整錨段接觸網(wǎng)吊弦長度的三維穩(wěn)態(tài)模型

李逢源，韓建民，許建國，楊智勇

(1.北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京　100044；2.中國中鐵電氣化局集團有限公司，北京　100036)

?

整錨段接觸網(wǎng)吊弦長度的三維穩(wěn)態(tài)模型

李逢源1，韓建民1，許建國2，楊智勇1

(1.北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京100044；2.中國中鐵電氣化局集團有限公司，北京100036)

摘要：為了減少吊弦長度計算誤差、嚴格控制導高、改善受流質(zhì)量，提出一種用于整體吊弦精確計算的三維穩(wěn)態(tài)模型?；诙S精確索單元，將X-Y，X-Z兩計算平面耦合，得到三維索單元?；谟邢拊碚?，采用三維索單元離散接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)；根據(jù)接觸網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)關(guān)系組裝剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測量信息和設(shè)計參數(shù)等組建邊界條件；建立并使用迭代法求解整體的非線性平衡方程；根據(jù)求解結(jié)果建立接觸網(wǎng)三維圖形并輸出整體吊弦長度。將計算的整體吊弦長度與現(xiàn)場數(shù)據(jù)對比，中間柱計算誤差小于2.0‰，轉(zhuǎn)換柱計算誤差小于3.5‰，驗證本三維模型和構(gòu)建方法的有效性。

關(guān)鍵詞：電氣化鐵路；接觸網(wǎng)；三維索單元；索網(wǎng)找形；吊弦長度

高速鐵路對弓網(wǎng)受流質(zhì)量提出更高的要求，意味著接觸網(wǎng)系統(tǒng)中接觸網(wǎng)懸掛安裝精度要求也更為嚴格[1]。整體吊弦的精確計算是保證安裝精度的基礎(chǔ)，也是高速鐵路接觸網(wǎng)結(jié)構(gòu)預制計算和弓網(wǎng)關(guān)系的核心技術(shù)之一。整體吊弦的作用是連接具有空間馳度特征的承力索、彈性吊索和具有“之”字形走向的接觸線，其精確計算具有空間復雜性和參數(shù)多樣性。整體吊弦的計算方法有載荷均布法、力矩平衡法、負馳度法和索網(wǎng)找形法[2]。

(1)載荷均布法以兩懸掛點之間的懸索為計算區(qū)間，由承力索承載負重，利用幾何關(guān)系求解吊弦長度；

(2)力矩平衡法以兩懸掛點之間的懸索為計算區(qū)間，利用系統(tǒng)內(nèi)部任一點合力矩為零求解吊弦長度[3]；

(3)負馳度法是以整錨段的懸索為計算區(qū)間，簡化計算至二維垂直面，將負載和懸掛力以馳度形式疊加在初始馳度上，由各懸掛點導高構(gòu)成的最終馳度反推吊弦長度[4]；

(4)索網(wǎng)找形法是以整錨段的懸索為計算區(qū)間，構(gòu)建有限元單元矩陣，通過不斷迭代更新未知量的值，最終滿足預設(shè)平衡條件[5-6]。

索網(wǎng)找形法是目前吊弦精確計算的主要研究方法，該方法在重載懸索橋的結(jié)構(gòu)分析[7]上被提出，并被引入吊弦計算領(lǐng)域。國內(nèi)外有很多研究學者在吊弦二維平面計算領(lǐng)域取得了較好的進展，但實際應用時，線路曲線和線路縱坡對結(jié)果影響很大；有些先進學者也嘗試開展三維空間吊弦計算[8-9]，但基本單元參數(shù)眾多，過程迭代較為繁瑣。

