振蕩周期不受溫度影響的生物調控網絡的數值研究

王宏利，　吳麗莉

(北京大學 物理學院，北京　100871)

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振蕩周期不受溫度影響的生物調控網絡的數值研究

王宏利，吳麗莉

(北京大學 物理學院，北京100871)

摘要：生物學中普遍存在的生物鐘的基本特性之一是其振蕩周期不隨環境溫度變化而變化，即具有溫度補償特性，其機制是近年來研究的熱點.本文對具有振蕩周期不隨溫度變化的基因調控網絡做了數值分析.溫度補償振蕩是一種系統水平的性質，跟網絡的拓撲結構具有密切聯系.對多節點的僅有抑制性調控關系的隨機網絡的計算表明，溫度補償的振蕩行為可以僅僅通過采用適當的拓撲結構實現，而不需要細調的動力學參數.對所有3個節點網絡的窮舉發現，溫度補償振蕩網絡結構上是兩種性質互補的振蕩網絡模體的組合，即延遲的負反饋網絡)、抑制子振子和激活抑制振子、底物耗盡振子的組合.對網絡振蕩周期隨參數的敏感性分析表明，溫度補償振蕩可以通過熔斷機制來實現，振蕩周期僅敏感依賴于極少數的反應速率常數，而這些常數的活化能很小因為阻斷了溫度對振蕩周期的影響.

關鍵詞：魯棒性；振蕩；生物網絡

自發周期振蕩作為一種典型的非線性動力學行為廣泛存在于各類動力學系統中.在生物體系中，生命活動一般表現為日夜節律的振蕩形式即生物鐘，其周期等于地球自轉周期(24小時).生物鐘是生物系統與其生存的地球環境日夜輪轉相適應的結果，普遍存在于從簡單的單細胞生物(如藍藻)到鳥類以及人類等高等哺乳動物[1].生物鐘最重要的特性之一是隨著環境溫度的顯著變化，振蕩周期不發生明顯改變.振蕩周期不隨溫度的變化而變化的特性被稱為溫度補償[2].從亞細胞水平看，生物鐘行為是相關基因以及蛋白分子之間相互作用和調控的結果，其基礎是生化反應.生化反應速率常數一并地隨著溫度升高而加快.隨溫度的升高和反應速率的加快，生物鐘的振蕩周期不縮短反而在一定溫度范圍內保持恒定，其溫度補償的機制一直是生物物理研究中一個懸而未決的問題.在過去的二十多年中，研究者們在多種模式生物的生物鐘分子相互作用基礎上，提出了多種溫度補償機制，如拮抗平衡機制[3]，開關機制[4]，單一酶催化的化學反應機制[5]，以及最近提出的將溫度補償看成是周期對溫度變化的適應性機制[6].這些研究均在一定程度上說明了實現溫度補償的可能途徑，同時表明，溫度補償是系統的整體的特性，與其分子相互作用的網絡結構具有一定關系.

本文試圖尋找具有溫度補償的振蕩網絡的拓撲結構上的特點，發掘具有振蕩和溫度補償雙重特性的生物基因調控網絡的簡單結構和設計原理.我們考慮了由若干個節點構成的基因調控網絡，通過枚舉的方法尋找能實現振蕩同時又具有周期不隨溫度變化特性的網絡，通過分析其網絡結構上的特點，尋找能實現溫度補償振蕩的網絡結構上的規律.我們發現，動力學單一的結構多節點網絡，只要結構合適都可以形成具有周期隨參數變化不敏感的溫度補償振蕩.少節點的簡單網絡則需要適當的結構和參數配合才能形成溫度補償振蕩.對于不多于三個節點的基因調控網絡，有四種基本的網絡模體(motif)，即延遲的負反饋振子，三節點抑制子振子，激活抑制振子和底物耗盡振子.該四種簡單結構的組合即可形成具有穩健溫度補償的振蕩行為.

1抑制相互作用網絡中的溫度補償振蕩

我們首先考慮多節點的抑制相互作用網絡是否具有實現溫度補償振蕩的可能性.網絡中的每個節點表示一個基因的蛋白表達產物，網絡節點之間僅有抑制相互作用，即一個基因表達出的蛋白質產物對另一個基因的轉錄具有抑制作用.為排除參數取值不同的影響，網絡中所有的抑制相互作用都相同，網絡中的某個節點i滿足的動力學方程為[7]：

(1)

方程右側第一項為網絡相互作用對節點i表達速率的貢獻，第二項為蛋白酶引起的降解；矩陣元Aij表示網絡節點j到i的連接矩陣，可取值1(激活)，-1(抑制)和0(沒有相互作用).分母中Aij(xj)n的將引起基因i表達速率的抑制.參數I表示抑制的強度.由于溫度變化10攝氏度，反應速率常數一般變為原來的2倍.在我們的數值研究中，溫度的變化表現在I取值的變化上，I∈[1,2].為了尋找在溫度突變的條件下能保持振蕩周期不變的網絡結構，我們首先嘗試了10個節點20條節點連接的網絡.通過初始的隨機網絡，檢查其是否能振蕩；對于能振蕩的網絡，則檢查是否具有I變化下的穩定周期.如果能振蕩但周期不穩定，則調整其網絡節點的連接，使一條邊隨機地指向其他的節點，通過不斷的網絡結構的演化，尋找溫度補償的振蕩網絡結構.對10個節點20條邊的網絡的計算表明，從任意一個初始的網絡出發，都可以在有限的演化步驟之后到達能實現溫度補償的振蕩結構.圖1a所示為一個初始的隨機網絡結構和演化得到的圖1b所示的具有溫度補償的振蕩網絡結構.

