高中數學不等式易錯題型和解題技巧分析

余煌浩

南京師范大學附屬中學江寧分校高三（9）班

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高中數學不等式易錯題型和解題技巧分析

余煌浩

南京師范大學附屬中學江寧分校高三（9）班

摘 要：求解不等式解集是高中數學內容的重要組成部分，其難度比較大，我們不易理解，因而常常出現錯誤。本文內容解析了高中數學不等式問題中容易出錯的題型，如不等式與線性規劃的結合、不等式中一元高次不等式問題，并分析自己的解題方案，供同學參考。

關鍵詞：不等式問題；易錯題型；解題技巧

前言

不等式是高中數學中重點和難點，每年在考試試卷中所占比例也較大，往往結合數列以壓軸題的形式出現，也是易錯點之一，結合自己多年的實踐經驗對不等式的易錯題型進行了總結并分析，并給出了一些解題技巧和思路。

例1.不等式與線性規劃相結合的問題

數學考試題目中，這類題型頻繁在數學考試中出現。因其考察的范圍廣，對我們綜合運用數學知識的能力要求較高。

分析：在計算三條直線所圍成的三角形區域時容易出錯，該題要求我們明確三個不等式的取值范圍，并畫出圖示。在解答該題時，應先繪制三條直線，并標示其共同包含的區域（如圖1所示）：

由圖像可知，△ABC即為三條直線所圍成的平面區域，可將題目轉化為幾何題目。設平面直角坐標系原點為O，將BC作為三角形的底邊，AO作為三角形的高。則BC·AO=2，此時計算BO距離，即不等式y=-x+2縱軸交點與原點的距離。計算得出BO的距離等于2，同理可得CO等于1，則BC=BO-CO=2-1=1，將BO=1代入BC·AO=2，可得AO=2。即y=-x+2與y=kx+1兩個方程的交點坐標為（y，2），將坐標代入兩方程中，分別得到y=2k+1和y=0，將兩個式子合并可得：0=2k+1，由此可得，k=-

總結：解答此類題目的技巧共有兩個：第一，在求該類型問題或遇到求解極值的問題時，應先繪制出不等式組的可行域，將其轉化為幾何知識，理解可行域的幾何意義，之后將不等式轉化為等式，通過計算解決題目問題。第二，將不等式化為函數，并為函數設定一部分參考值，從函數入手，觀察不同參考值下函數圖形的變化，從而逐漸鎖定影響函數變化的量，并對其進行求解。這兩種方法是解答該類問題的主要解決方法。

例2.高次不等式問題

這類題型同樣是高中考試中常出現的問題，我們在該類題型中出現錯誤，原因主要有三點。第一，我們忽略了題目中部分隱性的要求，如高次分式不等式中，我們會遺忘分母不能為零這一要求。第二，我們對解集的區域不明，部分我們雖然能夠得出解集的范圍，但對范圍邊界不明，主要體現于我們不能確定解集是否要取邊界值。第三，在使用“穿根法”時，不能確定函數的升降規律。以上便是構成我們在解答問題時出錯的原因。

題目二：求不等式（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。

分析：該題已明確給出我們函數的根，分別為：x=-3、x=2、x=4。我們能夠準確在序軸中標示三個零點，將序軸分為四個區間。我們運用穿根法，從最右端的零點開始，由右上方過右端零點向左下方穿過，之后依次穿過每個零點，形成一條函數曲線圖（如圖2所示）。

圖2

之后我們按照題目要求，進行圖像選擇。因為題目要求整式小于0，所以我們應選擇序軸以下的圖像，即得出不等式的解集（-，-3）U（2，4）。我們繼續分析題目，可以發現，題目中的不等符號是“≤”，因此邊界值可以納入集合當中，所以該題最終的解集為（-，-3］U［2，4］。

總結：我們在解決該類問題時，應熟練掌握穿根法這一解題方式，運用穿根法能夠提高我們的解題速度，降低題目難度。同時我們解得解集后，也應對解集的臨界點進行判定，確定其是否可以納入解集范圍內，從而使解集不會出現問題。

例3.含參不等式問題

往往需要對參數進行分類討論，選擇合理的分類依據進行完成（參數是否為零等，不重不漏）。

題目三：解關于x的不等式ax2－2x+1＞0（a為常數，a∈R）。

分析：此題要分情況來討論，分別是a=0、a＞0 和a＜0三種情況，同時在a＞0時還要區分判別式△的值。此類題型的解題技巧是要牢記參數要對參數進行分類來說明，保證不重不漏。基本不等式：湊項，拆項，配系數，換元，取倒數，“1”的代換。

例4.解絕對值不等式

解絕對值不等式主要通過同解變形去掉絕對值符合轉化為一元一次或一元二次不等式（組）進行求解，含有多個絕對值符合的不等式，一般可用零點分段法求解，但利用實數絕對值得幾何意義求解較便捷，對于最值問題也可以考慮絕對值三角不等式。核心思想是“想方設法”將其轉換成不含絕對值的式子求解。

例5.不等式恒成立問題

不等式恒成立問題往往與數列或抽象函數相結合來命題，這類問題是高中不等式問題的難點，而且由于抽象性較強，極易出錯。

題目四：設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf`（x），x≥0，其中f`（x）是f（x）的導函數。

（Ⅰ）令 g1（ x）= g（ x），求gn（x）的表達式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）設n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與nf（n）的大小，并加以證明。

分析：該題的考點是結合不等式、函數導數求閉區間上函數的最值并研究函數的單調性。

解答此類題型的技術往往采取分離變量或適當變形，或變換主元，或構造函數，再利用函數的單調性或基本不等式進行求解；最值問題常常轉化成利用基本不等式求解。同時在轉化不等式中要注意不等式不等號的方向，注意“一正，二定，三相等”。