本文是屬于索網(wǎng)找形法范疇內(nèi)的吊弦長度精確計算方法，根據(jù)預設(shè)參數(shù)(如吊弦分布、彈性吊弦布置、集中載荷布置等)構(gòu)建接觸網(wǎng)幾何拓撲關(guān)系，利用有限元單元法對整錨段接觸網(wǎng)懸掛系統(tǒng)進行離散，采用空間拋物線單元建立整體剛度矩陣，以地理信息(如線路曲線、線路縱坡等)和測量信息(如支柱斜率、跨長、腕臂高度等)為約束條件，構(gòu)建結(jié)構(gòu)平衡方程；運用非線性有限元中的迭代求解方法，求解并建立整體接觸網(wǎng)的三維穩(wěn)態(tài)模型。用三維單元迭代求解，克服地理信息對計算結(jié)果的影響；用拋物線單元迭代求解，也可獲得較高的計算精度。采用算例計算吊弦長度，并與現(xiàn)場數(shù)據(jù)對比，驗證本方法的收斂性和準確性。基于高精度的接觸網(wǎng)物理模型，可進一步開展整體吊弦精確安裝[10]，接觸網(wǎng)風致舞動影響[11]和設(shè)計風速精確計算[12]等的深入研究。

1懸索結(jié)構(gòu)三維找形的基本單元

接觸網(wǎng)系統(tǒng)中包含接觸線、承力索、彈性吊索和吊弦等懸索和線夾、定位器、電連接等附加重力，其物理模型分別如下。

(1)懸掛線索具有張力和跨距等特征參數(shù)，故承力索、接觸線和彈性吊索采用索單元模型，吊弦屬于柔性線索且整體處于線性狀態(tài)，其剛度對整體吊弦計算結(jié)果的影響和其自重對自身線性狀態(tài)的影響都幾乎可以忽略不計，故吊弦按與坐標增量相關(guān)的附加載荷模型處理。

(2)附加重力具有位置和總重等特征參數(shù)，故線夾和電連接等采用集中載荷模型，分布在索單元結(jié)點上，其中線夾可視為距離特殊的附加載荷；復合絕緣子和分相絕緣子等采用局部載荷模型，均布在單元上。

圖1為一跨接觸網(wǎng)懸掛的示意圖。接觸線和承力索張力分別為Tj、Tc，結(jié)構(gòu)高度為SH，整垮長度Li，在X方向上的劃分的間距有l(wèi)1，l2，…，li，…，ln。

(左為彈性鏈型懸掛，右為簡單鏈型懸掛，黑色三角為腕臂“固定”點，空心圓為吊弦懸掛點)圖1　一跨接觸網(wǎng)的示意

(1)

使用分解和高斯消元法求解平衡方程得初解后，運用牛頓迭代快速非線性平衡方程的精確解，即可得到接觸網(wǎng)吊弦的精確長度。本節(jié)對拋物線索單元進行三維推導和Matlab編程。

1.1索單元的二維模型

一般地，索單元有如下假設(shè)：

(1)懸索是理想柔性體，不承受彎矩和扭矩；

(2)懸索材料遵守胡克定律；

(3)懸索的載荷方向在索曲線所屬的平面內(nèi)。

索單元的假設(shè)條件構(gòu)建了一類傳遞索間張力的單元模型，其基本思想是懸索的張力和外部載荷的疊加與懸索形成的結(jié)構(gòu)形狀一一對應。典型的單載荷的索單元示意見圖2[13]。

整體是二維平面內(nèi)1、2兩點之間的一段懸索，L是懸索在X方向的長度；x1、x2、z1、z2分別是懸索在X軸、Z軸上的坐標；Fx1、Fx2、Fz1、Fz2分別是懸索在X軸、Z軸上的端點分力；qz是懸索在X方向的載荷。端點分力和載荷均以坐標軸同向為正方向。

