基于螺旋理論的2T2R完全解耦并聯機構構型綜合

陳　海，曹　毅, 1b, 2，秦友蕾，丁　銳，葛姝翌

(1. 江南大學 a. 機械工程學院；b. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

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基于螺旋理論的2T2R完全解耦并聯機構構型綜合

陳海1a，曹毅1a, 1b, 2，秦友蕾1a，丁銳1a，葛姝翌1a

(1. 江南大學 a. 機械工程學院；b. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

摘要：針對并聯機構的運動往往是非線性、強耦合的問題，基于螺旋理論和支鏈獨立驅動原則提出了兩移兩轉(2T2R)類完全解耦并聯機構構型綜合方法.首先，根據2T2R完全解耦并聯機構的運動特征和完全解耦并聯機構的正、逆雅可比矩陣必為對角陣的要求，利用螺旋理論來構造滿足期望形式的正、逆雅可比矩陣；其次，根據正、逆雅可比矩陣所要滿足的條件，確定支鏈驅動副作用于動平臺上的使動螺旋，再得到該使動螺旋對應支鏈上的表示驅動副的驅動螺旋和除驅動螺旋之外的其他運動螺旋系，據此可完成支鏈結構螺旋系的配置；最后，根據并聯機構運動原理依次取出4條支鏈連接動平臺和定平臺得到并聯機構.綜合的完全解耦并聯機構的輸出運動是由支鏈上獨立的輸入驅動提供的，且機構的正、逆雅可比矩陣在運動過程中始終保持為對角陣，所以屬于完全解耦并聯機構，此類機構控制簡單，具有一定的應用前景.

關鍵詞：完全解耦； 并聯機構； 構型綜合； 螺旋理論

并聯機構作為一類新型機構，相對于串聯機構而言，并聯機構具有一些獨特的優點[1-2]，如承載能力高、剛度相對較強、慣性相對較小、動態性較高等，其中Delta機構[3]的廣泛應用更是激發了廣大研究人員對并聯機構的研究興趣.并聯機構的構型綜合，一直是機構學研究的熱點，國內外許多學者在這方面做了大量的工作，其中主要依據3大類構型方法，即基于位移群論的構型方法[4]、基于螺旋理論的構型方法[5]、基于拓撲結構的構型方法[6]，并得到了許多并聯機構構型.

最初，綜合的并聯機構具有6個自由度，但后來發現，在許多應用場合并不需要這么多的自由度，由此少自由度并聯機構逐漸進入人們視野.但由于并聯機構的結構復雜、耦合性強，控制起來相對較難，所以關于解耦的并聯機構，逐漸成為了新的研究熱點[7-8].國內外很多學者開展了這方面的研究[9-18]，其中大部分學者的研究對象為具有三自由度移動和轉動特征的并聯機構，但關于兩移兩轉(2T2R)完全解耦并聯機構的構型綜合卻少有文獻報道.

本文通過分析解耦并聯機構的輸入輸出特點，基于支鏈獨立驅動原理和螺旋理論提出了2T2R完全解耦并聯機構構型綜合方法.給定期望2T2R完全解耦并聯機構的運動特征(沿x軸、y軸方向的移動和繞x軸、y軸方向的轉動)，根據完全解耦并聯機構的正、逆雅可比矩陣必為對角陣的結構特性.首先，利用螺旋理論來構造出符合完全解耦并聯機構特點的正、逆雅可比矩陣；其次，根據所構造出的正雅可比矩陣得到驅動副作用于動平臺上的使動螺旋，再得到該使動螺旋對應支鏈上的表示驅動副的驅動螺旋和除驅動螺旋之外的其他運動螺旋系，根據支鏈的連接度的不同，可推導配置出所有的支鏈類型；最后，根據完全解耦并聯機構的運動條件依次將4條支鏈連接到動定平臺上，即可得到2T2R完全解耦并聯機構.這種并聯機構的輸出運動是由支鏈上獨立的輸入驅動提供的，所以屬于完全解耦并聯機構，此類機構完全解耦.

1理論基礎

(1) 螺旋理論.文獻[19]研究表明，螺旋的組成形式為(S; S0)，S稱為原部，表示方向矢量，S0稱為對偶部，且有：

S0=r×S+hS

(1)

式中：r為坐標原點到S上任一點的位置矢量；h為螺旋的節距.螺旋也可以用Plüker坐標(lmn；pqr)，其中l、m、z、p、q、r僅表示坐標中的6個元素，其值可以是0，也可以是其他值.螺旋的特殊形式分為線矢量和偶量兩種，這兩種螺旋既能表示力線矢/力偶，也能表示轉動自由度/移動自由度.

