反例在與周期函數相關論斷中的應用

◇　新疆　杜學忠

?

反例在與周期函數相關論斷中的應用

◇新疆杜學忠

函數的周期性是函數的初等性質,在數學中周期函數有它特殊的用途．然而,對周期函數的學習,并沒有專題的、深入的章節專門研究,使得很多與周期函數相關的論斷讓讀者容易混淆.本文將列舉一系列與周期函數相關的論斷,并給出相應的反例,予以澄清．

定義函數f(x)定義在數集A上．若?T>0,?x∈A,有x±T∈A,且 f(x±T)=f(x),則稱函數f(x)是周期函數,T稱為函數f(x)的一個周期．若函數f(x)有最小的正周期,通常將這個最小正周期稱為函數f(x)的基本周期,或稱最小正周期．

問題1還有周期函數沒有最小正周期的嗎?

回答是肯定的,如常值函數y=c,c為常數;任何正實數都是它的周期,但沒有最小正實數,所以它沒有最小正周期.又如定義在整個數軸上處處不連續的Dirichelet函數

任一有理數r>0均是它的周期,但沒有最小正有理數,所以它沒有最小正周期．

問題2如何求2個周期函數的和函數的最小正周期?

對于這個問題,我們一般的做法:設函數f(x)的周期是T1,函數g(x)的周期是T2,則f(x)+g(x)的周期是T1與T2的最小公倍數．

于是,它的最小正周期是20π．

這個做法,看起來是沒有問題的,但仔細一看,存在下列3個方面的問題:

1) 周期不一定是整數.

最小公倍數是2個整數的正公倍數中的最小者,而函數的周期不一定是整數,所以談不上公倍數．

2) 這種方法本身就是錯誤的．

|sin(x±T)|+|cos(x±T)|=|sinx|+|cosx|,

|sin(x±T)cos(x±T)|=|sinxcosx|.

|cosx|+|sinx|=|sinx|+|cosx|．

圖1

圖2

圖3

由圖可知f(x)、g(x)的最小正周期都是2,但f(x)+g(x)的最小正周期卻為1,很顯然1不是2的最小公倍數,所以上述作法顯然不對．

這個例子還可以推廣,比如在圖3中,每隔5拱,拿1拱,可構造出2個周期為6的周期函數,以此類推,我們可以構造2個周期為2、3、4、…的周期函數,但它們的和函數的周期仍為1．若一拱所對應的區間長是數a,則可以構造2個周期為2a、3a、4a、…的周期函數,但它們的和函數的周期仍a．圖形也可以有所變化．

3) 2個周期函數的和不一定是周期函數.

結論若f(x)與g(x)都是定義在D的周期函數,周期分別是T1與T2,且T1/T2=r,r是有理數,則f(x)+g(x)與f(x)g(x)都是D上的周期函數．

函數f(x)與g(x)都是定義在D的周期函數,周期分別是T1與T2,列表反映周期函數和的周期性情況(如表1).

表1　周期函數和函數的周期性情況

從表1可以看出,2個周期函數的和函數是否是周期函數,我們應該去求它們周期的商是否為有理數,若不是有理數,可以判定和函數不是周期函數;若是有理數,我們也不能直接求出它們周期的最小公倍數,就認為是和函數的最小正周期，而應該多方面考慮,如作出和函數的圖象等再得出正確的結論．

總之,關于周期函數的更多討論,讀者可以參考其他文獻資料,本文僅僅討論了常見而又容易混淆的周期函數相關的論斷，目的是為避免犯不應該犯的錯誤．

新疆塔城地區和豐縣第二中學)