關于《熱學》中熵的探討

（貴州省六盤水師范學院物理與電子科學系，貴州 六盤水 553004）

一、引言

熵概念在近百年前就被引入，物理學家如克勞修斯、玻爾茲曼等對熵理論的發展都曾有突出貢獻[1]。近些年來，熵的研究從物理學到化學、生物學......，還擴展到通信理論和社會經濟領域等。而今，熵依然是研究界的熱點正日益滲透到科學技術和日常生活的許多領域。國外主要有信息熵，生物熵，社會熵及相變熵[2]研究等。熵概念較抽象，很多學生理解起來困難、吃力。本文通過樣卷調查分析找出學生學習《熱學》中熵時所遇的知識惑點和學習困難并提出相應的改善方法。目前，對于《熱學》中熵的討論及熵在教與學方面的分析較缺乏，且《熱學》教材中對熵知識的介紹有內容局限，因此本文的分析研究，無論是對于熵的知識深化和教學促動都有重要意義。

二、《熱學》中熵的探討

1.熵的介紹

宏觀上講，熵用來度量系統內不可逆過程中初、末兩態差異，體現熱力學過程進行的自發方向（熵增加原理）；微觀上說，熵本質是分子熱運動混亂性的量度，系統混亂度越大,熵就越大，對于一個平衡態系統，其熵值最大；從玻耳茲曼熵的角度，熵是衡量系統的無序程度，若系統越無序其熵值越大；科學技術上，熵表征系統功能紊亂的程度。

2.常見的幾種熵

2.1 克勞休斯熵

熵概念是克勞休斯于1854年首先提出的[3]，1865年克勞修斯據可逆卡諾循環用完全宏觀的方法導出克勞休斯熵。

①由卡諾循環[4]知：

Q1為系統從高溫熱源所吸熱,Q2為向低溫熱源所放熱，Q1與Q2均為代數量,對于可逆卡諾循環，熱溫比Q/T代數和等于零。

②推廣：可逆循環（N個熱溫源）熱溫度和Q/T代數等于零:

不可逆循環(N個熱溫源)熱溫比Q/T代數和小于零：

③熱力學系統的平衡態存在一個態函數，稱為熵，記為S，熵在初態A、末態B兩平衡態之間的增量，用任意可逆過程的熱溫比的積分來度量，式中SA為初態熵，SB為末態熵，熵單位為J/K（焦爾/開），積分路徑R為任意可逆過程；積分值只與初、末態有關，與中間過程無關。熵是廣延量,系統的總熵值等于各部分熵值之和。

2.2 玻爾茲曼熵[5]

1872年玻爾茲曼提出：S=klnΩ，其中S為系統的熵，Ω為熱力學概率(即宏觀態包含的微觀狀態數)，k是玻爾茲曼常數。熵是系統內微觀粒子排列的無序程度，也是描寫熱力學概率大小的量度，玻爾茲曼通過S=klnΩ式把熵與熱力學概率聯系起來，指出了熱力學第二定律的統計本質，熵增加原理所表示的孤立系統的自發過程總是由非平衡狀態向平衡狀態的宏觀狀態轉化。

2.3 信息熵

信息理的奠基人香農用概率統計方法使用信源熵來描述一個隨機事件、信息的不確定性，他定義信息的獲得意味著在各種可能性中概率分布的集中,對只有兩種可能性作出完全判斷所需的信息量定為1bit（比特）是信息量的單位.一般來說,從N種可能性中作出完全判斷所需的信息[6]為,叫信息熵,記為則；如果有的N種可能性,每種可能性出現的概率為,則信息熵定義為,即信息熵等于各種可能性的信息熵以其概率為權的平均值.信息熵等于對事件作出完全判斷所缺乏的信息量,意味著信息的缺損,信息量等于負熵。

2.4 熵與相變

熱力學系統具有均勻物理性質稱之為處于某一相，除了常見的固、液、氣相變外，還有量子相變，幾何相變，超導體與正常導體的轉變等。由熱力學第二定律知從無序向有序相轉化系統伴隨著熵的損失，因此需要能的減少來補償。例如，晶體是高度有序，各向同性的液體高度無序，因此，從各向同性液體冷凍結晶過程必須降低抵消熵損失，從而得出熵導致有序相變。很多有序相變，似乎為能致相變，實質上是熵致相變。舉例：在膠體中，身體內部的能量是溫度的函數，溫度一定時，內部的能量保持不變，對相變無影響，因此，降低自由能使熵增加是唯一可能的方法。

