非參數密度估計在電線線纜質量控制中的應用

孫其勇（安徽江淮電纜集團有限公司，安徽 巢湖 238371）

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非參數密度估計在電線線纜質量控制中的應用

孫其勇
（安徽江淮電纜集團有限公司，安徽 巢湖 238371）

摘 要：本文用非參數密度估計構造了數學模型。該模型不假定數據序列相依形式和概率分布形式，不涉及模型參數估計，只依靠數據本身驅動，克服了參數估計普適性不高的特征。本文探索了非參數密度估計在電線線纜質量控制中的應用，探索了一種精確度較高的的分析方法。

關鍵詞：核估計；窗寬；結果分析；擬合度

0. 引言

數理統計技術，是先進質量管理的重要課題。目前在電線電纜行業中應用較多的數理統計技術是傳統的參數統計方法，其基本步驟是：

第一，收集數據；

第二，擬合參數模型；

第三，估計參數模型；

第四，指出擬合效果。

其核心思想是先假設確定的參數模型。這種方法對數據的分析通常有較好的精確度，比如假設正態分布模型，用矩估計、最大似然估計和最小二乘法求參數等等。但是這些方法的缺陷就是模型的假設對不同的樣本不具有普適性。本文探索利用非參數密度估計對電纜導體單絲的電阻率進行分析，以尋求一種更為精確的統計方法。

表1　 2.52mm模具拉出的銅單絲直徑

1. 觀察數據

本文首先給出標準直徑為2.52mm的模具拉出的銅單絲直徑的樣本數據見表1（樣本容量為100，分16組，組距為0.000022mm），圖1為散點圖，圖2為直方圖，了解其所屬總體的基本性質：由上面的圖形，尤其是直方圖，我們能對這組樣本數據的分布有一個初步的了解?？梢猿醪焦烙?，該樣本數據所屬總體是很不對稱的，并且左端有較長的尾端，從左向右整體有上升的趨勢，在最右端出現一個小的尾端。

2. 密度核估計理論

2.1 核估計定義：設K（x）為R上的一個概率密度函數，h＞0是一個與n有關的常數，則

稱fn為總體未知密度f（x）的一個核估計，其中函數K（x）稱為核，h為窗寬。

2.2 K（x）的確定

研究表明，窗寬h確定時，不同核函數的作用是等價的。實際工作中，一般先選定核函數K（x），然后再尋求最優窗寬h。K（x）對fn的影響很小，因此滿足以下基本條件的核函數都合適：

①∫K（x）dx=1；

②函數連續且光滑；

③一階矩為零，方差有限。

常用的有均勻核，高斯核等。本文以高斯核為核函數。得到函數的核估計：

2.3 窗寬的確定

窗寬h越小，核估計密度對原數據的擬合度越大，但核估計的方差越大。反之，窗寬h越大，核估計的方差越小。通常選用LSCV法確定最佳窗寬，LSCV法是從現有的數據直接得到合理的窗寬，是計算最佳窗寬的經典方法之一。其主要思想是由樣本作缺值估計來求最佳窗寬：

LSCV是基于積分平方誤差ISE最小準則的一種計算方法，ISE為：

式（4）中最后一項與h無關。LSCV就是取式（4）中前兩項進行最小化計算，實際上使式（5）達到最?。?/p>

將已知的各個樣本點值代入表達式，即可求得用核估計的窗寬h為0.105時，ICE最小為-5177。

3. 應用結果分析

本文利用以高斯核為核函數的核估計對樣本數據進行分析，這樣就可以得到函數的核估計形式：

圖1　20℃銅單絲電阻率散點圖

圖2　20℃銅單絲電阻率直方圖

在統計方法中，不知道總體服從什么類型的分布，通?？梢杂闷栠dΧ2擬合度檢驗來實現確定模型顯著性是否可接受，以確定一批數據是否真正來自假定的分布模型。對于連續型數據，需先將樣本數據劃分成若干區間（即分組），要求分組后每組內包含的樣本數不少于5個，若某些組內數據的頻數小于5，則應將該組與相鄰的組做適當合并，然后再進行檢驗。用fn估計總體密度f（x），所以檢驗問題等價于：

作為假設檢驗H0的統計量，在H0為真時近似有：

fi為第i組的樣本頻數，npi是按照核估計密度函數計算得到的理論頻數，k為在H0下X可能取值的子集數，r為總體分布中需要估計的參數個數。該統計量近似服從自由度為k-r-1的Χ2分布，可知假設檢驗的拒絕域為：

α為顯著性水平，檢驗的臨界值為Χ2（1-α，k-r-1），當目標函數值大于臨界值時拒絕原假設，認為密度函數不是核估計方法得到的密度函數；否則就不能拒絕原假設。

前文已經提到，在樣本量很大的情況下，如果原假設成立，該統計量近似服從自由度為k-r-1的Χ2分布，在此k=9，r=1因此分布的自由度為7。參考任何帶有統計附表的書籍，均可以查閱到各個顯著性水平下自由度為7的Χ2分布臨界值，在此我們查閱參考文獻［5］，查到α=0.05時，臨界值而h=0.105時14.067，檢驗統計量實現值12.815小于該臨界值，這就說明，在顯著性水平為0.05時，不能拒絕原假設，即可以認為通過非參數核估計方法得到密度函數的表達形式符合實際的總體分布形式。因此，我們可以進一步相信上文選擇的窗寬值是“最優”的，且在該窗寬取值下估計的總體密度函數是理想的。

結論

鑒于參數模型的缺陷，本文基于核估計理論提出了非參數隨機模型。該模型避免了模型結構（線性或非線性）選擇和參數不確定性問題，可以通過最終的擬合優度檢驗。由LSCV法計算最佳窗寬保證了核密度估計的計算精度，是計算窗寬的一種實用且安全的方法。進一步完善非參數密度估計方法在電線線纜質量控制中的應用，或許能為電線線纜質量的提高提供一種精確度較高的分析方法。

參考文獻

［1］陳希儒，柴根象.非參數統計教材［M］.上海：華東師范大學出版社，1993.

［2］ Epanechnikov V A. Nonparametrie estimation of a multidimensional probability density ［J］. Teory of probability and Application， 1969.

［3］ Larry Wasserman.現代非參數統計［M］.吳喜之譯.北京：科學出版社，2008.

［4］盛驟，謝石千，等.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］吳喜之.非參數統計［M］.北京：中國統計出版社，1999.

中圖分類號：O212

文獻標識碼：A