抽水蓄能機組分數階PID控制及參數優化研究

曹 健，李超順，張 楠，曾 探，陳海兵，朱耀偉

（華中科技大學水電與數字化工程學院，武漢 430074）

抽水蓄能機組分數階PID控制及參數優化研究

曹 健，李超順，張 楠，曾 探，陳海兵，朱耀偉

（華中科技大學水電與數字化工程學院，武漢 430074）

由于抽水蓄能機組水泵水輪機調節系統結構復雜，工況類型多且轉換頻繁，容易受水泵水輪機全特性曲線反“S”特性的影響，因此其運行穩定問題比一般機組更加嚴峻，嚴重時甚至會影響到電網的供電質量和安全穩定。本文針對傳統PID控制在抽水蓄能機組應用中的不足，提出了抽水蓄能機組的分數階PID（FOPID）控制及其參數優化方法。為提高FOPID控制參數優化效果，提出了一種模糊引力搜索算法（FGSA），該算法在迭代搜索過程中，對引力衰減指數進行動態的模糊推理，使之隨搜索代數的改變不斷自適應調整，從而通過控制引力常數的大小實現對算法局部和全局搜索進行動態調整，提高算法優化能力。以我國某抽水蓄能電站機組為研究對象建立其調節系統仿真模型，運用不同優化方法和控制規律的組合控制策略進行控制，對比試驗結果表明，本文提出的FGSA-FOPID控制策略能有效改善抽水蓄能機組水泵水輪機調節系統在空載工況下頻率擾動時的動態性能。

抽水蓄能機組；分數階PID；參數優化；模糊引力搜索算法；空載工況

0 引言

隨著我國風電、光伏發電等新能源和核電在電網中所占比重逐步提高，抽水蓄能作為一種有效調節電源在電網中的重要性日益凸顯。抽水蓄能機組在電網中承擔著調峰、填谷、調頻、調相、事故備用和蓄洪補枯等任務，在保證電網供電質量和可靠性、提高電力系統安全經濟穩定運行發揮著重大作用[1]。水泵水輪機是抽水蓄能機組的主要設備，由于水泵水輪機本身的可逆性設計，在運行時水泵水輪機將不可避免地受到反“S”特性的影響，當機組運行在反“S”特性區域時將出現極其不穩定的現象。抽水蓄能機組與常規水電機組相比，工況種類多、工況轉換頻繁，加之受到反“S”特性的影響，因此比常規水電機組更加難以控制[2]。

實際應用中，抽水蓄能機組的控制規律一般采用PID控制，通過設計PID控制器并優化控制參數有望提高機組的控制品質。由于傳統PID控制規律應對復雜的非線性系統時存在著一定不足，人們嘗試對PID控制規律進行改進，深化了非線性PID[3]和分數階PID（FOPID）[4,5]等新型PID控制規律。FOPID控制是傳統整數階PID控制的發展產物，比傳統的整數階PID控制多了兩個可調節的參數，積分階次和微分階次，因此FOPID比傳統的整數階PID控制器有更好的動態性能[4]。本文將用FOPID控制器對抽水蓄能機組調節系統進行控制。但由于多了兩個可調參數加之分數階的引入使得設計難度增大，參數整定成為難題。

常規水電機組PID控制參數整定方面的研究較多，為了得到更好的調速器參數，專家提出了很多整定算法，傳統的整定方法有正交法和單純行法，雖然這些算法比較簡單，精度不高，難以滿足控制要求。近幾年來，學者們將啟發式隨機優化方法應用到水電機組PID控制的參數整定，取得了不錯效果。常用的算法有粒子群優化算法[6]、遺傳算法[7]、混沌優化[8]，菌群優化[9]，引力搜索算法（GSA）[3]等等。相對于其他方法，GSA是一種基于萬有引力的啟發式隨機優化方法，有著較強的收斂速度的全局搜索能力[10]，因其優異的優化性能，受到學者的關注，在控制參數優化[3,11]、系統辨識[12-13]等領域取得了成功應用。在研究中學者們發現，引力常數函數控制算法的全局和局部搜索能力，合適的引力常數變化規律對提高GSA算法性能顯得尤為重要[14]。改進引力常數變化規律成為進一步提高GSA算法優化能力的重要方向。

為提高抽水蓄能機組的控制效果，本文嘗試將FOPID引入到抽水蓄能機組控制，進一步提出一種模糊引力搜索算法，解決FOPID的參數優化整定問題。為驗證本文所提方法的有效性，建立了我國某抽水蓄能電站機組的仿真平臺，設計了空載頻率擾動試驗，對比了分別采用PID和FOPID控制并運用不同優化方法進行控制參數優化的控制效果，試驗結果驗證了本文方法的有效性。

