測量任意形狀物體的轉動慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

測量任意形狀物體的轉動慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

物理實驗中物體轉動慣量的測定是一個重要的實驗，一般的實驗方法有：三線擺測量具有某一平面的轉動慣量，復擺一般測量具有一定的對稱面的物體，但是對于任意形狀的物體他們就無能為力了。用旋轉法既能測量規則物體的轉動慣量，也能測量任意形狀物體的轉動慣量。本方法的利用液體粘滯系數及旋轉法測量任意形狀物體的轉動慣量，并運用作圖法消除系統誤差。

旋轉法測量；粘滯系數；任意形狀；作圖法消除誤差

引言

物體轉動慣量的測定是物理實驗中一個重要的實驗，一般的實驗方法有：三線擺測量具有某一平面的轉動慣量，復擺一般測量雖然具有一定的對稱面的物體，但是對于任意形狀的物體他們就無能為力。用旋轉法既能測量規則物體的轉動慣量，也能測量任意形狀物體的轉動慣量。以下利用液體粘滯系數及旋轉法測量任意形狀物體的轉動慣量，并運用作圖法消除系統誤差。

1 實驗裝置

如圖1所示，裝置由旋轉圓筒法測黏性流體的裝置改造而成，主要由高為L半徑分別為R1、R2的內、外圓筒，兩筒間充滿黏度已知的黏性液體。上方為物品托盤，用來放置待測物品，并且有一光電門，可以用來進行角速度的測量。

圖1 實驗裝置圖

基本原理如圖2。

圖2 基本原理圖

由牛頓內摩擦定律可知：平面層流時流層間的內摩擦力F等于表面積s，粘滯系數η和速度梯度的乘積，即：

本實驗中，當液體部分（1）產生穩定旋轉時屬于旋轉層流[1]，對于如圖3所示的高度為L的筒狀薄層，半徑為r處的表面積s=2πrL，該面所受的內摩擦力在柱坐標系中沿切線方向，其大小（在旋轉層流情形）為：

同時穩態旋轉時半徑為r的柱面所受的力矩為常數，設其值為M1，可得：

利用邊界條件ω|r=R2=ω0和ω|r=R1=0可以得出微分方程的（似）解：

而內摩擦力矩M2底部環狀液體的摩擦力矩M3較小，曾有文獻分析說：底部環狀液體（R2＜r＜R1的部分）所產生的摩擦力矩約占總力矩M的1%，M3=0.01M，可以忽略。

測量時將被測物體按要求放在轉臺上，在外力距的作用下，轉臺做勻加速轉動，計時器測量出一系列不同的角位移θ1、θ2、θ3…所用的時間分別為 T1、T2、T3…，設初始角速度為 ω。

由（4）、（5）、（6）等一系列方程可求出勻加速時的角加速度。

在實驗過程中外力矩由儀器提供，使外筒保持勻轉速ω0，再測得液體粘滯系數η，轉筒高度L，內筒半徑R1，外筒半徑R2，由公式：

即可求得內筒所受力矩。但是由于內筒是轉動的，公式要修改為：

其中ω1為內筒的角速度。為了消除內筒轉動給力矩的影響，可以使用作圖法，如圖3。

圖3 作圖法示意圖

求出不同的ω1時的M值，用一個圖表表示出來，當ω1為零時的M0值即為所要求的在內筒不動時的角速度，同時，根據這個圖也可求得角加速度β。

加上之前求出來的角加速度β，結合公式：M=Jgβ即可求得內筒與物體組合的轉動慣量。同軸的物體之間有J=J1+J2，故物體的轉動慣量為總的轉動慣量減去內筒的轉動慣量，而實驗時采用規則形狀、轉動慣量已知的內筒時，實驗便可輕松求出所測量物體的轉動慣量。

假設已經通過以上方法求得角加速度β，內圓筒收到的力矩M0，內圓筒的轉動慣量J0，則求待測物體的轉動慣量J的總公式為：

2 實驗誤差分析

實驗時物體與內筒并非真正意義上的角加速度不變的理想轉動，而是近似意義上的，要求η較小。雖然用作圖法一定程度上消除了該種誤差，但由于實驗時的儀器精度限制以及作圖時的作圖誤差，使得本實驗在理論上仍然存在一定的誤差。

在上面的推導過程中涉及到的需要直接測量的物理量有：時間、角位移、半徑等，半徑用游標卡尺（精度0.02mm）能夠比較精確的測定，對測量的影響不到千分之幾；時間的測量由于采用光電門和數字毫秒計完全克服了停表計時所帶來的誤差，而且記錄的時間可以存取，不必擔心記錯時間；角位移的測量，由于擋光片固定在圓盤一條直徑上，擋光兩次間隔恰好就是π，在儀器加工時已做得很精確。所以直接測量對測量精度影響不大。

另外實驗時環境的溫度波動，會影響實驗液體的粘滯系數，從而影響實驗結果。但在誤差允許的范圍內，仍可看成本實驗是可行的。

3 結束語

該儀器完全解決了三線擺、復擺測量物體轉動慣量的局限，由于在討論中沒有涉及物體的具體形狀，所以該儀器不但能夠測定質量分布均勻、形狀規則物體的轉動慣量，而且能夠測定質量分布不均勻、形狀不規則的物體的轉動慣量。該儀器擴展性好，且測量穩定、重復性好，操作與維護方便，可視為實驗室的理想器材。

TH823

A

1004-7344（2016）11-0027-02

2016-3-28

易景鴻（2001-），男，在校學生，高一。