測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

物理實(shí)驗(yàn)中物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定是一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)，一般的實(shí)驗(yàn)方法有：三線擺測(cè)量具有某一平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，復(fù)擺一般測(cè)量具有一定的對(duì)稱面的物體，但是對(duì)于任意形狀的物體他們就無(wú)能為力了。用旋轉(zhuǎn)法既能測(cè)量規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，也能測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。本方法的利用液體粘滯系數(shù)及旋轉(zhuǎn)法測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并運(yùn)用作圖法消除系統(tǒng)誤差。

旋轉(zhuǎn)法測(cè)量；粘滯系數(shù)；任意形狀；作圖法消除誤差

引言

物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定是物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)，一般的實(shí)驗(yàn)方法有：三線擺測(cè)量具有某一平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，復(fù)擺一般測(cè)量雖然具有一定的對(duì)稱面的物體，但是對(duì)于任意形狀的物體他們就無(wú)能為力。用旋轉(zhuǎn)法既能測(cè)量規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，也能測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。以下利用液體粘滯系數(shù)及旋轉(zhuǎn)法測(cè)量任意形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并運(yùn)用作圖法消除系統(tǒng)誤差。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖1所示，裝置由旋轉(zhuǎn)圓筒法測(cè)黏性流體的裝置改造而成，主要由高為L(zhǎng)半徑分別為R1、R2的內(nèi)、外圓筒，兩筒間充滿黏度已知的黏性液體。上方為物品托盤(pán)，用來(lái)放置待測(cè)物品，并且有一光電門(mén)，可以用來(lái)進(jìn)行角速度的測(cè)量。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

基本原理如圖2。

圖2 基本原理圖

由牛頓內(nèi)摩擦定律可知：平面層流時(shí)流層間的內(nèi)摩擦力F等于表面積s，粘滯系數(shù)η和速度梯度的乘積，即：

本實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)液體部分（1）產(chǎn)生穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)屬于旋轉(zhuǎn)層流[1]，對(duì)于如圖3所示的高度為L(zhǎng)的筒狀薄層，半徑為r處的表面積s=2πrL，該面所受的內(nèi)摩擦力在柱坐標(biāo)系中沿切線方向，其大小（在旋轉(zhuǎn)層流情形）為：

同時(shí)穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)時(shí)半徑為r的柱面所受的力矩為常數(shù)，設(shè)其值為M1，可得：

利用邊界條件ω|r=R2=ω0和ω|r=R1=0可以得出微分方程的（似）解：

而內(nèi)摩擦力矩M2底部環(huán)狀液體的摩擦力矩M3較小，曾有文獻(xiàn)分析說(shuō)：底部環(huán)狀液體（R2＜r＜R1的部分）所產(chǎn)生的摩擦力矩約占總力矩M的1%，M3=0.01M，可以忽略。

測(cè)量時(shí)將被測(cè)物體按要求放在轉(zhuǎn)臺(tái)上，在外力距的作用下，轉(zhuǎn)臺(tái)做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)時(shí)器測(cè)量出一系列不同的角位移θ1、θ2、θ3…所用的時(shí)間分別為 T1、T2、T3…，設(shè)初始角速度為 ω。

由（4）、（5）、（6）等一系列方程可求出勻加速時(shí)的角加速度。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中外力矩由儀器提供，使外筒保持勻轉(zhuǎn)速ω0，再測(cè)得液體粘滯系數(shù)η，轉(zhuǎn)筒高度L，內(nèi)筒半徑R1，外筒半徑R2，由公式：

即可求得內(nèi)筒所受力矩。但是由于內(nèi)筒是轉(zhuǎn)動(dòng)的，公式要修改為：

其中ω1為內(nèi)筒的角速度。為了消除內(nèi)筒轉(zhuǎn)動(dòng)給力矩的影響，可以使用作圖法，如圖3。

圖3 作圖法示意圖

求出不同的ω1時(shí)的M值，用一個(gè)圖表表示出來(lái)，當(dāng)ω1為零時(shí)的M0值即為所要求的在內(nèi)筒不動(dòng)時(shí)的角速度，同時(shí)，根據(jù)這個(gè)圖也可求得角加速度β。

加上之前求出來(lái)的角加速度β，結(jié)合公式：M=Jgβ即可求得內(nèi)筒與物體組合的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同軸的物體之間有J=J1+J2，故物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減去內(nèi)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而實(shí)驗(yàn)時(shí)采用規(guī)則形狀、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知的內(nèi)筒時(shí)，實(shí)驗(yàn)便可輕松求出所測(cè)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

假設(shè)已經(jīng)通過(guò)以上方法求得角加速度β，內(nèi)圓筒收到的力矩M0，內(nèi)圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0，則求待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的總公式為：

2 實(shí)驗(yàn)誤差分析

實(shí)驗(yàn)時(shí)物體與內(nèi)筒并非真正意義上的角加速度不變的理想轉(zhuǎn)動(dòng)，而是近似意義上的，要求η較小。雖然用作圖法一定程度上消除了該種誤差，但由于實(shí)驗(yàn)時(shí)的儀器精度限制以及作圖時(shí)的作圖誤差，使得本實(shí)驗(yàn)在理論上仍然存在一定的誤差。

在上面的推導(dǎo)過(guò)程中涉及到的需要直接測(cè)量的物理量有：時(shí)間、角位移、半徑等，半徑用游標(biāo)卡尺（精度0.02mm）能夠比較精確的測(cè)定，對(duì)測(cè)量的影響不到千分之幾；時(shí)間的測(cè)量由于采用光電門(mén)和數(shù)字毫秒計(jì)完全克服了停表計(jì)時(shí)所帶來(lái)的誤差，而且記錄的時(shí)間可以存取，不必?fù)?dān)心記錯(cuò)時(shí)間；角位移的測(cè)量，由于擋光片固定在圓盤(pán)一條直徑上，擋光兩次間隔恰好就是π，在儀器加工時(shí)已做得很精確。所以直接測(cè)量對(duì)測(cè)量精度影響不大。

另外實(shí)驗(yàn)時(shí)環(huán)境的溫度波動(dòng)，會(huì)影響實(shí)驗(yàn)液體的粘滯系數(shù)，從而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但在誤差允許的范圍內(nèi)，仍可看成本實(shí)驗(yàn)是可行的。

3 結(jié)束語(yǔ)

該儀器完全解決了三線擺、復(fù)擺測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的局限，由于在討論中沒(méi)有涉及物體的具體形狀，所以該儀器不但能夠測(cè)定質(zhì)量分布均勻、形狀規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而且能夠測(cè)定質(zhì)量分布不均勻、形狀不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。該儀器擴(kuò)展性好，且測(cè)量穩(wěn)定、重復(fù)性好，操作與維護(hù)方便，可視為實(shí)驗(yàn)室的理想器材。

TH823

A

1004-7344（2016）11-0027-02

2016-3-28

易景鴻（2001-），男，在校學(xué)生，高一。