改進的差分進化算法在印刷電路板熱設計中的應用

藍夢瑩, 潘　瑩, 胡立坤, 林靖宇

(廣西大學電氣工程學院， 廣西南寧530004)

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改進的差分進化算法在印刷電路板熱設計中的應用

藍夢瑩, 潘瑩, 胡立坤, 林靖宇

(廣西大學電氣工程學院， 廣西南寧530004)

摘要：以降低印刷電路板最高溫度為目的，在對差分進化算法進行二進制化的基礎上，對其變異公式和交叉率進行改進，并使用改進的二進制差分進化算法對規則分布的電子元件進行布局調整，使印刷電路板的溫度降低。根據ANSYS仿真和實際電路分析電子元件在優化前后兩種布局下的溫度分布，以驗證算法的有效性。比較優化前后的印刷電路板溫度數值求解結果和ANSYS仿真結果，優化后的印刷電路板最高溫度分別降低了11.1%、4.2%。優化后的實際電路最高溫度也有所降低。與標準差分進化算法相比較，改進后的差分進化算法具有更高的收斂速度。實驗結果說明所提出的改進差分進化算法能有效優化電子元件布局，使電路板溫度得到有效降低。

關鍵詞：二進制差分進化算法；電子元件；熱設計

電子元件在工作時因功耗過大而產生熱量，電子元件之間的發熱功率不相同，元件之間溫度也不相同，它們之間因溫度差異而發生熱傳遞，造成元件整體的溫度上升。同時，高溫元器件布局較為密集，散熱較慢，電子元器件受周圍其他高溫元件的影響較大，溫度也會升高。這些都有可能使元件達到耐溫值而損壞，從而導致整個電路板熱失效，甚至無法正常運行，因此，研究電路板的熱特性有利于改善電路溫度[1]，而合理的布局則能起到降低溫度的作用[2-4]。為了使電子元件工作在正常的工作溫度范圍內，對電子元件進行合理布局將十分必要，這不僅能降低電子元件溫度，保證電路正常工作，而且能減少對外加散熱器等裝置的依賴。

近年來出現了大量關于印刷電路板熱設計的研究成果。文獻[5]采用有限元理論分析和ANSYS軟件對線路板上多芯片組件的熱場分布進行仿真，證明了不同布局能產生不同的熱場分布。印刷電路板電子元件布局優化問題屬于組合優化問題，一些啟發式優化算法(如遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法、粒子群算法等)能解決組合優化問題。文獻[6]采用自組織遺傳算法對印刷電路板(PCB)中的電子元件進行布局設計，并與固定權值遺傳算法和隨機加權遺傳算法進行比較，結果表明其收斂性更好。文獻[7]提出了一種布局布線協同算法，解決了PCB的散熱問題，并起到抗噪聲干擾的作用。文獻[8]運用遺傳算法對電子元件進行布局優化，以降低電路板局部溫度應力。差分進化算法(differential evolution, DE)是解決組合優化問題的有效方法[9]，具有控制參數少、強魯棒性等優點，在分布式發電系統調度[10]、配電網重構[11]、攝像機高精度標定[12]等眾多領域得到應用，但是差分進化算法普遍存在搜索停滯和早熟收斂的問題[13-14]。針對差分進化算法存在的缺陷，本文在解決類似于印刷電路板布局優化的組合問題時對差分進化算法進行改進，并將改進的差分進化算法應用于規則分布電子元件的印刷電路板溫度尋優中，旨在降低電路板的最高溫度。

1印刷電路板中電子元件的熱平衡原理

根據傳熱學原理[15]，假設在1塊電路板上有16個規則分布的電子元件，如圖1所示。把電路板劃分為均等的網格，則電子元件按編號1～16分別放置在電路板上的坐標(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。每個節點代表1個電子元件或傳熱介質，電路板中包含有內部節點和邊界節點。

下面以電路板某內部節點(i,j)為例分析。該節點相當于1個電子元件的中點，由能量平衡原理可知，電子元件內部產生的熱量、自然冷卻吸收的熱量和電路板傳遞給電子元件的熱量之和為零。利用微元件熱平衡法可以列出該節點與周圍4個節點的能量平衡方程如公式(1)～(5)所示。該節點的熱傳導狀態示意圖如圖2所示。

由此我們可知，這5個節點在同一平面，那么從節點(i+1,j)導入節點(i,j)的熱量為：

(1)

從節點(i-1,j)導入到節點(i,j)的熱量為：

(2)

從節點(i,j+1)導入到節點(i,j)的熱量為：

圖1電路板平面示意圖

Fig.1Schematic plan view of a circuit board

圖2內部節點熱傳遞示意圖

Fig.2Internal node heat transfer schematic

(3)

