任意空間位置線圈的互感計算方法

謝岳，　潘偉玲

(中國計量大學 機電工程學院，浙江 杭州 310018)

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任意空間位置線圈的互感計算方法

謝岳，潘偉玲

(中國計量大學 機電工程學院，浙江 杭州 310018)

摘要:磁耦合諧振式無線電能傳輸技術通過空間分離線圈之間的電磁耦合實現電能的無線傳遞，耦合線圈尺寸的不同和相對位置的變化會引起線圈間的互感變化，繼而影響無線電能傳輸系統的特性。以常見的矩形截面空心線圈為分析對象，對任意空間位置線圈間互感的計算方法進行研究，通過紐曼公式和細分求和法推導了互感的理論計算公式，為靜態和動態無線電能傳輸系統的設計提供支持。在耦合線圈具有不同軸向距離、徑向偏距及旋轉角度等空間位置情況下，公式編程計算和實驗測量結果都具有一致性，證明了計算方法的正確性。

關鍵詞:無線電能傳輸；線圈互感；任意空間相對位置；矩形截面；細分求和；計算方法

0引言

磁耦合諧振式無線電能傳輸系統利用空間分離線圈之間的電磁耦合實現電能的傳遞，與傳統的接觸式電能傳輸方式相比，這種非接觸方式在空間位置應用上具有更為靈活方便的特點。線圈間互感的大小和變化直接影響無線電能傳輸系統的傳輸功率及傳輸效率等特性[1-4]，研究任意空間位置線圈間的互感隨線圈相對位置變動而變化的規律，對發射端初級線圈及接收端次級線圈的設計以及動態和靜態無線電能傳輸有效范圍的確定等具有重要的意義。線圈間的互感可以采用手冊查表方式或有限元法等純數值算法來計算，但這些方法首先需要確定模型參數，因此難以分析空間位置變化時互感的變化規律，并且會耗費大量的人力及計算機資源[5]。目前國內外關于不同條件下空心線圈間互感的解析公式主要是在磁矢勢基礎上推導得到或者直接利用紐曼公式進行分析，文獻[6-8]分析了同軸條件下單匝圓環線圈之間、薄盤形線圈之間、薄壁螺線管之間以及這3種線圈之間互感的計算公式，文獻[9-11]討論了平行非同軸線圈之間互感的計算公式,文獻[12-13]給出了軸線相交情況下單匝圓環線圈、薄盤形線圈、薄壁螺線管之間互感的計算方法，文獻[14]推導了任意空間位置情況下單匝圓環線圈互感的計算公式。然而，以上這些研究對于任意空間位置具有一定截面的線圈之間的互感計算方法缺乏討論。文獻[15]給出了一種任意空間位置線圈互感的計算方法，該方法采用等效圓環回路法進行近似處理，即用兩個分離的同軸圓環線圈模擬單個矩形截面線圈，但這種方法在兩個任意空間位置線圈距離較近時會產生較大誤差，并且當兩個線圈相對位置發生變化時，互感計算所采用的坐標系需要重新確定，所以不利于編程計算，也不利于直接表達互感與空間位置的變化規律。

本文采用矩形截面圓環空心線圈為分析對象，對任意空間位置線圈互感的計算方法進行研究。通過紐曼公式可以推出任意空間位置的單匝圓環間互感的計算公式[14]，在此基礎上采用細分求和法得到了任意空間位置矩形截面線圈互感的計算公式，同時搭建了基于ARM Cortex-M3內核的STM32F103主控制器及半橋逆變電路的任意空間位置線圈互感實驗系統，實驗和公式編程計算結果的一致性證明了計算方法的正確性。

