基于改進Kelvin模型的三維蠕變損傷模型研究

吳祝林　王　偉　朱鵬輝　陳　曦

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，南京　210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所， 南京　210098)

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基于改進Kelvin模型的三維蠕變損傷模型研究

吳祝林1，2王偉1，2朱鵬輝1，2陳曦1，2

(1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，南京210098； 2. 河海大學 巖土工程科學研究所， 南京210098)

摘要：巖石在長時間的蠕變發展中，會呈現出不同的階段性特性，開始表現為衰減蠕變，蠕變速率逐漸減小，緊接著保持穩定的蠕變速率呈現穩定蠕變發展，最后外界應力超過屈服應力導致加速蠕變．常用的元件模型只能有效地模擬衰減和穩定蠕變階段，加速蠕變特性則需要引進非線性特性的元件模型或是損傷理論，本文引進損傷理論和損傷元件，與常用元件組合模型串聯組合，即可模擬出全過程的巖石蠕變特性，通過引進彈塑性損傷元件和Kelvin元件模型，建立了三維改進的Kelvin蠕變損傷模型，并推導了三軸壓縮下巖石的軸向應變方程，用砂巖蠕變試驗數據擬合出模型參數．建立的模型參數較少，易于確定，而且推導的三維模型更能真實的反應巖石在自然界中的應力狀態．

關鍵詞：加速蠕變；損傷理論；彈塑性損傷；軸向應變

巖石流變[1-2]是巖石學科中重要的一塊內容，在理論上它不僅反應了巖石的力學特性，包括變形特性、強度特性等，而且也與巖石工程問題的長期穩定性密切相關．目前國家的許多工程問題都需要研究巖石的流變特性，如隧道工程、邊坡工程等，因此，有效掌握巖石的流變特性，有助于降低工程成本、減少工程事故．現有的流變模型大多數是基于一維的，不能有效地反應巖石自然界中處于三維應力狀態的真實情況，如何構建三維應力狀態的且參數較少的流變模型，正是本文研究的重點．

目前流變模型[3-4]大致是基于經驗模型、元件模型、損傷理論構建的[5-8]．然而這些模型大多數是只考慮一維情況的，自然界中的巖體基本處于三維應力下，因此有必要將一維蠕變方程推導成三維，探討三維的蠕變模式，且這些模型能夠描述加速蠕變階段的也不多．在前人對加入蠕變階段的研究中，較多的是先引進非定常參數，進而建立蠕變模型．范慶忠[9]在元件組合模型中用非線性損傷變量代替了Burgers中的線性部分，且有效地模擬了軟巖的三階段蠕變特征，且繼續在文獻[10]中采用了損傷和硬化的兩種機制來描述非線性損傷部分，模擬的試驗曲線有效驗證了模型的合理性；陳衛忠[11]建立的非線性蠕變方程是考慮了粘滯系數的影響，且將推導的蠕變速率與試驗蠕變速率對比分析，表明鹽巖非線性蠕變模型的有效性．朱昌星[12]以錦屏二級水電站為例，考慮時效損傷和加速門檻值的特征，建立了包含加速蠕變在內的三階段蠕變損傷方程．張強勇[13]則將巖石蠕變方程中的參數看做是非定常的，且參數隨著蠕變時間而弱化，也有效的建立了蠕變方程，并繼續推導了三維差分形式．然而，這些建立的蠕變模型大多數都是基于一維情況，缺少三維模型的形式，且模型參數較復雜，自然界中的應力更是處于三維應力狀態下，因此有必要在簡單模型參數的情況下繼續推導出三維蠕變模型形式．本文在簡單的Kelvin本構模型中引入彈塑性損傷體來描述加速階段特性，并將整個模型推導成三維形式，通過砂巖蠕變試驗數據擬合求出參數，參數少，易于擬合，這是簡單蠕變模型的一個優點，最后，用試驗數據蠕變曲線對比分析模型理論曲線，吻合度較好，表明推導的三維模型較為合理．

