一塊水泥混凝土路面板塊表面曲面方程的推導(dǎo)及其特性

張儒雅

（上海民航新時(shí)代機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)研究院有限公司 上海 200335）

一塊水泥混凝土路面板塊表面曲面方程的推導(dǎo)及其特性

張儒雅

（上海民航新時(shí)代機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)研究院有限公司 上海 200335）

本文通過(guò)對(duì)施工狀況的簡(jiǎn)化和抽象，推導(dǎo)出了一塊水泥混凝土路面板塊表面的曲面方程。該方程為二次函數(shù)。隨后討論了該曲面的等高線(xiàn)、坡度等特性。最后根據(jù)該曲面方程的特性對(duì)其在工程上的實(shí)際應(yīng)用提出了建議。

水泥混凝土路面；攤鋪；表面曲面；曲面方程；二次曲面；等高線(xiàn)；雙曲線(xiàn)；內(nèi)插；坡度

1 問(wèn)題的提出

目前我國(guó)水泥混凝土路面或機(jī)場(chǎng)道面面層多采用兩側(cè)立模板現(xiàn)場(chǎng)澆筑的方式施工，如圖1、2所示。通常情況下，在面層板塊一對(duì)相互平行的長(zhǎng)邊上立模板，控制每條模板兩個(gè)端點(diǎn)也就是板塊四個(gè)角點(diǎn)的高程，然后向兩條模板之間澆入混凝土，振搗密實(shí)后采用垂直于模板的圓柱形滾筒或攤鋪機(jī)整平模塊對(duì)混凝土表面進(jìn)行初步找平，而后經(jīng)人工精平后成型，后續(xù)再進(jìn)行拉毛、切縫、刻槽等其他工序。

圖1 傳統(tǒng)人工方式施工水泥混凝土面層場(chǎng)景

圖2 攤鋪機(jī)施工水泥混凝土面層場(chǎng)景

在不考慮滾筒或攤鋪機(jī)整平模塊豎向撓度的大前提下，如果每條模板的兩個(gè)端點(diǎn)間的高差相同，那么這塊水泥混凝土板塊表面顯然為一平面。但在實(shí)際情況中卻存在兩模板端點(diǎn)高差不同的情況，如道路的超高漸變段、交叉口等橫坡變化處，機(jī)場(chǎng)道面的道口、機(jī)坪內(nèi)的扭坡段等等。從直覺(jué)上想象，這些部位的水泥混凝土板塊表面應(yīng)該為一曲面，這就提出了此曲面的方程為何，有何特性等問(wèn)題。接下來(lái)本文將推導(dǎo)此曲面的解析方程，并結(jié)合工程上的實(shí)際應(yīng)用對(duì)其特性進(jìn)行初步探討。

2 板塊表面曲面方程的推導(dǎo)

2.1 問(wèn)題的簡(jiǎn)化和抽象

以一塊板塊的某一角點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。為便于該曲面等高線(xiàn)的討論，以過(guò)O點(diǎn)的水平面為Oxy平面，y軸為模板方向，x軸與之垂直，z軸豎直向上，如圖3所示。板塊的另外三個(gè)角點(diǎn)分別為A、B、C，那么直線(xiàn)OA和BC分別代表兩條模板，設(shè)P為OA上的動(dòng)點(diǎn)，Q為BC上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)直線(xiàn)PQ始終與y軸垂直，即平行于Oxz平面。當(dāng)滾筒或整平模塊（不考慮豎向撓度）在模板上前后運(yùn)動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于動(dòng)直線(xiàn)PQ沿OA和BC運(yùn)動(dòng)，那么動(dòng)直線(xiàn)PQ運(yùn)動(dòng)所形成的曲面即為所求的板塊表面曲面OACB。

圖3 板塊曲面推導(dǎo)簡(jiǎn)圖

2.2 曲面方程的推導(dǎo)

設(shè)所討論的一塊板塊長(zhǎng)度（沿模板方向）為l，寬度為m，角點(diǎn)A、B、C與O點(diǎn)的高差分別為a，b，c。那么點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)就分別為（0，l，a）、（m，0，b）、（m，l，c），則向量={0，l，a}，向量={0，l，c-b}。