$1

(2)

則螺旋$1和$2互為反螺旋，其中“”表示兩螺旋的互易積.

(3) 使動螺旋.使動螺旋表示驅動副作用于動平臺上的力或力偶.當其形式為$i=(lmn;pqr)時，表示作用力；當其形式為$i=(000;lmn)時，則表示一個作用力偶.且使動螺旋與對應支鏈中除驅動螺旋之外的其他運動螺旋互易積為0[20].

(4) 約束螺旋.當螺旋表示約束力線矢和約束力偶時，通過建立坐標系，得到機構分支運動螺旋系，再求取反螺旋，可以得到機構的約束螺旋系.

22T2R完全解耦并聯機構輸入輸出分析

(3)

(4)

式(4)也可以被寫作矩陣的形式

(5)

分支約束螺旋系限制了動平臺沿平行于z軸方向的移動和轉動自由度，即v和w中沿z軸方向的任何分量都恒為0.對應的使動螺旋$ai(i=1, 2, 3, 4)，在式(5)中將使動螺旋的形式改變但并不改變式(5)的意義，可以得到如下形式

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

如果Jv是可逆陣，則有

(10)

取

(11)

式中：J為機構的雅可比矩陣.

若期望機構為完全解耦并聯機構，則當機構雅可比矩陣為非零對角陣時，滿足完全解耦條件.根據式(9)可知，逆雅可比矩陣已經滿足對角陣要求，所以根據式(11)可知，當Jr和Jv滿足非零對角陣要求時，則J必為對角陣.因此，如果能保證機構的正、逆雅可比矩陣均為對角陣，則此機構一定是完全解耦并聯機構.

32T2R完全解耦并聯機構構型綜合原理

基于第2節得到的結論，提出了一種利用螺旋理論來構造正、逆雅可比矩陣均為對角陣的方法.機構的正、逆雅可比矩陣與對應支鏈上的使動螺旋和驅動螺旋有關，所以可以通過給定使動螺旋和驅動螺旋的形式，來得到對角的正、逆雅可比矩陣，進而可以得到滿足條件的支鏈結構形式.又因為驅動螺旋是根據驅動副得到的，在支鏈中隨著機構動平臺及支鏈的運動，驅動螺旋的表達式可能會發生改變，所以本文中驅動副均和固定平臺直接相連，以保證驅動螺旋的形式不會隨著支鏈的運動而改變.

同時根據文獻[21]可知，對于移動解耦并聯機構，其驅動副既可為移動副，也可為轉動副.當驅動副為轉動副時，該分支同時需具有一個與驅動副構成2R平行子鏈的轉動副(下文中簡稱2R平行子鏈轉動副)，相當于一個轉動副和一個移動副的線性組合，其作用效果和用移動副作為驅動副是相同的.但為了不破壞機構的解耦特性，需要注意的是，由2R平行子鏈作為驅動副，會帶來另一方向的驅動作用(稱為消極驅動，即機構中在某一方向不希望出現的驅動)，所以在該支鏈的結構中需存在一個與該支鏈中存在的消極驅動方向共線的移動副，以消除該消極驅動對機構解耦特性的影響.結合以上分析，依據獨立驅動原則，利用螺旋理論完成2T2R完全解耦并聯機構的構型，其具體過程如下所述.

(1) 根據支鏈獨立驅動原則和機構正、逆雅可比矩陣為對角陣的要求，確定支鏈驅動控制的動平臺輸出自由度，然后給出該支鏈驅動副作用于動平臺的使動螺旋形式.

(2) 根據使動螺旋確定支鏈中的驅動螺旋，當使動螺旋為力線矢類螺旋時，驅動副可以是移動副或者是2R平行子鏈轉動副，對應的驅動螺旋為偶量螺旋或力線矢螺旋；當使動螺旋為偶量類螺旋時，驅動副只能為轉動副，對應的驅動螺旋為力線矢螺旋.

(3) 根據支鏈上除驅動螺旋之外的其他運動螺旋和使動螺旋的互易積為0的特點，依據反螺旋準則，可以推導出該支鏈上可以存在的除驅動螺旋之外的其他運動螺旋系，據此根據支鏈連接度的不同，即可推導出支鏈所有的結構類型.

(4) 根據并聯機構約束螺旋理論，依次選擇4條支鏈連接動定平臺，即可獲得期望的2T2R完全解耦并聯機構.

