非參數(shù)密度估計(jì)在電線線纜質(zhì)量控制中的應(yīng)用

孫其勇（安徽江淮電纜集團(tuán)有限公司，安徽 巢湖 238371）

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非參數(shù)密度估計(jì)在電線線纜質(zhì)量控制中的應(yīng)用

孫其勇
（安徽江淮電纜集團(tuán)有限公司，安徽 巢湖 238371）

摘 要：本文用非參數(shù)密度估計(jì)構(gòu)造了數(shù)學(xué)模型。該模型不假定數(shù)據(jù)序列相依形式和概率分布形式，不涉及模型參數(shù)估計(jì)，只依靠數(shù)據(jù)本身驅(qū)動(dòng)，克服了參數(shù)估計(jì)普適性不高的特征。本文探索了非參數(shù)密度估計(jì)在電線線纜質(zhì)量控制中的應(yīng)用，探索了一種精確度較高的的分析方法。

關(guān)鍵詞：核估計(jì)；窗寬；結(jié)果分析；擬合度

0. 引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)，是先進(jìn)質(zhì)量管理的重要課題。目前在電線電纜行業(yè)中應(yīng)用較多的數(shù)理統(tǒng)計(jì)技術(shù)是傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，其基本步驟是：

第一，收集數(shù)據(jù)；

第二，擬合參數(shù)模型；

第三，估計(jì)參數(shù)模型；

第四，指出擬合效果。

其核心思想是先假設(shè)確定的參數(shù)模型。這種方法對(duì)數(shù)據(jù)的分析通常有較好的精確度，比如假設(shè)正態(tài)分布模型，用矩估計(jì)、最大似然估計(jì)和最小二乘法求參數(shù)等等。但是這些方法的缺陷就是模型的假設(shè)對(duì)不同的樣本不具有普適性。本文探索利用非參數(shù)密度估計(jì)對(duì)電纜導(dǎo)體單絲的電阻率進(jìn)行分析，以尋求一種更為精確的統(tǒng)計(jì)方法。

表1　 2.52mm模具拉出的銅單絲直徑

1. 觀察數(shù)據(jù)

本文首先給出標(biāo)準(zhǔn)直徑為2.52mm的模具拉出的銅單絲直徑的樣本數(shù)據(jù)見(jiàn)表1（樣本容量為100，分16組，組距為0.000022mm），圖1為散點(diǎn)圖，圖2為直方圖，了解其所屬總體的基本性質(zhì)：由上面的圖形，尤其是直方圖，我們能對(duì)這組樣本數(shù)據(jù)的分布有一個(gè)初步的了解。可以初步估計(jì)，該樣本數(shù)據(jù)所屬總體是很不對(duì)稱的，并且左端有較長(zhǎng)的尾端，從左向右整體有上升的趨勢(shì)，在最右端出現(xiàn)一個(gè)小的尾端。

2. 密度核估計(jì)理論

2.1 核估計(jì)定義：設(shè)K（x）為R上的一個(gè)概率密度函數(shù)，h＞0是一個(gè)與n有關(guān)的常數(shù)，則

稱fn為總體未知密度f(wàn)（x）的一個(gè)核估計(jì)，其中函數(shù)K（x）稱為核，h為窗寬。

2.2 K（x）的確定

研究表明，窗寬h確定時(shí)，不同核函數(shù)的作用是等價(jià)的。實(shí)際工作中，一般先選定核函數(shù)K（x），然后再尋求最優(yōu)窗寬h。K（x）對(duì)fn的影響很小，因此滿足以下基本條件的核函數(shù)都合適：

①∫K（x）dx=1；

②函數(shù)連續(xù)且光滑；

③一階矩為零，方差有限。

常用的有均勻核，高斯核等。本文以高斯核為核函數(shù)。得到函數(shù)的核估計(jì)：

2.3 窗寬的確定

窗寬h越小，核估計(jì)密度對(duì)原數(shù)據(jù)的擬合度越大，但核估計(jì)的方差越大。反之，窗寬h越大，核估計(jì)的方差越小。通常選用LSCV法確定最佳窗寬，LSCV法是從現(xiàn)有的數(shù)據(jù)直接得到合理的窗寬，是計(jì)算最佳窗寬的經(jīng)典方法之一。其主要思想是由樣本作缺值估計(jì)來(lái)求最佳窗寬：