所以直線(xiàn)OA的參數(shù)方程為[1]：

（t為參數(shù)）

直線(xiàn)BC的參數(shù)方程為[1]：

（t為參數(shù)）

由于動(dòng)直線(xiàn)PQ始終與y軸垂直，即點(diǎn)P、Q的y坐標(biāo)應(yīng)相同，因此可設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（0，tl，ta）、（m，tl，b+t(c-b)）。故向量={m，0，b+t(c-b-a)}，所以動(dòng)直線(xiàn)PQ的參數(shù)方程為[1]：

（s、t為參數(shù)）

上式即所求曲面OACB的參數(shù)方程，消去式中的參數(shù)s、t，即得到該曲面一般方程為：

由此可見(jiàn)，所求曲面為二次曲面，下面繼續(xù)探討其特性。

3 所求曲面的特性

上述曲面的推導(dǎo)過(guò)程雖然是由水泥混凝土板塊澆筑的實(shí)際情況引出的，但推導(dǎo)過(guò)程中并未對(duì)其中所使用參數(shù)和自變量x，y的正負(fù)或取值范圍進(jìn)行限制，因此該曲面方程在滿(mǎn)足l≠0且m≠0的大前提下各參數(shù)和自變量x，y可取任意實(shí)數(shù)值。由此我們可以得出以下幾點(diǎn)該曲面的重要性質(zhì)。

（1）該曲面與平面x=x0或y=y0相交的交線(xiàn)均為直線(xiàn)。

（2）該曲面與平面z=z0相交的曲線(xiàn)方程為：

當(dāng)c-b-a≠0時(shí)該曲線(xiàn)為一雙曲線(xiàn)，其漸進(jìn)線(xiàn)為z=z0平面上的兩條直線(xiàn)：

該兩直線(xiàn)的位置與 z0的取值無(wú)關(guān)，也即本文所討論曲面的等高線(xiàn)為一族以上述兩條直線(xiàn)為漸進(jìn)線(xiàn)的雙曲線(xiàn)。

（3）當(dāng)c-b-a=0即∥時(shí)該曲線(xiàn)退化為平面，其等高線(xiàn)也變?yōu)橹本€(xiàn)。

（4）為考察該曲面沿x，y方向的坡度，分別取兩個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)得到：

由此可知，該曲面沿某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)與該方向自變量取值無(wú)關(guān)，也即該方向的坡度為定值，這也從另一方面驗(yàn)證了性質(zhì)（1）。當(dāng)c-b-a≠0時(shí)，令兩個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)均等于零可以求得一點(diǎn)（），該點(diǎn)在兩個(gè)方向上的坡度均為零，該點(diǎn)同時(shí)也是曲面等高線(xiàn)所組成的雙曲線(xiàn)族的兩條漸進(jìn)線(xiàn)的交點(diǎn)。

下面分別為其三維圖像和平面等高線(xiàn)圖[2]，可以明顯的看出其相關(guān)特性。

圖4 曲面三維圖像（l=5，m=4，a=-1，b=-1，c=2）

圖5 曲面等高線(xiàn)圖（l=5，m=4，a=-1，b=-1，c=2）

4 工程上實(shí)際應(yīng)用

基于上述曲面的解析方程和性質(zhì)討論，在工程實(shí)際中對(duì)水泥混凝土板塊的設(shè)計(jì)和施工可以得到以下幾點(diǎn)實(shí)際用途：

（1）在已知四個(gè)角點(diǎn)高程的前提下，板塊上任意一點(diǎn)的高程均可通過(guò)直線(xiàn)內(nèi)插的方式求出，而且采用任一組相互平行的邊內(nèi)插出的高程結(jié)果相同。

（2）為防止板塊積水，設(shè)計(jì)時(shí)盡量避免兩個(gè)方向坡度均為零的點(diǎn)位于板塊中，即盡量避免點(diǎn)（）位于曲面OACB內(nèi)部。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)第六版，高等教育出版社，2007；

[2]丁大正，Mathematica基礎(chǔ)與應(yīng)用，電子工業(yè)出版社，2013。

U45

B

1007-6344（2016）07-0021-01

張儒雅（1981～），男，漢族，工程師，目前于上海民航新時(shí)代機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)研究院有限公司從事機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)工作。