廣義S變換時頻譜SVD降噪的滾動軸承故障沖擊特征提取方法

朱怡，蔣思源

（中國民航大學，天津 300300）

滾動軸承的故障常常表現為軸承工作表面的麻點、裂紋和剝落等局部損傷［1-2］，這些局部損傷在工作過程中會被撞擊，從而產生周期性的沖擊振動信號，該振動信號的頻率即軸承故障特征頻率，可用于對軸承故障的診斷。然而，旋轉機械設備結構復雜且工作環境多樣化，故障振動信號的沖擊特征常被淹沒在背景信號及噪聲中。因此，有效地提取出故障沖擊特征，是對滾動軸承相關故障進行診斷的關鍵［3-5］。

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）降噪方法是一種高效的非線性濾波方法，對寬帶噪聲信號的去噪效果優異，適用于包含強噪聲信號的滾動軸承振動信號去噪，然而，將一維的故障沖擊時域信號有效地構造成Hankel矩陣是SVD降噪效果的關鍵。文獻［6-8］將原始故障信號進行小波分解或EMD等處理后再利用分解分量構造Hankel矩陣，但這些方法都破壞了沖擊信號的完整性，導致在低信噪比情況下沖擊特征與噪聲的奇異值難以區分，沖擊特征提取困難。

廣義S變換克服了短時Fourier變換窗函數以及連續小波變換基函數固定不變的缺點，是一種高效的自適應信號時頻分析方法，適合分析非線性和非平穩信號，可以通過改變調節參數調節時頻分辨率以得到沖擊信號在時頻域中良好的能量集中性，并且其逆變換完全無損［9-10］。以信號的廣義S變換時頻譜作為Hankel矩陣，既保留了信號的完整性，也提高了沖擊特征信號的能量集中性，便于沖擊特征信號奇異值與噪聲信號奇異值分離。因此，將SVD降噪后的廣義S變換時頻譜進行廣義S逆變換即可得到降噪后的軸承沖擊特征信號。

1 廣義S變換

對屬于能量有限函數空間的信號x（t），其一維廣義S變換（Generalized Stransformation，GST）［9］定義為

式中：τ為時移因子；f為頻率；ω（τ，f）為高斯窗函數；k，p為調節因子，且k＞0，p＞0。相應地，廣義S逆變換為

由（1）式可知，當k，p固定時，廣義S變換的高斯窗函數的寬度隨頻率的變化而自適應地變化，說明該方法具備廣泛的自適應性。另外，廣義S變換可通過調節系數k，p以達到最佳的時頻分辨率，當k=p=1時，廣義S變換就退化為標準S變換。由（2）式可知，該方法是一種完全無損且可逆的時頻變換，在處理非平穩信號時有非常明顯的優勢。

相應的，一維離散廣義S變換及其逆變換分別定義為［10］

2 SVD降噪

設A為m×n的實數矩陣，其中m＞n，秩為r（r≤n），則必存在m×m的正交陣U和n×n的正交陣V使得

矩陣D的主對角線元素（σ1，σ2，…，σr，0，…，0）為A的奇異值，其主要反映A中各元素的能量集中情況。對于含噪聲的時域沖擊信號，其沖擊成分在時頻譜中能量比較集中，而噪聲在時頻譜中的能量比較分散，因此，其時頻譜奇異值能有效地反映信號的沖擊成分和噪聲成分，且按σ1≥σ2≥…≥σj≥…≥σr的順序依次排列。前i個奇異值主要反映信號的沖擊成分，而較小的奇異值則反映噪聲成分，因此，可以將較小的奇異值歸零而保留奇異值較大的部分，從而消除噪聲的干擾，提取出沖擊成分。

為區分信號中沖擊成分與噪聲成分，自適應地選擇奇異值閾值以達到最佳的降噪效果，文獻［8］提出了基于奇異值差分譜的奇異值閾值確定方法，奇異值差分譜定義為

奇異值差分譜理論認為奇異值差分序列的最大突變點包含了沖擊信號的重要信息，然而僅選擇最大峰值點對應的奇異值進行信號重構會丟失一些弱沖擊信號特征。為更好地保留信號的沖擊特征成分，最大限度地抑制噪聲成分，在此將奇異值差分譜中峰值群中最后一個峰值點序號對應的奇異值σi作為奇異值閾值。

峰值群定義為大于等于奇異值差分譜最大極大值點對應的序列號K且小于K+L序列號范圍內所對應的極大值大于a倍最大極大值點的極大值點的集合。最后一個峰值點定義為峰值群集合內最靠近K+L序列號的極值點。經過多次的仿真及試驗分析，L值取過大且a值取過小，奇異值閾值點會遠離最大極大值點，包含的噪聲會增多；L值取過小且a值取過大，奇異值閾值點會靠近最大極大值點，丟失沖擊成分會增多。因此選擇a=0.35，L=20比較合適。

將小于此閾值的奇異值置零，得到SVD降噪后的時頻譜，再通過廣義S逆變換得到時域沖擊信號，其具體步驟為：

1）通過廣義S變換得到時頻譜矩陣A；

2）計算時頻譜矩陣A的奇異值并得到奇異值差分譜bj；

3）選擇奇異值差分譜bj峰值群最后一個峰值點對應的奇異σi作為閾值，并將奇異值小于此閾值的置零，得到降噪后的時頻譜矩陣B；

4）利用廣義S逆變換對時頻譜矩陣B進行逆變換得到時域沖擊信號。

3 仿真研究

根據軸承發生外圈故障時產生的沖擊衰減信號構造仿真信號為

設s（t）的載波中心頻率f=3 kHz，阻尼比ξ=0.1，故障特征頻率fout=100 Hz，采樣頻率fs=12.8 kHz，采樣點數為1 024。仿真信號的時域波形如圖1所示。將高斯白噪聲信號加入s（t）得到信噪比為-2 dB的仿真信號x（t），其時域波形如圖2所示。