根據(jù)垂向載荷qz是否沿索長分布將問題劃分成線性和非線性兩類，見表1。

圖2　典型的單載荷索單元

問題性質(zhì)qz單元類型特征線性q0拋物線載荷沿坐標軸X方向均布非線性q01+(z')2懸鏈線載荷沿索長S方向均布

兩種單元都是常用的線性精確索單元，拋物線單元和懸鏈線單元的載荷分別沿坐標軸X方向和索長S方向均布[14]。

考慮到在高速列車行進方向上，導高變化浮動很小，即可認為接觸線單元的z′≈0；在單元長度L較小時，承力索單元和彈性吊索單元在Z軸方向的浮動較大，不可近似視為z′≈0，故采用拋物線單元和懸鏈線單元作為基本單元。

拋物線單元形函數(shù)為

(2)

式中，1、2泛指所描述單元的兩結(jié)點，下同。

(3-1)

(3-2)

式中，q0表示垂向載荷；T0表示索單元截面拉力的水平分量，下同。

懸鏈線單元形函數(shù)為

(4-1)

(4-2)

兩端結(jié)點力大小分別為

(5)

兩種索單元剛度矩陣與X、Z方向相關(guān)，但輸出的端點力僅與Z方向相關(guān)，其可視為將平面內(nèi)的二維問題降為一維問題。在僅存在垂向載荷的條件下，結(jié)點力的水平分力大小等于懸索張力，結(jié)點力的垂直分力大小為單元輸出值，其精確程度與單元加密程度相關(guān)。

1.2索單元的三維擴展

本文提到的2種二維索單元是針對同一平面內(nèi)的懸索進行計算的，其模型具有局限性。

(1)結(jié)構(gòu)拓撲局限：當懸掛類型為直鏈型懸掛時，可通過變換矩陣坐標保證整體吊弦計算精度，但當懸掛類型為半斜鏈型懸掛和斜鏈型懸掛時，由于各線索不在同一鉛垂面內(nèi)，只能做投影近似計算。

(2)邊界條件局限：當計算區(qū)間位于曲線線路和曲線縱坡時，由于地理位置造成垂直計算平面的邊界條件，只能忽略或近似處理。

在實際線路的吊弦計算中，采用二維索單元解得的整體吊弦長度精度較低，尤其距第一吊弦越近的吊弦長度，其計算誤差越大。參考矢量合力和矢量位移在三維坐標軸方向的分解法則，提出用與水平面與鉛垂面耦合求解的方法構(gòu)建三維索單元，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的主載荷沿重力方向，故Y向恒采用拋物線單元進行構(gòu)建，其整體構(gòu)建思路如下。

(1)在每個計算點建立相對坐標系。以兩軌頂連線中點在低軌軌頂平面的投影為相對坐標系的原點，軌道切線的前進方向為X軸，重力方向為Z軸，Y軸方向由慣性系右手定則得出。接觸網(wǎng)系統(tǒng)在列車行進的方向S上規(guī)律排布，最小重復單元為跨，見圖3。

圖3　一跨接觸網(wǎng)的三維示意及懸掛點合力分解

(2)在相對坐標系下建立三維索單元。根據(jù)接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)模型邊界條件qx=0、qy=0、qz=q0和矢量力的分解法則，則有

(6-1)

(6-2)

其中，T0表示由于墜砣自重產(chǎn)生的懸索張力大?。粁表示單元長度在x軸的投影，Δy和Δz含義類同；i表示X軸或Y軸或Z軸方向；FTi表示矢量張力T在i軸的分量。

以式(6)為組建方程，將二維拋物線單元按X-Y，X-Z兩方向合成并構(gòu)建三維索單元，基于式(3)有

(7-1)

其中單元剛度矩陣

(7-2)

同樣的，將二維懸鏈線單元按X-Y，X-Z兩方向合成并構(gòu)建三維索單元， 基于式(5)有

(8)

其中單元剛度矩陣

(9)