從節點(i,j-1)導入到節點(i,j)的熱量為：

(4)

式中，分子是各節點的溫度差，分母表示兩個節點之間的導熱熱阻。lx1是電子元件的長度，ly1是電子元件的寬度，lc是電子元件的厚度，lx2是電子元件左右兩邊節點之間的間距，ly2是電子元件前后兩邊節點之間的間距，λc是電子元件的導熱系數，λg是空氣的導熱系數。利用上述原理，則此電子元件的熱平衡方程為：

Qi+1,j+Qi-1,j+Qi,j+1+Qi,j-1+Q∞+Qp+qi,j=0，

(5)

其中，Q∞為節點與周圍流體的對流換熱，Qp為節點與電路板的熱傳導，qi,j是節點(i,j)在單位時間內產生的熱量。Q∞和Qp對應的數學表達式分別表示為：

Q∞=lx1ly1αc(t∞-ti,j)，

(6)

(7)

其中，αh為電路板與電子元件的換熱系數，lp為電路板的厚度，λp為電路板的導熱系數，αp為電路板與空氣的對流換熱系數。

以上的分析主要是針對內部電子元件節點而言，在實際中還有如圖3和圖4所表示的節點在邊界的情況，在印制電路板邊緣區域的電子元件，當右節點無電子元件時，相當于與空氣進行對流換熱，或者當右節點和下節點無電子元件時，也相當于與空氣進行對流換熱。

電子元件周圍邊界可看成與周圍流體之間的對流換熱，因此，上述這兩種情況的熱平衡方程分別為：

Q∞+Qi-1,j+Qi,j+1+Qi,j-1+Q∞+Qp+qi,j=0，

(8)

Q∞+Qi-1,j+Qi,j+1+Q∞+Q∞+Qp+qi,j=0。

(9)

圖3電路板四邊邊界節點的熱傳遞圖

Fig.3Heat transfer in four sides boundary node of circuit board

圖4電路板直角處邊界節點熱傳遞圖

Fig.4Heat transfer in right angles boundary node of circuit board

2改進的二進制差分進化算法在電子元件優化布局中的應用

差分進化算法(DE)的基本思想是將群體中的個體通過變異和交叉之后所生成的新個體對應的目標值與之前對應的目標值進行對比，按照選擇原則更新個體或是保留舊個體。DE算法首先在解的取值范圍內給定1個初始種群，然后作變異和交叉操作產生新一代種群，最后根據給定條件進行選擇操作。該算法主要是解決連續性優化問題。本文對電路板進行網格化，而電子元件的布局問題是離散性問題，為了解決離散性問題，需要對差分進化算法進行二進制化。

2.1差分進化算法的二進制化

DE算法在進行迭代過程中，首先初始化每一代G種群大小M，種群中的個體用一個D維向量表示為：

Xi，G=(x1i,G,x2i,G,…,xDi,G)，i=1,2,…,M。

(10)

二進制差分進化算法就是把每個個體用二進制的形式表示，采用邏輯運算來計算，“+”表示“或”運算，“?”表示“與”運算，“⊕”表示“異或”運算，其變異操作表示為：

Vi,G+1=Xr1,G+F?(Xr2,G⊕Xr3,G)，

(11)

其中，Vi,G+1=(v1i,G+1,v2i,G+1,…,vDi,G+1)是第G+1代生成的新個體，F是隨機生成的1個二進制位串，r1，r2和r3是從區間[1,M]中隨機選取互不相同的整數，且不同于下標系數i。為了提高種群的多樣性，在變異之后加入交叉操作，表示為：

(12)

其中，j=1,2,…，D，randb(j) 是[0,1]區間均勻分布概率；CR是用戶預定義的交叉率，CR∈(0,1)；mbr(i)表示[1,D]區間生成的隨機整數。

比較變異和交叉之后得到的目標值，若新的個體目標值優于舊個體的目標值，則新個體取代舊個體，否則保留舊個體。選擇操作函數表示為：

(13)

2.2變異操作和交叉操作的改進

在差分進化算法的操作步驟中，主要操作是變異策略的選擇，策略的選擇將影響到種群的走向。因此，在變異策略中選擇適用于電子元件布局優化的DE/rand/2策略，并進行二進制化，能夠產生更多互不相同的個體。在變異操作中根據以下式子進行二進制運算：

Vi,G+1=Xr1,G+F?(Xr2,G⊕Xr3,G⊕Xr4,G⊕Xr5,G)，

(14)

