關于數字濾波器優化設計研究

萬子墨 邵普陽 馬騰飛

（沈陽理工大學 遼寧 沈陽 110159）

關于數字濾波器優化設計研究

萬子墨 邵普陽 馬騰飛

（沈陽理工大學 遼寧 沈陽 110159）

數字濾波器作為數字信號處理的主要單元，其傳統的設計方法已經成熟，而且可以直接套用現有的公式、表格、參數，因此，傳統的數字濾波器設計方法較容易實現。然而，傳統的數字濾波器設計方法不適合高階數字濾波器，這是由于傳統的數字濾波器不能很好的控制通帶與阻帶邊界的頻率，從而導致數字濾波器性能指標存在一定的誤差，而隨著高科技性能的發展要求，使得數字濾波器對誤差的要求越來越高，這就使得傳統的數字濾波器設計方法無法滿足誤差要求。因此，需要深入的研究數字濾波器的設計。本文就數字濾波器優化設計進行了研究。

數字濾波器；優化；設計；研究

0 引言

數字濾波器是數字信號處理的一種單元，其在現代信號處理、通信工程、電子信息應用技術領域中有著舉足輕重的地位，有著非常重要的作用，隨著信息技術的發展，數字濾波器思維使用價值在不斷的增加[1]。數字濾波器技術的一個重要組成部分是數字信號分析與處理，信號的采集和傳輸、信號的轉換和處理度需要數字濾波技術，該技術的質量直接影響著信號的安全性，直接影響著信號傳輸的靈活性。數字濾波器是電路、通信系統中使用最多、最復雜的技術，由此可以說，數字濾波器的好壞直接影響到相關產品的質量。

1 數字濾波器概述

數字濾波器是由數字乘法器、加法器和延時單元組成的一種算法，一種裝置[2]。數字濾波器的主要功能是處理輸入的離散信號，是對信號的數字代碼進行運算，以便改變信號的頻譜。數字濾波器處理信號濾波的方法是：利用數字計算機處理數字信號，在處理過程中，按照編制好的程序來計算，數字濾波器的核心是數字信號處理器。按照信號處理的維數將數字濾波器分為一維、二維、多維數字濾波器。其中一維數字濾波器處理的信號為單變量函數序列，如時間函數的抽樣值；二維或多維數字濾波器處理的信號為兩個或多個變量函數序列，例如，二維圖像離散信號是平面坐標上的抽樣值。按照網絡結構或單位脈沖響應將數字濾波器分為無限脈沖響應IIR數字濾波器和有限脈沖響應FIR數字濾波器兩種數字濾波器。其中IIR表示無限沖激響應，IIR數字濾波器是一種遞歸型的數字濾波器，其沖激響應長度是無限的。IIR數字濾波器作為濾波器的重要類型，其具有需要較低階數的優勢，IIR數字濾波器能夠實現較好的選頻特性，IIR數字濾波器應用于多個領域，如語音與圖像信號處理、通信、生物醫學、模式識別及地震勘探等[3]。FIR數字濾波器為有限沖激響應數字濾波器，其信號的輸出取決于有限的輸入、輸出，FIR數字濾波器是非非遞歸型濾波器，是一種穩定型的線性系統，是允許設計多帶或多阻帶的濾波器，FIR濾波器容易實現線性的相位[4]。IIR數字濾波器應用于多個領域，如測試技術、控制系統、數據通信音信號處理、圖像處理等。數字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型，它包括時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。

數字濾波器是按照程序計算信號，以達到處理濾波的目的。通過對數字濾波器的存儲器編寫程序，可以實現各種濾波功能。對數字濾波器來說，增加功能就是增加程序，不用增加元件就不受元件誤差的影響，對低頻信號的處理也不用增加芯片的體積。用數字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。數字濾波器是按預定的算法，將輸入離散時間信號轉換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置。數字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優點。數字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。數字濾波器應用最廣的是線性、時不變、FIR數字濾波器。