1線圈互感空間計算模型

圖1所示為矩形截面圓環空心線圈互感的空間計算模型，該模型由初級線圈和次級線圈組成。初次級線圈的線圈匝數、外徑、內徑和軸向厚度分別為Nx、rxo、rxi和hx，其中x=p表示初級線圈，x=s表示次級線圈。初級線圈的幾何中心及中心軸分別與坐標系Oxyz的原點O及z軸重合，次級線圈的幾何中心及中心軸分別與坐標系O′x′y′z′的原點O′及z′軸重合，坐標系O′x′y′z′的原點O′及z′軸的單位向量在坐標系Oxyz中分別表示為(Xs,Ys,Zs)及z′=ax+by+cz。分析矩形截面圓環空心線圈模型具有一般代表性，當rxo-rxi相對hx可忽略時，可等效為薄壁螺線管[8]；當hx相對rxo-rxi可忽略時,可等效為薄盤形線圈[7-8]；當線圈的軸向和徑向尺寸相對半徑都可忽略時，可等效為圓環線圈[8]。

圖1　矩形截面圓環空心線圈互感空間模型Fig.1　　　　Spatial mutual inductance model of rectangular　　　cross section air-core circular coils

2線圈互感計算公式

當電流通過具有一定截面的線圈時，電流是分布在整個截面上的。當電流頻率較高時，會產生趨膚效應，這在很大程度上加大了互感計算的難度。因此為方便計算，有必要假定電流均勻地分布在線圈的截面上，并且采用細分求和法，即將電流細分為許多大小相等且集中流過面積可忽略的細分截面的電流元素的方法，該方法可以很好地減小或消除電流分布帶來的互感計算誤差影響[5]。

(1)

Pmn的等效線圈匝數為

(2)

(3)

Sm′n′的等效線圈匝數為

(4)

Mmnm′n′=

(5)

當l=0，即次級線圈中心軸單位向量z′與y軸平行時積分函數出現奇點，經處理后的互感計算公式為

(6)

通過計算初級線圈元素與次級線圈元素間互感的總和便可求出兩個線圈間的互感，即

Mps(Np,rpo,rpi,hp,Ns,rso,rsi,hs;

(7)

因此，線圈間的互感Mps取決于線圈的匝數和幾何尺寸Np、rpo、rpi、hp、Ns、rso、rsi和hs，以及線圈間任意空間位置的6個自由度參數Xs、Ys、Zs、a、b和c。

3實驗結果與分析

為了驗證上述互感計算公式的正確性，搭建了如圖2所示的任意空間位置線圈互感測量實驗系統，該系統主要包括初級線圈Np、次級線圈Ns、基于ARM Cortex-M3內核的STM32F103主控制器、由MOSFET功率開關管IRF840(VT1和VT2)及穩壓電容(C1和C2)構成的半橋逆變電路、IR2110驅動電路、諧振電容C、高精密采樣電阻R0以及同步數據采集與信號處理系統組成。系統中初級線圈由半橋逆變電路供電，主控制器通過IR2110驅動電路控制半橋逆變電路輸出電壓方波，諧振電容與初級線圈自感L匹配，使得初級線圈電路諧振并得到正弦波電流。同步數據采集與信號處理系統通過測量初級線圈電流ip(t)和次級線圈開路電壓us(t)計算線圈間的互感，此時該系統處在無線電能傳輸的空載狀態。

搭建任意空間位置線圈互感測量實驗平臺如圖3所示，其中初級及次級矩形截面圓環空心線圈均采用150×φ0.1利茲線繞制而成。初級及次級線圈的匝數和幾何尺寸分別為Np=25匝、rpo=178 mm、rpi=159 mm、hp=10 mm、Ns=25匝、rso=141 mm、rsi=160 mm和hs=10mm。初級線圈自感L=206 μH，采樣電阻R0=0.5±0.02% Ω，半橋逆變電路的輸出電壓頻率為50kHz。實驗中首先固定初級線圈，然后分別改變初級線圈與次級線圈同軸時的軸向距離Zs、Zs保持固定時改變徑向偏移Xs以及Zs和Xs均固定時改變次級線圈平面相對初級線圈平面的旋轉角度θ(a,b,c)，然后進行互感值的測量，同時利用Matlab軟件對上述不同空間位置下的互感計算公式進行編程計算，并對實驗及計算結果進行比較分析。編程計算時分別將初級和次級線圈的軸向和徑向距離分為5等分。