其中，Vi,G+1=(v1i,G+1,v2i,G+1,…,vDi,G+1)是第G+1代生成的新個體，F是隨機生成的1個二進制位串，r1，r2，r3，r4和r5是從區間[1,M]中選取互不相同的整數，且不同于下標系數i，式中“+”表示“或”運算，“?”表示“與”運算，“⊕”表示“異或”運算。通過加入多個不同的數，再作多次二進制運算增加了種群的多樣性，算法在尋優過程中將有更多的選擇。

在交叉操作中，交叉率CR的值影響到運算中種群個體的取值，找到合理的值能提高種群的多樣性，使算法在尋優中得到較好的效果。交叉率CR的大小與種群中的最優適應值相關聯，當CR較大時，在交叉操作中會更多地選擇變異操作中生成的新個體；相反地，當CR較小時，在交叉操作中則會更多地選擇的目標個體，合適的交叉率有利于算法的優化進程，使算法更容易尋找到較優值。交叉率CR的變化公式為：

(15)

式中，CR(0)表示初始值，CRmin表示最小交叉率，Tmax是最大迭代次數。

2.3改進的差分進化算法優化電子元件布局的步驟

圖5　算法流程圖Fig.5　Algorithm flowchart

基于DE的改進，對電路板中電子元件的布局進行優化，算法流程圖如圖5所示，具體步驟如下：

①初始化：給定交叉率CR(0)和CRmin，根據公式(15)計算CR(m+1)的值，最大迭代次數Tmax，隨機生成初始種群，即電子元件分布的位置的集合。

②變異操作：隨機生成1個二進制串F，根據公式(14)進行變異操作，即進行二進制運算，得到的結果就是所生成的新種群，即新位置的集合。

③交叉操作：按照公式(12)進行交叉操作，形成新種群，即新位置的集合。

④選擇操作：以熱平衡方程式(5)作為適應度函數，計算每個個體適應值，并求每個個體適應度值中的最大值。若得到的新位置對應的最大溫度值小于舊位置對應的最大溫度值，則更新位置，否則，保留舊位置。

⑤檢查是否達到迭代值，若滿足則退出計算，否則，轉至步驟②。

3實驗結果與分析

在本文中，實驗采用的電路板模型如圖1所示，電路板的長和寬均為0.1 m，厚度為0.002 m，板上有16個尺寸大小相同的但功耗不完全相同的電子元件，電子元件的長寬均為0.015 m，厚度為0.008 m，電子元件之間的間距為0.008 m，周圍環境溫度為25 ℃，電子元件與空氣的對流換熱系數為8 W/(m2·℃)，電子元件的導熱率都為1.57 W/(m·℃)，電路板的導熱率為5 W/(m·℃)，各個電子元件的編號及功耗如表1所示。電子元件的散熱方式采用的是自然對流散熱的方式。由于熱輻射作用很小，這里不考慮輻射的影響。

表 1　各電子元件的功耗值

實驗首先利用改進的二進制差分進化算法進行電子元件的位置尋優，以降低電子元件的最高溫度。在計算過程中，將電子元件的熱平衡方程作為改進的二進制差分進化算法的適應性函數。關于電子元件的熱平衡方程，由式(5)、式(8)和式(9)可知，在確定電子元件的自身參數及周圍環境參數后即可確定電子元件功耗與其自身溫度的關系。優化前后的理論求解結果如表2所示。

為了驗證改進的優化算法的有效性，實驗利用ANSYS對優化前后的電路板進行仿真分析。在優化前后，電子元件的位置發生改變，通過ANSYS軟件進行仿真，可以觀測到電子元件的溫度變化情況。ANSYS仿真得到的模擬溫度分布結果如圖6和圖7所示。圖6表示優化前電子元件的溫度分布，圖7表示優化后電子元件的溫度分布。優化前后的ANSYS仿真得到的電路板的最高溫度、最低溫度和平均溫度如表2所示。

表2　優化前后結果溫度對比

圖6優化前的各電子元件的穩態溫度場圖

Fig.6Steady temperature field of the electronic components before optimization

圖7優化后的各電子元件的穩態溫度場圖

Fig.7Steady temperature field of the electronic components after optimization

實驗還進一步通過水泥電阻實際電路驗證改進的優化算法的有效性。實驗電路如圖8所示，16個水泥電阻整齊均勻分布在電路板上。電阻之間連接方式為串聯，因此，通過每個電阻的電流在大小和方向上是相同的，電阻的功耗與電阻的阻值成正比。在實驗中，制作了兩塊電路板A和B，如圖8所示，圖中左邊的電路板為優化布局后的電路，圖中右邊的電路板為優化布局前的電路，在這兩塊電路板的16個電阻位置上的電阻阻值不同，給這兩塊電路板施加相同的電壓，即可得到優化前后的電路板工作情況。用紅外熱成像儀對電路板A和電路板B進行溫度分析，溫度分布如圖9所示。