2 基于共軛梯度法FIR數字濾波器優化設計

（1）FIR數字濾波器模型

可以將式（1）改寫為

也可以將之改寫為矩陣式

式中

設理想幅頻特性向量為：Hd=[Hd（ω0），Hd（ω1），...Hd（ωM）]

當誤差平方和最小，即 J=||E||2=min，即可得到最優的加權系數α（n），從而設計出最優的FIR數字濾波器[5]。

設A=CTC，b=CTH，則

當等價誤差平方和最小，即J=||ê||2=min，即可獲得最優解Wopt，從而設計出最優FIR數字濾波器

（2）共軛梯度法

初始權值向量為W0，初始梯度向量為：P0=-r0=bd-AW0，k=1，2，3........，M，共軛梯度法：

式中：rk是第k次訓練的誤差向量，Pk為rk的共軛向量，均為增益系數。αk，βk均為增益系數。

（3）算法步驟

1）構建理想FIR數字濾波器幅頻，即[ωk，Hd（ωk）|k=0，1，...........M]，根據矩陣，計算出等價矩陣 A=CTC，等價向量 bd=CTHd，計算初始梯度向量P0=-r0=bd-AW0[6]。

2）根據式（10）計算出αk，更新加權向量W，更新殘余向量r、βk、Pk。

3）首先判斷濾波器性能指標是否滿足 J=||rk||22≤tol（任意小正實數）。如果滿足，則輸出最優權值向量Wopt，如果不滿足，則重新計算αk，重新更新加權向量W，更新殘余向量r、βk、Pk。

4）根據輸出的Wopt計算出FIR數字濾波器最優濾波系統h（n），從而優化設計FIR數字濾波器[7]。

（4）誤差分析

采用共軛梯度法計算時存在一定的誤差，現分析共軛梯度法誤差。

Wd為準確解，W為近似解，r=AW-bd為剩余向量

證明

由式（11）可知，在A數值較小的情況下，如果r小，則W誤差小。當A數值大時，誤差較大，因此在A數值大的情況下，需采用校正方法進行校正，以提高計算的正確度。

3 結語

數字濾波器是通過計算法輸入數字序列轉換為不同輸出序列的數字信號處理系統，是離散時間系統，其在數字信號處理系統中具有獨特而重要的作用。數字濾波器處理數字信號具有精確度高、可靠性強的特點，使用數字濾波器處理信號更加方便靈活。數字濾波器設計有諸如遺傳算法、模型退火算法、蟻群最優化算法等現代算法，這些算法在使用過程中都有自身的特點，都有自身的缺陷，因此，優化設計數字濾波器，以減少數字濾波器運行的時間。

[1]任偉.自由搜索算法在數字濾波器優化設計中的應用研究[D].湘潭大學，2014.

[2]雷旎，劉峰，曾喆昭.基于共軛梯度法的FIR數字濾波器優化設計[J].計算機仿真，2014，12:179-182+415.

[3]周青松，張劍云，李小波.序列錐規劃方法對于群延時及L_1范數約束的數字濾波器優化設計[J].電路與系統學報，2011，01:52-57.

[4]周青松，張劍云，李小波等.二階錐規劃方法對于低群延時復系數有限沖激響應數字濾波器優化設計[J].電路與系統學報，2011，03:75-80.

[5]張月紅，王馬華，朱霞.基于FPGA的FIR數字濾波器的優化設計[J].現代電子技術，2011，14:44-46+50.

[6]孫成發.基于實數編碼量子進化算法的IIR數字濾波器優化設計[J].電子世界，2013，06:66-68.

[7]宋定宇.基于粒子群算法的數字濾波器優化與仿真[J].計算機仿真，2013，08:356-359+375.

TU7

B

1007-6344（2016）07-0101-02

萬子墨(1997.04--)男，遼寧省鞍山市人，本科學歷，專業：電子信息科學與技術。

邵普陽(1995.11--)男，內蒙古自治區包頭市人，本科學歷，專業：通信工程。

馬騰飛(1996.05--)女，遼寧省撫順市人，本科學歷，專業：通信工程。