圖1　網絡演化得到的溫度補償網絡.(a) 10個節點20條邊的初始振蕩網絡；(b)以網絡(a)為起點演化得到的溫度補償振蕩網絡；(c)(d)(e)為演化得到的4個節點8條邊構成的溫度補償振蕩網絡；(f)5個節點和11條邊構成的溫度補償網絡.計算過程中，方程1中的參數p=100,n=3.

以上沒有可調參數的10節點網絡中，只要調整網絡結構就可以進化出具有振蕩周期不隨溫度變化的網絡.這表明，溫度補償振蕩網絡可以僅僅通過適當的網絡拓撲實現.接下來，我們把網絡的節點數降到3，4和5，分別檢查了網絡的邊數由最少(分別為3，4，5)到最多(分別為9，16，和25)，依然通過進化的算法通過結構的調整尋找溫度補償網絡.對于3節點網絡，不論邊數，僅有首尾互相抑制結構(即repressilator, 結構為)具有振蕩行為，但周期會隨I的變化顯著改變.對于4節點網絡，我們窮舉了所有可能的邊數和連接方式，發現有3個結構可以實現溫度補償振蕩(如圖1c，d，e所示).5節點網絡中能實現溫度補償的網絡結構比4節點網絡多，圖1f展示了其中的一個.以上結果表明，溫度補償振蕩網絡可以在相對簡單的網絡中出現.

2溫度補償振蕩網絡的設計原理

在以上的分析中，我們僅僅考慮了抑制相互作用的多節點網絡，且數學模型中沒有可以自由調整的參數.為了尋找能實現溫度補償的最簡單的振蕩網絡，弄清楚補償振蕩網絡的構成原理，我們接下來考慮僅有3節點構成的簡單網絡.不同于抑制相互作用網絡，節點(基因)間可以互相抑制也可以互相激勵.如果有一個基因的表達受到多于一種基因的蛋白表達物的調控，則它們將以競爭的方式結合到該基因的啟動子上.在模型中考慮了基礎表達和線性降解項后，網絡中一個基因的蛋白表達速率可以通過如下形式的常微分方程組描述[7]:

(2)

其中xi為基因i表達出來的蛋白質分子的濃度，Kij為解離常數,n為希爾系數，最大表達速率vij及降解速率常數ri被假定為依賴于溫度，遵守阿侖尼烏斯方程：

(3)

上式中E表示活化能，T為開爾文溫度，R為氣體常數.Jil為網絡的連接矩陣.我們假定δi和Kij不隨溫度變化.文獻報道的結果表明蛋白質的合成以復雜的形式依賴于溫度.上述反應參數隨溫度的變化關系是我們的模型假設，是對實際情況的簡化.由于網絡中僅有三個節點，溫度補償的振蕩行為需要適當的網絡結構和適當取值的參數的結合.我們枚舉了每一種3節點的網絡結構，每個網絡結構通過拉丁超立方采樣的算法產生10000組參數[8]，檢驗每組參數下動力學系統是否具有溫度補償的振蕩行為.對于可以振蕩的網絡，進一步調整溫度使其在區間[283K，293K]內變化.通過計算不同溫度下的振蕩周期，檢驗其是否具有不隨溫度改變的振蕩周期.對于一個網絡結構可能存在多組參數實現補償振蕩.圖2所示為3節點網絡枚舉溫度補償振蕩的算法流程圖.為了衡量一個網絡結構實現補償振蕩和補償振蕩的能力，分別采用了Q-值和q-值來估計.Q-值為一個網絡結構的10000組隨機參數中能產生振蕩的參數的數目；q-值則進一步表示Q組參數中有多少組參數可以實現溫度補償的振蕩.