完全解耦并聯機構構型流程圖如圖1所示.本文構造的2T2R并聯機構的正、逆雅可比矩陣均為對角陣，即機構的雅可比矩陣為對角陣，所以屬于完全解耦并聯機構；同時機構的輸出運動是由獨立的輸入驅動提供的，即每條支鏈只含有一個驅動副，控制動平臺的一個輸出自由度，也滿足完全解耦并聯機構的輸入輸出線性映射條件.

圖1　完全解耦并聯機構構型流程圖Fig.1　Structural synthesis of fully-decoupled parallel mechanisms

4機構支鏈型綜合過程

本文綜合的2T2R完全解耦并聯機構的一條支鏈只含有一個驅動副，且控制動平臺的一個對應的輸出自由度.在下述的構型綜合過程中，假設第一、二條支鏈提供動平臺沿x軸、y軸方向的移動驅動，第三、四條支鏈提供動平臺繞x軸、y軸方向的轉動驅動.由于并聯機構分支必具有動平臺的運動特征，所以綜合的每條支鏈的連接度至少為4，因此，根據構型原理分別給出4條支鏈的構型過程.

4.1第一條支鏈的構型綜合過程

假設第一條支鏈只提供對x軸的移動驅動，正雅可比矩陣中第一排只有一個非零元素[Jr]11.第一條支鏈只提供沿x軸方向的移動驅動，則可知驅動副作用于動平臺上的使動螺旋為線矢量螺旋，由于期望使動螺旋只對動平臺沿x軸方向有驅動力，所以使動螺旋的形式只能為

(12)

即使動螺旋與定平臺坐標系x軸方向平行.根據第3節分析可知，支鏈的驅動螺旋有3種類型：

(13)

將式(13)代入式(9)可得

(14)

由于d12和d13+r1是與坐標系原點選擇有關的變量，所以只要調整驅動副的位置使d12和d13+r1不為0，則式(14)中3種情況下[Jv]11均不為0.根據以上分析配置支鏈中除驅動螺旋之外的其他運動螺旋所組成的螺旋系，根據式(2)和反螺旋定理可知支鏈中可能存在的螺旋系有以下幾種：

(1) 與x軸平行的線矢量螺旋系，此類螺旋系的維數最多為3，至少為1;

(2) 與x軸垂直的偶量螺旋系，這類螺旋系的維數最多為2，且在支鏈中的方向互不平行;

(3) 與使動螺旋軸線相交的線矢量螺旋系，其維數至少為1，其軸線方向平行于y軸方向.

第一條支鏈的可能結構類型如表1所示. 表1中支鏈的第一個運動副為驅動副.其中出現的4R1T類型為根據3R2T類型經過線性組合變換所得，變換過程中需注意的是一個轉動副和一個移動副的線性組合成一個2R平行子鏈需具有一定條件，即原支鏈中存在垂直于該轉動副軸線方向的二維移動自由度.具體的螺旋線性變換方法參照文獻[19]，對于下文中其他類型變換同理.

需要說明的是，由于本文綜合的并聯機構的運動特征為2T2R，支鏈的連接度至少為4，又由于機構采用獨立支鏈驅動，所以會有4條支鏈，為簡化機構結構，所以本文中構造的支鏈均不考慮支鏈中存在冗余運動副的情況.限于篇幅，一類支鏈只給出一種排列情形，對于改變支鏈中運動副的排列順序的情況也不予列出，下文中其余支鏈均按此處理.

表1　第一條支鏈結構

4.1.1驅動副為沿x軸方向的移動副

當驅動副為軸線平行于x軸方向的移動副時

(15)

根據文獻[17]可知，并聯機構支鏈必含動平臺的運動特征，所以該支鏈的結構類型至少為2T2R型，即其支鏈連接度最少為4，所以當用一個2R轉動副來替代一個移動副時，其連接度會增加到5，根據不同的連接度，可以推導出更多的支鏈結構類型.具體的支鏈結構如表1中第一類所示，表1中帶有下劃線的運動副表示驅動副，下標x、y、z表示運動副的軸線方向，T表示移動副，R表示轉動副，均為簡化結構，假設相鄰運動副軸線相互垂直或平行.

4.1.2驅動副為沿y軸方向的轉動副

當驅動副為軸線平行于y軸方向的轉動副時

(16)

當輸入副為轉動副時，相當于用一個2R平行子鏈替代沿x軸的移動驅動.由第3節分析可知，2R平行子鏈驅動會帶來另一方向的消極驅動，所以支鏈中需存在一個與消極驅動方向平行的移動自由度，所以可知此類分支的運動連接度至少可以為5個，其具體支鏈配置類型如表1中第二類所示.

4.1.3驅動副為沿z軸方向的轉動副

當驅動副為軸線平行于z軸方向的轉動副時

(17)

分析原理同4.1.2節，其具體支鏈配置類型如表1中第三類所示.