圖8　兩種不同布局的電路實物圖

圖9　紅外檢測結果圖

由表2可見，利用數學模型進行求解，優化后所得到的電路板最高溫度明顯降低，兩者相差9.99 ℃；利用ANSYS進行仿真，優化后所得到的電路板最高溫度值降低了4 ℃。從圖6和圖7中的電路板上的溫度分布可以看出，在ANSYS仿真中，由于電子元件位置的改變，溫度最高區域明顯減少。利用水泥電阻電路進行驗證，從圖9中可以看出，右邊電路板上的溫度明顯較高，左邊電路板的溫度明顯較低，由于水泥電阻的長寬、實驗環境溫度與仿真的參數有所差異，優化前后所得到的最高溫度值也有所不同，優化后的電路板最高溫度降低了17.1 ℃。

綜合分析表2、圖6、圖7和圖9可知，雖然理論求解結果、仿真結果及水泥電阻實驗結果有些差異，但是經過位置優化后電路板的最高溫度都得到有效降低，說明利用改進的差分進化算法能有效優化印刷電路板電子元件布局，使印刷電路板的溫度降低。

此外，在利用改進的二進制差分進化算法進行計算的過程中，對改進的和未改進的差分進化算法進行比較，其迭代過程如圖10所示。在圖10中，改進后的二進制差分進化算法在尋優中經過44次迭代后電路板的最高溫度從90.374 ℃降低至80.384 ℃，而未改進的二進制差分進化算法需要經過81次迭代最高溫度值才降低至80.734 ℃。說明將改進的二進制差分進化算法應用到電子元件熱布局優化中能達到降低溫度的目的，并有較快的收斂速度，利用改進的差分進化算法進行規則分布電子元件的電路板熱布局優化是高效的。

圖10　算法改進前后最優解收斂對比圖

4結語

本文對二進制差分進化算法進行改進，并將其應用于電路板電子元件熱布局優化中，以降低電路板的最高溫度。實驗結果表明，在數值求解結果中，經過優化布局后的電路板最高溫度降低了11.1%，在ANSYS仿真結果中，電路板最高溫度降低了4.2%。在水泥電阻實驗結果中，電路板最高溫度降低了18.7%。雖然存在差異，但是電路板的最高溫度有所減小，實驗結果驗證了改進的二進制差分進化算法應用于印刷電路板電子元件優化布局問題是可行的，說明該方法能有效地改善電路的工作溫度。同時還比較改進的二進制差分進化算法與未改進的二進制差分進化算法的收斂速度，進一步說明了改進的二進制差分進化算法是一種收斂速度快的智能算法。

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(責任編輯裴潤梅)

收稿日期：2016-01-13；

修訂日期：2016-02-15

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61651005)；廣西大學“大學生創新創業訓練計劃”資助項目

通訊作者：林靖宇(1972—)，男，廣西南寧人，廣西大學副教授，博士；E-mail:jylin@gxu.edu.cn。

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0771

中圖分類號：TP302.7

文獻標識碼：A

文章編號：1001-7445(2016)03-0771-08

Improved differential evolution algorithm in the printed circuit board thermal design

LAN Meng-ying, PAN Ying, HU Li-kun, LIN Jing-yu

(College of Electrical Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Abstract:In order to reduce the maximum temperature of the printed circuit board，basing on the binary evolution of differential evolution(DE) algorithm, the variation formulas and crossover rate of DE are improved. Then the improved binary DE is applied to modify the layouts of regular distributed electronic components to reducing the temperature of the PCB. According to ANSYS simulation and actual circuit experiment, by analyzing the temperature distribution of electronic components under two layouts before and after optimization, the effectiveness of algorithms is verified. Comparing the results of numerical solution and ANSYS simulation, the maximum temperature of optimized circuit board reduces by 11.1% and 4.2% respectively. The maximum temperature of the optimized actual circuit is also reduced. Compared with normal DE, the improved DE has higher convergence speed. The results show that proposed improved DE can optimize the layout of the electronic components and reduce the temperature of circuit board effectively.

Key words:binary differential evolution algorithm; electronic components; thermal design

引文格式：藍夢瑩, 潘瑩, 胡立坤, 等.改進的差分進化算法在印刷電路板熱設計中的應用[J].廣西大學學報(自然科學版)，2016，41(3)：771-778.