圖1 外圈故障仿真信號s（t）Fig.1 Outer ring fault simulated signals s（t）

圖2 信噪比為-2 dB的外圈故障仿真信號x（t）Fig.2 Outer ring fault simulated signal x（t）with-2 dB SNR

從圖中可以看出，s（t）中存在明顯的沖擊信號衰減的特征以及沖擊間隔（0.01 s），對應的沖擊特征頻率為100 Hz；而x（t）中的時域沖擊信號完全被淹沒在噪聲信號中，僅從時域特征完全無法區分沖擊特征時間間隔。直接對x（t）進行廣義S變換（k=1，p=0.9），得到的時頻譜如圖3所示。

圖3 信號x（t）的廣義S變換時頻譜Fig.3 The generalized S transform time-frequency spectrum of signal x（t）

由于沖擊特征完全被淹沒在噪聲中，從廣義S變換時頻譜中仍然不能看出明顯的沖擊特征以及沖擊間隔。對x（t）進一步處理，得到x（t）的廣義S變換時頻譜的奇異值及其差分譜，如圖4所示。

圖4 信號x（t）廣義S變換時頻譜的奇異值及其差分譜Fig.4 The singular value of generalized S transform timefrequ ency spectrum and difference spectrum with signal x（t）

從圖中可以看出：奇異值隨序號的增加逐漸減小，奇異值差分譜峰值群的最后一個峰值點對應的序號為11，取σ11為奇異值閾值進行SVD降噪，得到x（t）廣義S變換時頻譜SVD降噪后的時頻譜如圖5所示。從圖中可以明顯看出時頻譜上的沖擊特征以及沖擊特征發生的時間點，恰好與理論值相符，且幾乎不存在噪聲信號，去噪效果很好。

圖5 信號x（t）廣義S變換時頻譜SVD降噪后的時頻譜Fig.5 The time-frequency spectrum with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

對圖5的時頻譜進行廣義S逆變換，結果如圖6所示。從圖中可以看出明顯的時域沖擊信號特征，沖擊信號發生的時間點也與理論仿真信號相符，沖擊間隔為0.01 s，噪聲得到了非常好的抑制，沖擊特征提取優異。仿真研究表明：基于廣義S變換SVD降噪的沖擊特征提取方法能很好地提取出故障信號的沖擊特征，抑制強背景噪聲。

圖6 信號x（t）廣義S變換時頻譜SVD降噪后的信號Fig.6 The signal with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

4 實際應用

為進一步驗證該方法在滾動軸承故障沖擊特征提取方面的有效性，并將其應用于實際的滾動軸承故障特征提取中。采用試驗臺數據進行分析［11］，利用電火花加工技術在支承電動機傳動軸端的SKF 6205深溝球軸承內圈上設置單點故障。電動機轉速為1 790 r/min，采用加速度傳感器采集振動信號，采樣頻率fs=12 kHz，軸承內圈故障特征頻率為158 Hz，對應的沖擊間隔為0.006 s。

內圈故障振動信號的時域圖及其廣義S變換時頻譜（k=1，p=1.1）如圖7所示。從時域圖中可以看出，內圈故障振動信號的沖擊特征并不明顯，沖擊間隔難以確定；時頻譜中的噪聲比較強，時頻分辨率受噪聲影響較大，時頻分辨率低。

圖7 內圈故障振動信號的時域圖及其廣義S變換時頻譜Fig.7 Time domainwaveform of and generalized S transform time-frequency spectrum of inner ring fault signal

內圈故障振動信號的廣義S變換時頻譜奇異值及其差分譜如圖8所示。從圖中可以看出，奇異值隨坐標序號增加而減小，峰值群的最后一個峰值點對應的坐標序號為22，因此取σ22為奇異值閾值。

圖8 內圈故障振動信號廣義S變換時頻譜的奇異值及其差分譜Fig.8 The singular value of generalized S transform timefrequency spectrum and difference spectrum with inner ring fault signal

內圈故障信號的廣義S變換時頻譜SVD降噪后的時頻譜如圖9所示，從圖中可以看出噪聲得到了很好的抑制，沖擊特征明顯。對其進行逆變換得到的時域圖如圖10所示，從圖中可以看出Δt=0.006 s，很好的抑制了噪聲信號，并突出表現出了沖擊特征，沖擊間隔恰好與理論的0.006 s相符合，說明該方法對于提取滾動軸承故障沖擊特征非常的有效，抑制噪聲能力強。

圖9 故障信號廣義S變換時頻譜SVD降噪后的時頻譜Fig.9 The time-frequency spectrum with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

圖10 故障信號廣義S變換時頻譜SVD降噪后的信號Fig.10 The signal with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

5 結束語

廣義S變換是一種時頻分辨率高，時頻譜能量集中，適合分析非平穩沖擊信號的自適應時頻分析方法。將該方法的時頻譜系數矩陣作為SVD的Hankel矩陣，以奇異值差分譜峰值群最后一個峰值點對應的奇異值作為置零閾值，可利用廣義S逆變換無損還原時域沖擊信號。雖然沖擊波形不可避免地會出現一定的變形與失真，但沖擊特征得到了最大的保留，噪聲也得到了最大的抑制，可通過沖擊間隔獲得滾動軸承故障特征頻率，并有效應用于提取滾動軸承的微弱故障沖擊特征。