4.2第二條支鏈的構型綜合過程

第二條支鏈只提供對y軸的移動驅動，正雅可比矩陣中第二排只有一個非零元素[Jr]22.第二條支鏈只提供沿y軸方向的移動驅動，則可知驅動副作用于動平臺上的使動螺旋為線矢量螺旋，由于期望使動螺旋只對動平臺沿y軸方向有驅動力，所以使動螺旋的形式只能為

(18)

使動螺旋與定平臺坐標系y軸方向平行.由第3節分析可知，支鏈的驅動螺旋有3種類型

(19)

將式(19)代入式(9)可得

(20)

由于e22和e23+r2是與坐標系原點選擇有關的變量，所以只要調整驅動副的位置使e22和e23+r2不為0，則式(20)中3種情況下[Jv]22均不為0.第二條支鏈的構型綜合過程類似于第一條支鏈，在此不再贅述，其結構類型如表2所示，原理同上.

表2　第二條支鏈結構

4.3第三條支鏈的構型綜合過程

第三條支鏈只提供對x軸方向的轉動驅動，支鏈驅動作用于動平臺上的使動螺旋為力矩螺旋.由于本文綜合的機構具有2T2R運動特征，基于支鏈獨立驅動原則，所以支鏈上使動螺旋的形式只考慮為

(21)

設第三條支鏈上表示驅動副的驅動螺旋為$q3=[a3b3c3;d3e3f3].由于綜合的每條分支都至少具有2T2R運動特征，所以當驅動螺旋沿z軸方向具有轉動分量時，可能會導致動平臺具有沿z軸方向的轉動自由度，破壞了機構的轉動解耦特性，驅動螺旋只考慮

(22)

將式(21)和(22)代入式(9)可得

[Jv]33=$a3$q3=1

(23)

由式(23)可知，[Jv]33滿足非零條件，所以有

(24)

確定了支鏈作用于動平臺上的使動螺旋和驅動螺旋之后，可以根據反螺旋定理得到支鏈中可以存在的除驅動螺旋之外的其他運動螺旋系，再根據不同的連接度，可以推導出更多的支鏈結構類型.根據反螺旋定理可知滿足條件的螺旋系如下：

(1) 方向任意的偶量螺旋系，任意兩個偶量的軸線不平行，此類螺旋在支鏈中最多有3個，至少為2個，且其軸線方向分別沿x軸、y軸方向.

(2) 與使動螺旋的軸線垂直的線矢量螺旋系，此類螺旋系的維數至少為1，其軸線沿y軸方向.

由以上分析可得到第三條支鏈結構如表3所示.

表3　第三條支鏈結構

4.4第四條支鏈的構型綜合過程

假設第四條支鏈只提供對y軸方向的轉動驅動.第四條支鏈的型綜合過程類似于第三條支鏈的構型綜合過程，同理可得第四條支鏈上的使動螺旋和驅動螺旋分別為

(25)

根據以上方法給出第四條支鏈具體結構類型如表4所示.

表4　第四條支鏈結構

5完全解耦2T2R并聯機構構型綜合

用上述方法綜合出機構的4條支鏈后，將4條支鏈按驅動方向安裝后連接動定平臺，即可得到具有預期運動特征的完全解耦2T2R并聯機構[22].由于本文綜合的并聯機構具有二維轉動特征，所以根據并聯機構轉動條件，即任意2分支需能提供垂直于轉動方向的平面移動自由度.所以在選擇組合4條支鏈時，需注意以下準則：

(1) 有且只能有一條支鏈的連接度為4，其余3條支鏈的連接度必須選擇具有三維移動特征的支鏈類型；

(2) 第一、二條支鏈中第三類中的支鏈為連接度為5的支鏈，其具有沿x軸、y軸方向的移動和轉動特征和一個繞z軸方向轉動的特征，所以此類可看做連接度為4的支鏈類型，即TxTyRxRy類支鏈.

圖2　2T2R完全解耦并聯機構Fig.2　A 2T2R fully-decoupled parallel mechanism

根據以上方法得到的一種完全解耦2T2R并聯機構如圖2所示.圖2中所示并聯機構的支鏈結構分別為TxTyRxRy、Rz1Rz2TxRy1Ry2Rx、Rx1Rx2TzRy1Ry2、Ry1Ry2Ry3Rx1Rx2，帶有下劃線的運動副表示驅動副，驅動副直接與固定基座相連，4條支鏈分別提供了動平臺沿x軸、y軸方向的移動自由度和繞x軸、y軸方向的轉動自由度.