圖2　線圈互感測量實驗系統原理圖Fig.2　　　　Schematic diagram of coils′ mutual inductance　　　measurement experiment system

圖3　任意空間位置線圈互感測量實驗平臺Fig.3　　　　Measurement experiment platform of mutual　　　inductance between arbitrarily positioned coils

圖4　線圈互感實驗與計算結果圖Fig.4　　　　Drawings of coils′ mutual inductance experimental　　　and calculating results

本實驗中出現的誤差主要包括理論計算誤差和實驗誤差兩個方面。Matlab軟件采用雙精確度數值計算，可減少計算過程中產生的誤差；采用細分求和法時，細分份數不足將不能很好地代表電流在線圈截面上的實際分布，因此會產生理論計算誤差，但是細分過度會導致計算量的增加，因此需要折衷。實驗中初級線圈電流ip(t)和次級線圈開路電壓us(t)的采樣信號均采用屏蔽線傳輸，信號處理電路進行了校準。但是，線圈間任意空間位置的6個自由度參數Xs、Ys、Zs、a、b和c的實際測量誤差會給公式計算帶來較大的誤差。考慮了這些誤差因素后，從以上的實驗、計算結果及誤差分析來看，所給出的互感計算公式能很好地計算任意空間位置線圈的互感值。

4結論

本文首先建立了任意空間位置下矩形截面空心圓環線圈的互感計算模型，然后分別將初級和次級線圈等分為多個具有不同空間位置的線圈元素，在利用紐曼公式推導出的初次級線圈元素間互感的計算公式基礎上，采用細分求和法得到具有矩形截面空心圓環線圈任意空間位置的互感計算公式，并且搭建了任意空間位置線圈互感測量實驗平臺，在多個不同線圈空間位置條件下對線圈互感值進行實驗測量和編程計算，互感實驗值和編程計算值的一致性表明了任意空間位置互感計算公式的正確性，這對于無線電能傳輸系統發射端初級線圈及接收端次級線圈等的設計具有重要的參考價值。

參 考 文 獻:

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(編輯：賈志超)

Mutual inductance calculation method of arbitrary space positioned coils

XIE Yue，PAN Wei-ling

(Department of Electrical and Mechanical Engineering,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)

Abstract:The magnetic coupling resonant wireless power transfer technology realizes the power transfer wirelessly by means of electromagnetic coupling between space-separated coils. The different sizes and relative position change of coupling coils may cause the mutual inductance magnitude variation,which can thereby influence the performance of wireless power transfer system. Taking the common rectangular cross section air-core coils as the analysis object,the calculation method of mutual inductance between arbitrary space positioned coils was researched and the relevant theoretical formula was derived based on Neumann equation and method of subdivision and superposition. The calculation formula can give the support to the design of both static and dynamic wireless power transfer systems. The correctness of the proposed calculation method was proved by the consistency of the experimental results and the formula programming calculation results under the condition of different space positions such as different axial distances,radial distances and rotation angles between the coupling coils.

Keywords:wireless power transfer; mutual inductance of coils; arbitrary relative space position; rectangular cross section; method of subdivision and superposition; calculation method

收稿日期:2015-03-25

基金項目：國家自然科學基金(51275499)

作者簡介：謝岳(1964—)，男，博士，教授，研究方向為電力電子技術、檢測技術與自動化裝置; 潘偉玲(1991—)，女，碩士，研究方向為檢測技術與自動化裝置。

通訊作者:謝岳

DOI:10.15938/j.emc.2016.06.008

中圖分類號:TM 153,TM 551

文獻標志碼:A

文章編號:1007-449X(2016)06-0063-05