圖2　枚舉3節點網絡結構通過在參數空間中用拉丁超立方采樣參數篩選溫度補償振蕩網絡算法流程圖

從所有可能的2423個結構上不等價的3節點網絡結構中，計算共篩選出具有溫度補償的振蕩網絡結構787個.這些網絡中具有最少邊數的最簡網絡共發現有四種，如圖3b中的M1, M2, M3和M4所示.這些最小網絡恰好是目前發現的能實現振蕩的最簡單模體(motif)，它們分別被稱為延遲的負反饋振子(M1)，三節點抑制子振子(M2)，激活抑制振子(M3)和底物耗盡振子(M4).對787個網絡結構的分析表明，這些能實現溫度補償振蕩的網絡中絕大多數都包含這4種基本振蕩模體或它們的組合.圖3c所示為這些最簡單模體組合的三個實際例子.為了弄清4個基本振蕩網絡結構的差異，我們對它們的參數空間進行了更大規模(100000組)的參數采樣，通過統計它們的Q-值和q-值，并比較它們在振蕩能力和實現溫度補償能力上的差異.結果表明，模體M1，模體M2和模體M3，模體M4在振蕩能力上差異很大，前兩者的Q-值比后兩者大很多，表明M1和M2兩種結構對于網絡實現振蕩的功能具有很大優勢.另一方面，模體M3和模體M4雖然不容易振蕩，但是它們具有相對較大的q-值，表明它們雖然不容易產生振蕩，但是發生振蕩后其周期抵抗溫度變化的能力比模體M1和模體M2要強很多.這提示我們，具有穩健實現溫度補償的振蕩網絡可以通過這兩類在實現振蕩和實現溫度補償的能力上互補的基本網絡的組合構成.對溫度補償振蕩能力最強的35個網絡的分析表明，它們確實是通過這兩類模體的組合構成了.圖3c所示的3個網絡結構即為q-值最大的能實現溫度補償的結構之一.

圖3　實現溫度補償振蕩的最簡單網絡，延遲的負反饋振子M1(delayed negative feedback)，抑制子振子M2(repressilator)，激活抑制振子M3(activator-inhibitor)和底物耗盡振子M4(substrate-depletion).圖中的TCO表示溫度補償振蕩.(a)溫度補償示意圖；(b)四種最簡單的振蕩模體(motif)；(c)4種模體組合形成穩健溫度補償振蕩網絡的3個實例.

3三節點溫度補償振蕩網絡的機理分析

為了檢查以上計算得到的溫度補償振蕩網絡實現補償振蕩的機制，我們對q-值最大的35個網絡進一步分析了其振蕩周期對參數以及溫度的敏感性.由于假定了反應速率常數以阿侖尼烏斯方程(3)的方式依賴于溫度，則溫度補償振蕩從數學上可以表示為不同參數的改變對周期影響的拮抗平衡[10]，即：

(4)

圖4　六種溫度補償網絡結構的反應速率常數在補償振蕩常數下對振蕩周期的彈性(在溫度變化區間取平均值).橫坐標表示實現補償振蕩的不同常數.圖中的灰色小圓表示所有常數彈性的疊加.

4結論

以上對能實現周期不隨溫度變化的振蕩網絡，從多節點到少節點都做了較為系統的檢驗.對多節點的分析表明，溫度補償的振蕩行為，可以僅僅通過合適的網絡結構來實現，而不需要調整系統動力學中的參數.說明溫度補償振蕩行為主要是一種系統水平的性質，跟網絡的拓撲結構密切相關.對僅有3個節點的網絡的枚舉表明，溫度補償振蕩可以通過合適的網絡結構和適當的參數的組合來實現.在網絡結構上，溫度補償振蕩網絡可以通過兩種性質互補的振蕩網絡模體的組合來實現，即延遲的負反饋網絡(M1)、抑制子振子(M2)和激活抑制振子(M3)、底物耗盡振子(M4)的組合.對于溫度補償網絡的振蕩周期對參數的敏感性的計算表明，溫度補償振蕩可以通過熔斷機制來實現周期對溫度的魯棒性.網絡的結構在一定程度上決定了系統整體的振蕩周期僅敏感依賴于極少數的參數，而這些參數可以通過采用很小的活化能的方式阻斷溫度升高導致反應速率加快引起的振蕩周期的縮短.雖然系統中的大多數參數受溫度的影響可以顯著加快，但是由于它們的變化對振蕩周期的影響不明顯，最終導致了具有溫度補償的振蕩行為.

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DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.002

收稿日期：2016-05-26

基金項目：國家自然科學基金(11174013).

作者簡介：王宏利(1969-)，男，安徽歙縣人，安徽師范大學物理系1988級校友，北京大學物理學院教授，博士生導師.

中圖分類號：O59

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0315-05

Numerical Analysis of Oscillatory Regulatory Networks with Temperature-Independent Oscillation Period

WANG Hong-li,WU Li-li

(School of Physics, Beijing University, Beijing 100871， China)

Abstract:Oscillatory gene interaction networks whose oscillation period is independent of temperature were theoretically investigated with multiple-node-networks having up to twenty nodes and with few-node-networks with only three nodes. Analyses revealed that the temperature independent oscillation period can be achieved through proper re-linkages between the nodes. With only inhibitory interactions in the networks, and without fine-tuning parameter values, most of multiple-node networks can evolve into proper topologies and oscillate with a period not affected by temperature fluctuations. The analysis revealed that temperature-compensated oscillations occur at the system level and depend strongly on the topological structure of the networks.

Key words:robustness; oscillation; biological network

引用格式：王宏利，吳麗莉.振蕩周期不受溫度影響的生物調控網絡的數值研究[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(4)：315-319.