由圖2可知，選取4條支鏈的第一個運動副為輸入副，且直接與固定基座相連.定義符號：l1為第一條支鏈上沿x軸方向表示驅動輸入的移動距離；θ1為第二條支鏈上沿z軸方向轉動輸入的角度；θ2為第三條支鏈沿x軸方向轉動輸入的角度；θ3為第四條支鏈沿y軸方向轉動輸入的角度.

由圖2中坐標系所示，假設第二條支鏈中與驅動副相連的連桿長為L，初始角度為γ.用沿z軸方向的2R子鏈替代沿y軸方向的移動輸入，輸入分析如圖3所示.

圖3　機構沿y軸方向輸入分析Fig.3　The analysis of mechanism input along the y-axis direction

由圖3可知，驅動副沿y軸方向的移動距離y為

y=L(sin(180-γ)-sin(180-γ-θ1))

(26)

根據以上分析，可知機構輸入分別為(l1，θ1，θ2，θ3)，設動平臺的對應輸出量分別為(x，y，α，β)，則根據上述解耦并聯機構組成特點，可以得到

(27)

對式(27)兩邊對時間t求導可得

(28)

式(28)也可以寫作

(29)

從式(29)可以得到機構的雅可比矩陣為

(30)

由式(30)可以看到，在該并聯機構的工作空間內，機構的雅可比矩陣為非零對角陣.當cos(γ+θ1)=0時，機構會出現奇異，這是由于采用2R平行轉動副作為驅動導致的.當轉動角速度方向與移動方向垂直時，會出現奇異位置，這種奇異不屬于機構的奇異位形，僅是由轉動驅動造成，如果用移動副直接驅動，則不會出現奇異.

6結論

(1) 基于螺旋理論，提出了完全解耦并聯機構構型綜合的一種系統方法，通過分析完全解耦并聯機構雅可比矩陣所要滿足的條件，給出了構型原理的具體步驟.

(2) 運用該構型綜合方法，完成了2T2R并聯機構的構型綜合問題.首先綜合2T2R4自由度完全解耦并聯機構各條支鏈，再根據支鏈組合原理連接動定平臺得到2T2R完全解耦并聯機構.

(3) 基于螺旋理論分析綜合得到一種機構的運動特征，同時求得機構的雅克比矩陣，驗證了并聯機構的完全解耦，證明了構型理論的正確性.

(4) 綜合的并聯機構具有完全解耦特點，機構控制簡單，具有一定的應用前景.

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文章編號：1671-0444(2016)03-0406-08

收稿日期：2015-05-27

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50905075)；江蘇省普通高校學術學位研究生科研創新計劃資助項目(KYLX-1115)；機械系統與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)

作者簡介：陳海(1991—)，男，安徽六安人，碩士研究生，研究方向并聯機器人機構學. E-mail:chenhai1991@sina.com 曹毅(聯系人)，男，副教授，E-mail: caoyi@jiangnan.edu.cn

中圖分類號：TH 112

文獻標志碼：A

Structural Synthesis of Fully-Decoupled 2T2R Parallel Mechanisms Based on Screw Theory

CHENHai1a,CAOYi1a,1b,2,QINYou-lei1a,DINGRui1a,GEShu-yi1a

(a. School of Mechanical Engineering；b. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, 1． Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:To avoid the existence of nonlinear and strong coupling in parallel mechanisms, based on the screw theory and the driven-chain principle, a methodology of structural synthesis for fully-decoupled two-translational and two-rotational (2T2R) parallel mechanisms is proposed. Firstly, according to the desired kinematic characteristics of fully-decoupled parallel mechanisms, a method is proposed by virtue of screw theory to synthesize the desired forms for both the direct and the inverse Jacobian matrices. Secondly, according to the feature of the direct and the inverse Jacobian matrices, the effective screws, the actuated screws and the mobile un-actuated screws of each limb are established based on the reciprocal screw theory and all possible topology structures fulfilling the requirements are obtained. Finally, the desired fully-decoupled parallel mechanisms can be synthesized using the structural synthesis rule and structural synthesis of fully-decoupled 2T2R parallel mechanisms can be obtained exploiting the above mentioned methodology. In particular, the direct Jacobian matrix of each synthesized fully-decoupled 2T2R parallel mechanism is a non-zero diagonal matrix throughout the entire workspace. Motors are mounted one per leg and each one of them actuates one degree-of-freedom (DOF) of the fully-decoupled parallel mechanism through a one-to-one velocity relation. Such mechanism control is simple, and it has good prospects as well.

Key words:fully-decoupled; parallel mechanism; structural synthesis; screw theory