3.常見的幾種熵間的聯系

由玻爾茲曼熵可推出克勞修斯熵，二者等價。由于系統的自發過程是從有序向無序狀態的方向，玻爾茲曼熵具有克勞修斯熵的所有功能，克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的一種特殊情況，只對系統的平衡態才有意義，熵的變化是指從某一平衡態到另一平衡態的變化。在熱力學中克勞修斯熵公式比玻爾茲曼熵公式用的多，但玻爾茲曼熵應用更廣泛，玻耳茲曼熵對非平衡態也適用。

信息熵是物理熵的泛化，它是一個隨機事件不確定性的量度，獲取信息的過程就是要消除事物的不確定性，信息量的多少可以用不確定性的多少來表示，人們獲取信息的過程是從無序到有序的轉變。

4.熵的應用介紹

熵的應用很廣泛，如制冷技術中從被冷卻物體中抽取熱量，相當于抽取熵，隨著物體中熵的減少，物體溫度下降，氣體能凝結成為液體，液體凝固為固體……，熵的一些其他應用如列表1。

表1 熵的一些其他應用列表

三、關于《熱學》中熵的研究

1.關于熵的調查情況

通過250份樣卷調查了解學生《熱學》中熵的學習情況統計為表2、表3。

表2 學生在熵習題求解中的易錯問題

表3 學生在熵習題求解中的出錯方式

2.調查的結果及分析

從表2和表3看出，學生在解決熵問題出錯率很高，隨著問題加難，出錯率更高。將出現表2、3情形的原因歸類如下：（1）大部分學生對熵的相關概念如“態函數”、可逆過程等不甚理解。（2）學生對前面學習的相關概念、公式以及它們之間的推算關系不清晰導致學生在解答熵的相關題目時常感到無從下手。（3）學生認為熵知識抽象畏難，學習態度不佳。（4）對dS=dQ/T不理解，出錯率高。

3.改善方法建議

3.1 針對表2中1、2、3問題，建議教學改善方法如下：

3.1.1 建議老師作好引導，激發學生興趣 如在引入熵時，向學生強調學習熵的目的和意義，并介紹當前國內外熵的前言理論以激發學生的學習興趣。

3.1.2 增加學生的學習自主性 采取讓學生自己查閱資料、獨立總結的學習方式，最后老師再據批改學生作業情況找出存在的問題來進行相應講析。

3.1.3 增加熵問題的討論 教師設立熵問題情景，讓學生進行“頭腦風暴”進行討論，教師再回答訂正，學生印象深刻。

3.2 針對表2中第4問題，建議教學改善方法如下：

3.2.1 講解細節到位成為必需

求熵變時要注意細節交代，加強對公式的理解和掌握，可增加學生解題的準確率。如計算系統從平衡1到2的熵變時，使用公式

注意交代：（1）積分路徑R為任意可逆過程，突出“可逆”；（2）積分值只和始、末態有關，和中間過程無關；（3）使用公式時，T為熱源溫度還是熱力學系統溫度要分清。

3.2.2 交代解題步驟，讓學生逐步進行

如運用熵增加原理分析熵問題時，分以下幾步進行：

（1）先確定熱力學系統初態1、終態2兩平衡態；

（2）設計一個方便的連接這兩個態的可逆過程，可以用公式

計算兩個初末狀態的熵差。

（3)使用熵增加原理，判斷過程進行的方向：

若系統是絕熱系統或孤立系統，熵增加原理：孤立系統的熵永不減少。

舉例[7]一容器被一隔板分隔為體積相等的兩部分，左半中充有物質的量為a摩爾的理想氣體，右半是真空，將隔板抽掉后氣體自由膨脹，求熵變。

解：（1）確定氣體膨脹前為系統初態1、膨脹后為系統終態2。

（2）確立可逆等溫膨脹過程，使用公式計算兩個態的熵差。

限于篇幅，其余例子不再列舉。

四、研究意義

通過本文研究可為學生提供一個學習和研究熵問題的思路，使學生對熵的理解深化、對熵的了解視覺變寬廣，能提高學生對熵問題的分析解決能力。