2接觸網(wǎng)系統(tǒng)的有限元單元法

2.1整錨段接觸網(wǎng)系統(tǒng)的離散和集成

接觸網(wǎng)系統(tǒng)由承力索組和接觸線組兩部分構(gòu)成，承力索組包括承力索及其附屬線夾、彈性吊弦及其附屬線夾、吊弦和附加重力，接觸線組包括接觸線及其附屬線夾、定位器和附加重力。兩者采用統(tǒng)一的單元劃分和命名法則：懸掛點、接觸點和集中載荷點必是單元結(jié)點；單元的X向長度不超過0.5 m。

接觸網(wǎng)系統(tǒng)的各組成部分構(gòu)建方法如下。

(1)接觸線、承力索和彈性吊索：接觸線、承力索和彈性吊索在求解初值時采用拋物線單元，在迭代求解精確解時采用懸鏈線單元，按已劃分好的單元大小構(gòu)建整體剛度矩陣，其中單元結(jié)點位于懸索截面的幾何中心。

特別的，在不同懸索類型的集成過程中，存在因?qū)嶋H安裝或設(shè)計需要等因素而造成相鄰索單元結(jié)點不共點的情況，如圖4所示，其中計算點的偏移距離為Lc。

圖4　承力索和彈性吊弦連接線夾截面示意

圖4所示主要影響懸索張力沿重力方向分解的大小，采用的有限元單元尺寸越小，計算中心不共點情況引起的偏差越大，整體計算精準性越差。故彈性吊索的結(jié)點力可修正為

(10)

其中，knn和kmm分別是剛度矩陣中第n和第m單元結(jié)點對應的主對角線上的值。

(2)吊弦：其屬于柔性線索且吊弦整體處于線性狀態(tài)，構(gòu)成線性迭代的增量，吊弦重力表達式

(11)

采用簡單迭代法進行公式變換，收斂速度為線性

(12)

即

(13)

其中增量

(14)

式(9)～式(11)中，下角標為“c”“j”“t”和“d”分別表示“承力索”“接觸線”“彈性吊索”和“吊弦”，右上角標“(e)”表示第e次迭代，字符上方的“～”表示迭代過程中的已知值，下同。

(3)附加重力：分為兩類，一類屬于均布載荷，直接疊加在懸索的米重q0。特別的，懸索采用拋物線單元時，需疊加線索本身重力；一類是屬于集中載荷，按力矩平衡原理進行分解疊加

(15)

式中，L=l1+l2。

(4)集成平衡方程：按圖1所示的拓撲結(jié)構(gòu)，將離散的單元集成式(1)所示平衡方程。

2.2整錨段接觸網(wǎng)系統(tǒng)的迭代算法

平衡方程式(1)可寫成

(16)

(17)

(18)

式(18)是平衡方程的迭代關(guān)系式，以二階平方速度收斂，解決了式(16)無法直接求解的問題。接觸網(wǎng)系統(tǒng)實際計算時，拋物線單元是建立在吊弦重力基礎(chǔ)上，從直角邊米重逐漸加大向斜邊米重直到收斂的迭代方式；懸鏈線單元是建立在拋物線初解基礎(chǔ)上，從載荷沿X軸方向逐漸加大至沿懸索S方向直到收斂的迭代方式。兩次迭代均有現(xiàn)實物理意義，是一個單調(diào)穩(wěn)定收斂的過程，其求解流程見圖5。

圖5　平衡方程求解流程

3吊弦計算和方法驗證

3.1吊弦計算的參數(shù)條件

在接觸網(wǎng)勘察設(shè)計中，設(shè)計人員致力于降低接觸線沿行車方向垂直跳動，從而降低或避免受電弓與接觸線之間的離線燒蝕。顯然，接觸線的垂直跳動和同軸度與吊弦長度是否合適直接相關(guān)。