LSCV是基于積分平方誤差I(lǐng)SE最小準(zhǔn)則的一種計(jì)算方法，ISE為：

式（4）中最后一項(xiàng)與h無(wú)關(guān)。LSCV就是取式（4）中前兩項(xiàng)進(jìn)行最小化計(jì)算，實(shí)際上使式（5）達(dá)到最小：

將已知的各個(gè)樣本點(diǎn)值代入表達(dá)式，即可求得用核估計(jì)的窗寬h為0.105時(shí)，ICE最小為-5177。

3. 應(yīng)用結(jié)果分析

本文利用以高斯核為核函數(shù)的核估計(jì)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，這樣就可以得到函數(shù)的核估計(jì)形式：

圖1　20℃銅單絲電阻率散點(diǎn)圖

圖2　20℃銅單絲電阻率直方圖

在統(tǒng)計(jì)方法中，不知道總體服從什么類型的分布，通常可以用皮爾遜Χ2擬合度檢驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)確定模型顯著性是否可接受，以確定一批數(shù)據(jù)是否真正來(lái)自假定的分布模型。對(duì)于連續(xù)型數(shù)據(jù)，需先將樣本數(shù)據(jù)劃分成若干區(qū)間（即分組），要求分組后每組內(nèi)包含的樣本數(shù)不少于5個(gè)，若某些組內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)小于5，則應(yīng)將該組與相鄰的組做適當(dāng)合并，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)。用fn估計(jì)總體密度f(wàn)（x），所以檢驗(yàn)問(wèn)題等價(jià)于：

作為假設(shè)檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量，在H0為真時(shí)近似有：

fi為第i組的樣本頻數(shù)，npi是按照核估計(jì)密度函數(shù)計(jì)算得到的理論頻數(shù)，k為在H0下X可能取值的子集數(shù)，r為總體分布中需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。該統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為k-r-1的Χ2分布，可知假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?/p>

α為顯著性水平，檢驗(yàn)的臨界值為Χ2（1-α，k-r-1），當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值大于臨界值時(shí)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為密度函數(shù)不是核估計(jì)方法得到的密度函數(shù)；否則就不能拒絕原假設(shè)。

前文已經(jīng)提到，在樣本量很大的情況下，如果原假設(shè)成立，該統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為k-r-1的Χ2分布，在此k=9，r=1因此分布的自由度為7。參考任何帶有統(tǒng)計(jì)附表的書(shū)籍，均可以查閱到各個(gè)顯著性水平下自由度為7的Χ2分布臨界值，在此我們查閱參考文獻(xiàn)［5］，查到α=0.05時(shí)，臨界值而h=0.105時(shí)14.067，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)值12.815小于該臨界值，這就說(shuō)明，在顯著性水平為0.05時(shí)，不能拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為通過(guò)非參數(shù)核估計(jì)方法得到密度函數(shù)的表達(dá)形式符合實(shí)際的總體分布形式。因此，我們可以進(jìn)一步相信上文選擇的窗寬值是“最優(yōu)”的，且在該窗寬取值下估計(jì)的總體密度函數(shù)是理想的。

結(jié)論

鑒于參數(shù)模型的缺陷，本文基于核估計(jì)理論提出了非參數(shù)隨機(jī)模型。該模型避免了模型結(jié)構(gòu)（線性或非線性）選擇和參數(shù)不確定性問(wèn)題，可以通過(guò)最終的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。由LSCV法計(jì)算最佳窗寬保證了核密度估計(jì)的計(jì)算精度，是計(jì)算窗寬的一種實(shí)用且安全的方法。進(jìn)一步完善非參數(shù)密度估計(jì)方法在電線線纜質(zhì)量控制中的應(yīng)用，或許能為電線線纜質(zhì)量的提高提供一種精確度較高的分析方法。

參考文獻(xiàn)

［1］陳希儒，柴根象.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)教材［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1993.

［2］ Epanechnikov V A. Nonparametrie estimation of a multidimensional probability density ［J］. Teory of probability and Application， 1969.

［3］ Larry Wasserman.現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計(jì)［M］.吳喜之譯.北京：科學(xué)出版社，2008.

［4］盛驟，謝石千，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］吳喜之.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.

中圖分類號(hào)：O212

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A