基于有限元法的齒輪強度接觸研究分析

戴喜明（上海寶鋼節能環保技術有限公司，上海 201999）

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基于有限元法的齒輪強度接觸研究分析

戴喜明
（上海寶鋼節能環保技術有限公司，上海 201999）

摘 要：本文首先介紹了針對齒輪接觸的有限元原理，其次根據齒輪結構特性及相關理論導出漸開線齒廓方程和齒輪嚙合位置方程，在此基礎上利用有限元方法進行模型構建，進行數值模擬，最后對數值模擬與仿真計算結果展開分析，結論與齒輪實際情況相吻合，以期對齒輪接觸強度有限元分析領域有所貢獻。

關鍵詞：有限元原理；齒輪；接觸強度；數值模擬

1. 齒輪接觸的有限元原理

齒輪有限元接觸理論包括靜態分析和動態分析。靜態分析理論中，首先應滿足彈性靜力學控制方程（式1），這是靜態分析的基礎，同時附加法向和切向接觸條件。法向接觸條件主要是用來判斷主從動輪是否接觸，且此時的法向應力為壓力。切向接觸條件承接法向接觸條件，即判斷已發生接觸的齒輪面之間的接觸細節，選用相關模型重點研究其接觸面的摩擦情況。從理論上講，嚙合齒面的摩擦接觸狀態包括以下3種類型：（1）摩擦接觸較為明顯的黏結狀態；（2）即將脫離摩擦條件的滑動狀態；（3）不存在摩擦力的分離狀態。平衡方程

式中：σij，j—應力張量偏導；—體積力張量；uij，uji—位移張量的偏導；εij—應變張量；σij—應力張量；G，λ—Lame常數；δij，δkl—Kronecher符號。

式中：K—集成結構的剛度矩陣；U結構節點位移列陣；Q—結構節點外部載荷列陣；F—結構節點接觸載荷列陣。

因此，進行接觸面分析時，首先應先定義齒輪嚙合面的接觸狀態以及接觸區，合理判定，并選擇出合適的邊界條件。一般采用如式（2）所示的有限元方程來研究主從動輪接觸問題。

動態分析的基本控制方程與約束條件與靜態方法相似，其求解方程如式（3）所示。

式中：ρ—質量密度；μ—阻尼因數；ui，tt—i方向的加速度。利用Hamilton變分原理，實現公式（3）的有限元化。在進行齒輪的有限元動態分析時，有關時間因素在內的域是關鍵，Newmak法的廣泛應用就充分驗證了這一特性。

2. 漸開線齒輪嚙合方程

2.1 漸開線齒廓方程

由端面參數相同的齒輪嚙合漸開線以圖2所示的齒廓曲線為參照通過移動重疊所形成的曲面作為漸開齒廓曲面。圖1所示中的點P為齒廓上的任一點，而點C為對應分度圓上的點。參照漸開線的極坐標方程可以得到

在坐標面OZa中，P點對應的齒廓方程為：

2.2 齒輪嚙合位置方程

考慮到齒輪嚙合接觸面的復雜性，為得到更為精準的分析模型，主要思路是：首先應該將主、從動輪前端面的幾何體定義出來，然后利用坐標在坐標系之間的轉換得到彼此之間的空間位置。圖2顯示的坐標轉換關系。在圖2中，坐標系O1Z1a1為主動輪的前端面坐標系，而O2Z2a2則是表示從動輪，可以假定在轉換之前二者為近似重合位置關系。具體操作如圖2所示。

Sc1、s2是主動輪嚙合位置的齒厚及分度圓齒厚，Sc2、s2相應的從動輪的幾何參數；Tc1、Tc2為主、從動齒輪嚙合位置的壓力角。

O2點在O1Za坐標系中的坐標（Z0，a0）為：

圖1　齒廓曲線圖

圖2　主從齒輪位置轉換圖

3. 有限元計算模型構建

3.1 輪齒建模

從主、從齒輪各自的前端面作為坐標系轉換的基準，因此，首先應從以此作為有限元網格劃分切入點，然后按照上述的轉換思路，轉換得到相應的嚙合點位置。輪齒部分選用8結點參數相同的實體單元，得到的網格分布特別密集，網格具體大小應根據形狀或外力矩進行調整。輪緣和輪殼部分同輪齒選用結點單元相同，即8結點實體單元。而輻板部分選用的是4結點版殼單元。

表1　算例參數

表2　最大接觸應力σmax

3.2 邊界條件及外載荷

檢查主動輪的有限元模型，確保最大邊界的結點處在坐標系中，保證在z軸方向可自由移動及a軸的零位移（Va=0）。各結點在坐標轉換過程中的轉角大小為：

式中：Zi、ai——相應結點的坐標；

保證從動輪模型各個結點沿z軸以及a軸方向沒有發生位移。外載荷是通過等效轉化成結點力作用在主動齒輪上的。

4. 數值模擬與仿真計算結果

此次設計模擬6個算例，具體參數如表1。

算例2的壓力角T2=35°，其余均為T=30°，其余參數見表1嚙合方式選用外嚙合。

通過計算，求得各算例的齒輪最大接觸應力，并將有限元計算結果與ISO齒輪強度計算。

標準對比分析，見表2。

通過計算，分別得到算例齒輪接觸表面的應力分布，并計算得到最大接觸應力，并將計算結果與ISO齒輪強度計算標準比較分析。

結論

本文通過有限元方法進行模型構建，進行數值模擬，最后對數值模擬與仿真計算結果展開分析，結論與齒輪強度標準結果基本吻合，說明該方法能夠運用于齒輪接觸強度分析，也能為齒輪進一步優化設計提供可靠依據。而且相比于其他的零部件設計，齒輪的重要性和復雜性也從客觀上要求一個更加優化的分析計算工具，這樣可以從制造工藝上面節省大量的人力物力資源，從而提高了工作效率。事實上，該有限元分析方法的計算功能的有限元分析有著其他十分重要的功能，相信在不久的將來該程序的計算功能的有限元分析可以推廣到其他的零件領域，甚至是各行各業。

參考文獻

［1］武麗.有限元分析法及其軟件在齒輪接觸強度分析中的應用［J］.機械管理開發，2007（2）：74-75.

［2］羅齊漢，李成剛，厲海祥，胡于進.齒輪彎曲強度有限元精確分析方法研究［J］.機械科學與技術，2007（9）：12-15.

中圖分類號：TH114

文獻標識碼：A