在接觸網(wǎng)的初始穩(wěn)態(tài)條件下，使用所述方法計算各個吊弦的長度，并與現(xiàn)場數(shù)據(jù)作比較，以吊弦長度為依據(jù)驗證本方法的準確性和接觸網(wǎng)模型的有效性。表2給出了接觸網(wǎng)的物理參數(shù)，表3、表4分別給出了計算區(qū)間所述的線路曲線和線路縱坡。表中涉及豎曲線采用的是拋物線，不涉及連續(xù)短坡豎曲線；涉及的緩和曲線采用的是鐵路常見的三次螺旋曲線[15]

(19)

式中，R為曲線半徑；l0為緩和曲線長。

表2　吊弦整體計算的參數(shù)值

注：l1、n和CWH分別指第一吊弦間距、吊弦數(shù)和導高，下同。

表3　接觸網(wǎng)計算區(qū)間所屬的線路曲線

表4　接觸網(wǎng)計算區(qū)間所屬的線路縱坡

3.2吊弦長度的精度驗證

計算區(qū)間為K282+222～K283+627，根據(jù)各表數(shù)據(jù)和現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)展開整體吊弦計算，根據(jù)迭代計算結(jié)果繪制的立面如圖6所示。以左側(cè)0 m數(shù)據(jù)為起點的曲線為線路縱坡曲線，以5.9 m數(shù)據(jù)為起點的曲線為接觸線，以7.5 m數(shù)據(jù)為起點的多峰曲線為承力索。

圖6　接觸線計算系統(tǒng)圖像輸出(立面)

中間柱和轉(zhuǎn)換柱為兩類錨柱，分別進行橫向差異比較。中間柱、轉(zhuǎn)換柱附近的吊弦計算結(jié)果對比分別見表5、表6。表中的現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)滿足《客運專線鐵路電力牽引供電工程施工技術(shù)指南》的要求。其中，中間柱的計算最大誤差小于2.0‰，轉(zhuǎn)換柱最大誤差小于3.5‰。

表5　本方法計算的中間柱附近的吊弦長度與現(xiàn)場長度對比

注：差別=(本方法計算長度-現(xiàn)場長度)/現(xiàn)場長度，下同。

表6　本方法計算的轉(zhuǎn)換柱附近的吊弦長度與現(xiàn)場長度對比

4結(jié)論

(1)以三維索單元為基礎(chǔ)，依據(jù)接觸網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)建立剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測量信息、設(shè)計信息等作為邊界條件，利用迭代關(guān)系求解平衡方程，進而獲得每個計算點的受力大小和位置。

(2)計算的吊弦長度與現(xiàn)場長度結(jié)果相近，尤其是中間柱計算結(jié)果，證明本方法有效且具有一定的工程價值。

(3)本方法為二階平方收斂，其構(gòu)造思路和探究方法可為后續(xù)分析接觸網(wǎng)和受電弓相互作用等研究提供參考。

本文介紹了一種基于三維索單元的電氣化鐵路接觸網(wǎng)有限元找形方法，其思路是根據(jù)接觸網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)建立剛度矩陣，根據(jù)地理信息、測量信息、設(shè)計信息等作為邊界條件，利用迭代關(guān)系求解平衡方程，進而獲得每個計算點的受力大小和位置的方法。其計算的吊弦長度與現(xiàn)場長度結(jié)果相近，尤其是中間柱計算結(jié)果，證明本方法有效且具有一定的工程價值。本方法為二階平方收斂，其構(gòu)造思路和探究方法可為后續(xù)分析接觸網(wǎng)和受電弓相互作用等研究提供參考。

參考文獻：

[1]鄧長安.全補償簡單直鏈型懸掛接觸網(wǎng)整體吊弦的精確安裝研究[J].鐵道標準設(shè)計，2013(2)：101-104.

[2]董韶德，李嵐.接觸網(wǎng)工程與設(shè)計[M].北京：科學出版社，2014：366-369.

[3]趙紅玉，梅桂明，范海江.柔性接觸網(wǎng)吊弦長度精確計算[J].鐵道標準設(shè)計，2011(5)：108-110.

