，不能直接求解，那么關鍵是先通過雙勢理論求解出接觸力R，并以之為外力求解全局有限元方程得到Δu。

DeSaxcé和Feng[13]提出了雙勢理論：

(17)

基于增廣拉格朗日[14-15]式(17)等價于

(18)

于是可以通過Uzawa算法，使用預測修正的迭代方法得到上述方程的數值解：

(19)

并有

(20)

其中：τ是增廣接觸力；ProjKμ表示圓錐面投影器；ρ是任意參數。

式(19)的修正步可以顯式得到：

(21)

圖2　接觸摩擦模型

結合以上原理，利用有限元離散與C++ 編程實現了FER/Impact的計算過程。在輸入文件中，碰撞速度、表面摩擦因數、時間步長、材料特性等參數可以人為地進行調試，這對以后的模型分析帶來了極大的便利。

2模型分析及優(yōu)化方向

本文主要研究了兩種結構的復合板結構模型：3層粘連型復合板模型、3層非粘連復合板模型。為了突出整體力學表現行為，粘連模型界面的脫粘問題、損傷破壞問題不在本文的考慮范圍之內。

2.13層粘連型復合板模型

本文以目前廣泛研究的三明治復合板為建模原型，忽略脫粘與斷裂問題進行初步模型簡化。此2D模型長寬比為10∶1，3層材料厚度均勻，在z軸(垂直于屏幕方向)是無限延展的(包括沖擊物塊)。3層材料分別使用鋁、鈦、鋼，沖擊物塊為鋼。在接觸區(qū)域附近，網格劃分更細致，這樣不僅提高了計算精度，也能更清晰地看到在沖擊物塊邊角與復合板接觸點的應力大小。材料參數見表1。網格劃分情況見圖。

表1　材料參數

圖3　網格劃分

2.1.1模型測試階段——時間步長選取

本文在研究初期需要在計算精度和計算時間上實現兩優(yōu)，選取恰當的時間步長就顯得尤為重要，在本動力學問題當中，時間步長通過式(22)選取。

(22)

其中：lmin是單元最小邊長；c是波在研究物體之內的傳播速度。

在二維模型中，定義c為

(23)

其中：E是材料彈性模量；ρ是材料密度。

在本文所涉及的模型中，時間步長的理論預估值為9×10-7s。然后選取了不同時間步長，得出各個時間步長下的最大應力，如圖4所示。由于網格劃分的非對稱性，左右應力也呈現出了微小的差異，但在可接受范圍之內。

根據分析，最大應力在小于或等于8×10-7s之后趨于穩(wěn)定，于是本文選取8×10-7s作為模型數值計算的時間步長。

圖4　最大應力與時間步長的關系

2.1.2模型分析階段

在選定合適的時間步長之后，以沖擊塊的沖擊速度(大小和方向)為變量，觀察復合板的力學表現。大多數工程領域中所廣泛使用的復合板模型通常由鋁、鈦、鋼3種材料復合而成。

首先考慮只有豎直方向速度的情況，即vx=0m/s，其中μ=0.2，不考慮物塊下落加速度，忽略阻尼作用，復合板第1、2、3層材料分別為鋁、鈦、鋼。沖擊物塊的材料屬性為鋼。

觀察到最大應力出現的節(jié)點位于第3層板下表面的2個角點，其中第3層材料的彈性極限為250MPa。在其余層板上的最大應力(稱第2最大應力)位于第1層板的上表面的2個角點，其中第1層材料的彈性極限為131MPa。所以，不能單純地只考慮最大應力出現的位置，而要結合每一層的性質來進行分析。

如圖5(a)所示：最大應力隨著沖擊速度的增大而線性增大；第1層板和第2層板都在沖擊速度大約為6.5m/s時超越它們材料的彈性極限，但是第3層板會在沖擊速度為9m/s時超于所屬材料的強度極限，而第1層的強度極限會在沖擊速度為15m/s時達到。

固定豎直方向速度為vy=10m/s，加入水平方向速度，在有接觸摩擦的情況下進行分析。由圖5(b)可見：第3層板應力對水平方向速度的變化更加敏感，所以可能首先發(fā)生結構破壞。

結構的性質和材料參數密切相關，所以通過選取和交換復合板材料各個層的材料參數可以得出不同的數值模擬結果，從而提供結構優(yōu)化方案。

圖5　在不同沖擊速度下的應力曲線

1) 鋁鈦鋼模型。這是在工業(yè)生產中最為廣泛使用的模型之一，本文已完成了詳細的討論。在此重申一下：在沖擊速度為10m/s條件下，第1層板和第3層板的最大應力分別為388MPa和185.2MPa。

2) 鋼鈦鋁模型

這個模型結構與第1種模型結構正好相反。在此模型下，最大應力不是在復合板的4個角點，而是在與沖擊塊邊角接觸的2個點，相應的應力大小為487MPa。即使在第1層板角點和第3層板角點的應力分別為367MPa和154MPa，沖擊部位也已經損傷。

