de Sitter空間中的緊致2-調和類時子流形

李　影，　宋衛東

(安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖　241000)

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de Sitter空間中的緊致2-調和類時子流形

李影，宋衛東

(安徽師范大學 數學計算機科學學院，安徽 蕪湖241000)

摘要：利用活動標架法，得到了de Sitter空間中的緊致2-調和類時子流形的一個積分不等式以及該子流形成為極大類時子流形的關于其第二基本形式模長平方一個拼擠定理.

關鍵詞：de Sitter空間；2-調和映射；類時子流形

按照J. Eells和L. Lemmaire在文獻[1]中的設想，姜國英在文獻[2，3]中討論了黎曼流形間的2-調和映照，歐陽崇珍在文獻[4]中討論了黎曼流形M到偽黎曼流形N的2-調和等距浸入，得到這種等距浸入是2-調和映照的充要條件以及偽黎曼空間型的2-調和類空子流形的Pinching現象.從相對論的角度來說，偽黎曼流形的子流形或許比黎曼流形的子流形更有意義，它們在研究方面有很多類似的地方，但是也有很多不同之處.對于de Sitter空間中的類空子流形，目前已有許多研究結果.文獻[5]將de Sitter空間中的子流形分為類空、類時、類光子流形.文獻[6]給出了de Sitter空間中2-調和類空子流形的一個積分不等式及其Pinching現象.本文仿照其方法，建立了這類空間中2-調和類時子流形的一個積分不等式以及該子流形成為極大類時子流形的關于其第二基本形式模長平方一個拼擠定理.具體結果如下：

S

則Mn是極大的.

1預備知識

本文約定各類指標取值范圍

1≤A,B,C,…,≤n+p;1≤i,j,k,…,≤n;n+1≤α,β，γ，…,≤n+p.

設Ln+p+1是n+p+1維實向量空間Rn+p+1并賦予內積

=-δij,=0,=δαβ，

KABCD=εAεBc(δACδBD-δADδBC).

(1)

(2)

(3)

其中h,ξ,Rijkl,Rαβkl分別是Mn的第二基本形式，平均曲率向量，曲率張量，法曲率張量.

定義

結合(1)式，則有

(4)

(5)

在此需要如下引理：

(7)

(8)

2定理證明

定理1的證明

由(6)式可知，

(9)

因此，

(10)

由柯西不等式得

(11)

另外，由文獻[6]，有

(12)

(13)

對(7)式求共變導數并求和可得

對上式調整指標，再利用(8)式有

(14)

結合(11)-(14)式，則有

由于Mn是緊致無邊的，根據Stocks定理，對上式兩邊積分即得定理1的證明.

定理2的證明

≥-n2H2S+cn3H2=n2H2(-S+cn).

所以，當S0時，能得到H=0，即Mn是極大類時子流形.因此，定理2得到證明.

參考文獻：

[1]EELLS J, LEMAIREL. Selected topics in harmomic maps[J]. CBMS 50, AMS, 1983.

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[3]姜國英.Riemann流形間的2-調和等距浸入[J].數學年刊，1986，7A：130-144.

[4]歐陽崇珍.偽黎曼空間型的2-調和類空子流形[J].數學年刊，2000，21A：649-654.

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[9]高真圣，歐陽崇珍.局部對稱偽黎曼流形中的2-調和類空子流形[J].南昌大學學報，2004，28(1)：12-16.

[10]宋衛東，江桔麗.關于局部對稱偽黎曼流形中的2-調和類空子流形[J].系統科學與科學，2007，27(2)：170-176.

[11]胡有婧，紀永強.de Sitter空間中的緊致極大類時子流形[J].吉林大學學報，2014，52(5)：895-900.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.006

收稿日期：2015-06-20

基金項目：國家自然科學基金(11071005)；安徽師范大學研究生科研創新與實踐項目(2015cxsj108zd).

作者簡介：李影(1991-)，女，安徽阜陽人，碩士研究生，主要從事微分幾何研究.通訊作者：宋衛東(1958-)，男，安徽桐城人，教授，主要從事微分幾何研究.

中圖分類號：0186.12

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0338-04

The Compact 2-Harmonic Timelike Submanifolds in a de Sitter Space

LI Ying,SONG Wei-dong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:Based on the moving frames, an integral inequality about compact 2-harmonic timelike submanifolds was obtained in a de Sitter space and a pinching theorem about the squared norm of the second fundamental form for the compact 2-harmoinc timelike submanifold in a de Sitter space was given.

Key words:de Sitter space; 2-barmonic map; timelike submanifold

引用格式：李影，宋衛東.de Sitter空間中的緊致2-調和類時子流形.安徽師范大學學報：自然科學版，2015，38(5)：338-341.