[4]Sugimoto S， Takagi S， Fujita T. A generalized catenary curve and simplifying construction tasks for incoming wires at transformer stations[J].Transmission and Distribution Conference and Exposition， 2001(1)：373-378.

[5]劉大勇，吳積欽.基于索網(wǎng)找形的吊弦長度計算方法探討[J].電氣化鐵道，2008(4)：31-33.

[6]方巖，高仕斌.高速接觸網(wǎng)整體吊弦預配[J].西南交通大學學報，2010(5)：763-767.

[7]Jung Myung-Rag， Min Dong-Ju， Kim Moon-Young. Nonlinear analysis methods based on the unstrained element length for determining initial shaping of suspension bridges under dead loads[J]. Computers & Structures， 2013(128)：272-285.

[8]侯運昌，劉志剛，等.基于索、桿組合結(jié)構(gòu)的電氣化鐵路接觸網(wǎng)三維靜態(tài)模型[J].鐵道學報，2014(7)：24-29.

[9]關(guān)金發(fā).預馳度接觸網(wǎng)三維靜態(tài)形狀計算[J].鐵道標準設(shè)計，2013(10)：116-120.

[10]鄧長安.全補償簡單直鏈型懸掛接觸網(wǎng)整體吊弦的精確安裝研究[J].鐵道標準設(shè)計，2013(2)：101-104.

[11]張昊，謝強.電氣化鐵路接觸網(wǎng)風致舞動研究現(xiàn)狀與進展[J].鐵道標準設(shè)計，2015(9)：145-148.

[12]劉改紅.風區(qū)擋風墻/屏影響下接觸網(wǎng)設(shè)計風速計算研究[J].鐵道標準設(shè)計，2013(9)：90-93.

[13]劉大勇.基于索網(wǎng)找形的接觸網(wǎng)吊弦長度計算方法研究[D].成都：西南交通大學，2009.

[14]程大業(yè).懸索結(jié)構(gòu)分析的精確單元方法[D].北京：清華大學，2005.

[15]吳耀庭.鐵路曲線及其養(yǎng)護[M].北京：中國鐵道出版社，2007：33-42.

收稿日期：2015-11-06； 修回日期：2015-11-18

基金項目：中國鐵路總公司科技開發(fā)計劃(2014J013-A)

作者簡介：李逢源(1991—)，男，碩士研究生，主要從事軌道材料和電氣化鐵路研究工作，E-mail：13121302@bjtu.edu.cn。

文章編號：1004-2954(2016)07-0134-06

中圖分類號：U225.1

文獻標識碼：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.07.031

Modeling of 3D-steady State of Catenary Dropper Length Based on Full Anchor Section

LI Feng-yuan1， HAN Jian-min1， XU Jian-guo2， YANG Zhi-yong1

(1.School of Mechanical， Electronic and Control Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;2.CREC Railway electrification bureau Group Co.， Ltd.， Beijing 100036， China)

Abstract：In order to reduce the calculation deviation of dropper length， control the height of contact wire and improve power transmission， a 3D steady state model for the accurate calculation of the integrated dropper length is established. Based on 2D exact cable elements， 3D cable element is obtained with X-Y， X-Z coupled calculation planes. Based on finite element theory， contact network structure is discrete by using 3D cable element. The stiffness matrix is assembled according to the topological structure of the contact network and the boundary conditions are established based on the geographic information， measurement information and design parameters. The iterative method is employed to solve nonlinear equilibrium equations. 3D graphics and output of the integrated dropper length are fulfilled according to the results of the equations. The comparison of the calculated dropper lengths with site measurements show that the calculation errors of the single suspension masts are less than 2.0‰ and those of the transition masts are less than 3.5‰. The results verify the validity of the 3D model and the construction method．

Key words：Electrified railway; Catenary; 3D cable element; Form-finding for cable structure; Dropper length