構造等差數列研究三角函數求值問題

江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)

于志洪●

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構造等差數列研究三角函數求值問題

江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)

于志洪●

有時候，解一道數學題，用從條件到結論的定向性直接思維解題方法遇到困難，甚至不能解決，這時，通過聯想，把題目中的已知關系重新組合 一種新的關系，使抽象或隱含的條件清晰地顯示出來，把復雜的問題化為簡單的問題，從而使問題較快地解出.這種方法稱為構造性解題方法.

本文主要談談如何構造等差數列解三角函數求值問題，供高中師生教與學時參考.

分析 若按常規平方去根號，則將陷入繁瑣運算.注意到已知式呈現a+b=c兩項和的特征，捕捉等差中項信息，可構設公差嘗試從等差數列入手.

分析 本題源于人教版《數學》第一冊(下)復習參考題四第9題.

已知tanα=3,計算:

(2)sinαcosα;

(3)(sinα+cosα)2.

由3sinα+cosα=0,表明3sinα,0,cosα成等差數列.

所以應選A.

分析 依題設知sinα,1,3cosα成等差數列，令sinα=1-d,3cosα=1+d,將sinα,cosα同時代入sin2α+cos2α=1,求得公差d即可.

從以上各例可以看出構造等差數列求三角函數值，其關鍵是要從問題的背景出發，根據題設及所求題目的結構特征經過合理的推理，探究出問題中的隱藏的等差數列關系，列出符合題意的關系式，從而與等差數列的有關知識聯系起來，將三角函數求值問題轉化為代數式的求值運算，如例1，例5，或將三角函數求值問題轉化為一元二次方程求解問題，如例2、例3和例6等等.

構造等差數列解三角函數求值問題之所以具有新穎別致、獨特創新的靈活性和創造性，是因為在解題過程中往往容易找到題設和結論之間的關系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時，就能化繁為簡，變難為易.構造等差數列解三角函數求值問題，對于數學思維的培養及數學方法的培養有一定的加強作用，有利于提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，可使學生和教師從題海中解放出來，從而減輕教與學的負擔.

通過上述專題講座的教學研究，筆者深深體會到，構造法的應用是極其廣泛的，這種方法通俗易懂，它既有利于學生融會貫通“基礎知識和基本技能”，又有利于幫助學生提高綜合解題水平，對于啟迪學生思維、開拓學生視野，提高教學質量，提高教師講課效果，對于培養學生學數學、用數學、研究數學的興趣均頗有益處.

[1]馬小燕.構造等差數列探究高考三角求值問題[J].數學教學通訊(重慶)，2010(9).

[2]張君昕，尚繼慧.構造法解三角題覽勝[J].數學通訊(武漢)，2011(11,12)(上半月).

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