1流變本構模型的建立

1.1改進的Kelvin一維本構模型

引進曹文貴[14]對巖石蠕變過程的研究，將巖石蠕變方程看作是線性階段和加速階段的組合，其中，用彈塑性損傷體來描述模型中的加速階段，線性階段則用基本流變元件Kelvin元件模擬，由此組合的巖石蠕變模型既能描述線性階段，當外界應力超過巖石屈服應力時，又能描述加速階段．串聯組合的巖石蠕變模型如圖1所示，彈塑性損傷體用來模擬加速蠕變階段，Kelvin元件模型則有效模擬減速蠕變階段，當外界應力小于屈服應力σs時，只產生Kelvin體應變εve，當外界應力超過巖石屈服應力σs時，損傷體起作用，產生加速蠕變，即巖石總應變ε為彈塑性損傷體應變εep和Kelvin體應變εve的疊加．

圖1　巖石蠕變模型

Kelvin體的粘彈性應變 如下式[15]：

(1)

彈塑性損傷體本構模型如下式[14]：

(2)

由式(1)、(2)可得巖石一維狀態下的全過程蠕變方程：

(3)

引入開關函數〈σ0〉，并令：

(4)

(5)

由上式可知該蠕變模型方程有如下特點：

1)如果巖石出現加速蠕變階段，即σ0≥σs及〈σ0〉=1，則當t→tF，ε→∞且dε/dt→∞，顯然，該模型能反應巖石加速蠕變階段特征．

2)如果巖石不出現加速蠕變階段即σ0<σs及〈σ0〉=0，上式可寫成：

(6)

可見，該蠕變模型能夠反映初期蠕變特征

1.2三維本構模型推導

改進的Kelvin模型三維應力示意圖如圖2所示．圖中，GM為彈塑性損傷體的剪切模量，GK為Kelvin體的剪切模量，HK為Kelvin體的粘滯系數，sij為偏應力張量，相應的偏應變張量為eij，通過下式計算：

（1）這樣在其中一組數前加負號，則兩組數的和為0。這樣的問題可歸納為找到幾個和為18的數。（2）找到了一組和為18的數，則余下的數和必為18，這兩數具有對偶性，在任一組數前加負號，它們的和都為0。（3）在8個數中，添加負號的數至少為3個，至多為5個，（因為8+7+3=18,1+2+3+4+8=18），循著規律去分析，大家終于得出這一問題的所有答案。

圖2　改進Kelvin模型三維示意圖

(7)

(8)

由Kelvin體可求得其偏應變方程：

(9)

彈塑性損傷體在未受損(即偏應力小于屈服偏應力s1-s3

(10)

聯立式(8)～(10)可得建立的三維模型蠕變方程：

(11)

對于損傷變量D，引進文[14]對損傷變量的定義，即：

(12)

式中，tF為巖石從開始蠕變到蠕變破壞的總時間．代入式(11)得：

(13)

此即為改進Kelvin模型的三維蠕變方程．

當試樣處于三軸壓縮時，其應力狀態特征為

(14)

其軸向應變可表示為

(15)

不考慮塑性體積應變和和體積流變應變，即εvp=εvc=0，則式(15)變為

(16)

在巖石三軸壓縮試驗過程中，先施加圍壓，再讀取產生的應變，因此相應產生的應變為

(17)

由上幾式可推導得到試樣三軸壓縮狀態下的軸向應變ε為

ε=

(18)

2模型參數的確定

由建立的模型可知，該模型共有GM、GK、HK、tF、α 5個參數，其中tF為巖石蠕變壽命，可根據蠕變試驗曲線巖石的破壞時間來確定，另4個參數可根據試驗曲線擬合得到，參數較少，易于擬合．

引進王偉[16]的砂巖在3MPa圍壓條件下的蠕變試驗曲線，如圖3所示．由試驗曲線可知，砂巖的蠕變過程經由試驗曲線可知，砂巖的蠕變過程歷了初始蠕變階段、穩定蠕變階段和加速蠕變階段，在圍壓3MPa條件下，100MPa應力作用下，出現了瞬時彈性變形，150MPa應力作用下，由于超過了砂巖的屈服應力，因此出現了加速蠕變階段，直至砂巖損傷破壞．