3) 鋁鈦鋁模型

這種模型也經常在研究中出現。這種模型幾何結構對稱，最大應力為229MPa，集中在上表面的兩個邊角上，所以這種模型優(yōu)于第1種模型。

4) 鋼鈦鋼模型

這種模型就相當于將鋁鈦鋁模型中的鋁換成了鋼，最大應力集中在與沖擊物塊邊角的接觸點上，為582MPa。所以這種模型沒有太大研究意義。

2.23層非粘連復合板模型

本文從最簡單情況開始研究三層非粘連模型的力學表現，即不考慮沖擊水平速度，采用鋁鈦鋼模型，其余條件使用本文默認的固定值。

這種非粘連的復合板模型比之前的粘連模型更加復雜。圖6表明：第1層復合板的最大應力迅速地達到了材料的強度極限，但是第2層復合板只會接受很小的應力。

固定豎直方向vy=10m/s，加入水平方向速度vx=3m/s，發(fā)現沖擊塊與復合板發(fā)生了前后3次接觸，使情況變得更加復雜。

圖6　非粘連模型第1層應力曲線

為了簡化問題，只考慮第3層復合板的位移值。在此情況下，即使vy=10m/s，vx=6m/s，第3層復合板的位移值依舊為0。

3結束語

復合板在工業(yè)生產中有著及其重要的地位與研究價值，但是其使用功能不盡相同。比如在列車的車頂設計當中，“鋁合金/泡沫芯層/鋁合金”復合板這類粘連性復合板扮演了一種防止沖擊并使材料輕量化的角色，就最重要的功能而言，是保護內部人員安全，它要承受外界的一些壓力或者沖擊，由于它與內含物之間有一定的空間，所以在沖擊之后，復合板的變形也是可以允許的。當然，如果在考慮破壞的情況下，希望是外層材料先于底層材料破壞。而在有些情況下，當內含物和復合層板內壁充分接觸時，復合板內壁的位移就會對內含物造成重要的影響，所以這時，3層非粘連板就會表現出它的優(yōu)勢。但是在承受持續(xù)的沖擊下，這種非粘連的復合板就可能被“層層擊破”，這也是它的結構所造成的特點。終上所述，這兩大類模型都有其相應的優(yōu)勢和弱點，主要應根據用途具體選擇，然后再做相關的優(yōu)化。

本文應用ANSYS完成模型建立與網格劃分，利用基于雙勢理論的FER/Impact求解模型和FER/View進行模型分析，完成了3層粘連復合板模型與3層非粘連復合板模型的求解。通過對比各種模型，得出了鋁鈦鋁模型與鋁鈦鋼模型的優(yōu)勢，判斷出了粘連模型與非粘連模型的應用方向。同時這種研究方法也為今后更加深入的研究提供了參考。

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(責任編輯劉舸)

Dynamic Behaviour of a Laminated Composite Plate Under Impact

XU Wan-yun, FENG Zhi-qiang, PENG Lei

(School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031，China)

Abstract:Asthelaminatedcompositematerialisbeingwildlyusedintheindustry,thispapermainlydealtwithmetallicmultilayersofSteel/Ti/Alandanalzeditsdynamicbehaviourunderimpact.AcompletecontactlawwithfrictionbasingonSignorini’sunilateralcontactlawandCoulomb’sfrictionlawwasdevelopedandthedynamicresponsewassolvedbyapplyingtheBi-potentialtheory.Thenatwo-dimensionmodelwasbuilttosimulatethelaminatedcompositeplateunderimpact.Thecontrolofthestructureofdifferentsizeeffectontheperformanceofitsimpactwasstudiedthroughgeometricalparametersofthemodel(suchaswidth,layerthickness,etc.).Differentdynamicresponsedatawasgainedandanalyzedbymanipulatingtheparameters(suchastheelasticitymodulusandPoissonratio,etc.).Thelaminatestructureimpactofaluminum,titaniumandsteelwerenumericalsimulatedtoverifythepracticabilityandfeasibleofthismethod.Attheend,wehadtheevaluationoftheresults,andputforwardtheoptimizationtrendofthisnumericalmethodandgivnasighttothefutureapplicationofthismethodandspecialsoftware.

Keywords:impact;laminatedcomposite;finiteelementcalculation

收稿日期：2016-01-09

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11372260)

作者簡介：許婉韻(1991—)，女，四川人，碩士研究生，主要從事工程力學研究；馮志強 (1963—)， 西南交通大學“千人計劃”特聘教授，法國Evry大學教授，博士生導師，主要從事工程力學研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.06.008

中圖分類號：O347.3

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)06-0045-06

引用格式：許婉韻，馮志強，彭磊.復合板在沖擊下的動力學行為研究[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(6):45-50.

Citationformat：XUWan-yun,FENGZhi-qiang,PENGLei.DynamicBehaviourofaLaminatedCompositePlateUnderImpact[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(6):45-50.