圖3　圍壓3 MPa條件下砂巖蠕變試驗曲線

本文基于一維蠕變方程的基礎上，推導出三維蠕變方程，通過引入蠕變試驗數據[16]，擬合蠕變方程，求出各級應力狀態下的三維模型參數，見表1，并將試驗曲線與三維模型理論曲線對比分析，兩者吻合完好，如圖4所示．從圖4可以看出，該蠕變模型不僅能很好模擬前期的初始蠕變和等速蠕變階段特征，而且還能很好的描述當外界應力超過屈服應力的加速蠕變階段特征．由此可以驗證本文改進三維蠕變模型的合理性．由于在此基礎上擬合求出的模型參數是針對砂巖在3MPa圍壓下得出來的結果，對于其他巖樣或是不同圍壓作用下該模型的有效性如何，還需做進一步的試驗研究．

圖4　圍壓3 MPa條件下三維蠕變模型理論曲線與試驗曲線對比

σ1-σ3/MPaGM/GPaGK/GPaHK/GPa·hK/GPaα10014.06138.4847015.84-12056.9218.696835.28-13014.6575.08230025.89-14024.7229.3846055.28-15071615.322.574.900.35

3結論

本文在前人研究的基礎上，引入彈塑性損傷體描述加速蠕變階段，與描述線性階段的Kelvin體組合，在一維的基礎上推導出三維模型．得到以下結論：

1)Kelvin體能有效的模擬巖石線性階段過程，對于非線性階段，通過引入損傷變量，構建損傷演化方程．將引進的彈塑性損傷體與Kelvin體串聯組合，有效的模擬了在各級應力作用下巖石的全過程蠕變過程，即從較小的初始應力下的初始蠕變和穩定蠕變階段，到應力等級逐漸增大而產生的加速蠕變階段．

2)大多數蠕變方程都是基于一維的，本文在一維的基礎上推導出三維蠕變方程，建立了反映蠕變損傷的三維蠕變本構方程，該三維蠕變本構形式簡單，參數易于確定，更適宜推廣．

3)通過對砂巖三軸壓縮蠕變試驗曲線的模擬，擬合出各級應力狀態下的模型參數，包括其中的加速蠕變階段，對比分析理論曲線與試驗曲線的吻合度，可表明建立的三維蠕變方程不僅能反應初始蠕變階段和穩定蠕變階段，更能有效的反應加速蠕變階段，從而驗證了本文三維蠕變損傷模型的合理與有效性．

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[責任編輯周文凱]

收稿日期：2016-01-08

基金項目：國家重點基礎研究發展973項目(2011CB013504)；留學回國人員科研啟動基金(51103312)

通信作者：吳祝林(1990-)，男，碩士，從事巖石力學與工程方面研究．E-mail：1206725293@qq.com

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.02.007

中圖分類號：TU45

文獻標識碼：A

文章編號：1672-948X(2016)02-0029-04

Research on Three-dimensional Creep Damage Model Based on Improved Kelvin Model

Wu Zhulin1,2Wang Wei1,2Zhu Penghui1,2Chen Xi1,2

(1. Key Laboratory of Ministry of Education for Geotechnic & Embankment Engineering , Hohai Univ., Nanjing 210098, China; 2. Geotechnical Research Institute, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

AbstractRock creep will present different phased characteristics in the long time creep developing; it begins to show the attenuation creep, creep rate decreasing, and then keeps steady creep development in a stable creep rate; finally it evolves to accelerated creep after the external stress exceeding yield stress. Common component model can only effectively simulate the attenuation and stable creep stage; accelerated creep properties require the component model or damage theory to simulate the nonlinear characteristics. This paper introduces the damage theory and damage elements, combined with commonly used components in series to simulate the whole process of rock creep property. Meanwhile by introducing elastopalstic damage components and Kelvin components model, a three-dimensional modified Kelvin creep damage model is established; and a rock equation of axial strain under triaxial compression is deduced; and fitting model parameters with creep experimental data of sandstone. The established model's parameters is less and easy to determine; and the derived three-dimensional model can better reflect the rock stress state in nature.

Keywordsaccelerated creep；damage theory；elastoplastic damage；axial strain