1 抽水蓄能機組水泵水輪機調節系統模型

抽水蓄能機組水泵水輪機調節系統是由引水系統、水泵水輪機、發電機、調速器和接力器等單元所組成的復雜非線性系統[15]。本文重點闡述引水系統模型、水泵水輪機模型和控制器模型，其它部分如接力器采用兩階模型，發電機采用一階模型。系統整體模型如圖1所示。

1.1 引水系統模型

引水系統模型由水擊方程描述。本文采用二階彈性水擊模型描述壓力引水系統特性。其傳遞函數為：

其中，Tw為引水系統水流慣性時間常數；Tr為水錘壓力波反射時間，即水錘相長。

1.2 水泵水輪機模型

水泵水輪機模型可用力矩和流量方程表示：.

其中，M11為單位力矩；Q11為單位流量；a為導葉開度；n11是水輪機的單位轉速，mt=(Mt-Mt0)/Mtr為力矩偏差相對值；q=(Q-Q0)/Qr為流量偏差相對值；D1為轉輪直徑；H為工作水頭；x=(n-n0)/nr轉速偏差相對值；h=(H-H0)/Hr為水頭偏差相對值；y=(a-a0)/amax為接力器行程偏差相對值，下標“0”表示初始值，下標“r”表示額定值。M11和Q11可以用水泵水輪機力矩特性曲線和流量特性曲線描述，在式（2）中用非線性函數fM和fQ表示。由于其水泵水輪機特性曲線呈現反“S”特性，在反“S”特性區域內，曲線兩端還會出現嚴重的交叉、聚集和扭卷現象，一組轉速和導葉開度可能會對應多個單位流量值，導致無法通過插值計算M11和Q11。所以為了克服水泵水輪機的反“S”特性，學者們提出了一些數值變換的方法[16]，本文采用對數投影法。對于流量和力矩特性曲線，縱坐標不變，只是對其中的單位轉速n11做對數投影。

變換方法如下：

將單位轉速投影成x11后，可解決插值計算多值問題。

1.3 分數階PID控制器模型

分數階PID控制器是傳統整數階PID控制器的廣義化形式，其傳遞函數為：

其中，e為控制偏差；u為控制器輸出；Kp、Ki和Kd為增益參數；為積分階次；為微分階次。

圖1 抽水蓄能機組水泵水輪機調節系統框圖

2 模糊引力搜索算法（FGSA）

2.1 引力搜索算法（GSA）

現在，考慮一個D維搜索空間中有N個粒子，定義第i個粒子的位置為：

其中，t為迭代次數；fi(t)表示粒子i的適應值，即目標函數值。對于極小化問題，

粒子i受到來自粒子j的引力為：

其中，粒子i和粒子j之間的距離可用歐拉距離表示，是一個很小的常量；表示引力常數。

G0為引力常數初值；為衰減指數；T為最大迭代次數。為了增加算法的隨機特性，定義第i個粒子所受合力為其他粒子對其引力的隨機加權和：

其中，randj是[0,1]之間的隨機數。根據牛頓第二定律，物體的加速度與物體所受的力成正比，與物體的慣性質量成反比：

其中，Mi是粒子i的慣性質量。粒子的位置和速度更新為：

其中，randi是[0,1]之間的隨機數。

2.2 引力衰減指數的模糊推理

從GSA理論可知，引力常數G在粒子加速度的計算中起著至關重要的作用，而引力衰減指數又影響G的變化速度。當值較大時，G以很快的速度下降，算法的收斂速度加快，反之當值較小時，常量以較慢速度下降，算法的收斂速度變緩。因此是引力搜索算法的關鍵因子，而普通GSA算法中為常數，無疑限制了算法性能的發揮。為了平衡算法的全局和局部搜索能力，在算法前期值要較小，防止算法陷入局部最優值；在算法后期，值要較大，加快算法的收斂速度，提高最優解精度。

其中，i=1,…,m, 本文取m=4。模糊子集集合A={L, ML, MH, H}，輸入變量的隸屬度函數采用三角函數，對應的三角函數參數為L:[0,0.2]，ML:[0,0.4,0.8]，MH:[0.2,0.6,1]，H:[0.8,1]。輸入變量隸屬度函數如圖2所示。

圖2 輸入變量隸屬度函數

本文中模糊控制采用中心平均解模糊法，令模糊推理輸出向量為即：

以T=50，為例，經模糊推理后引力常數衰減指數變化過程和對應的引力常G數變化過程如圖3和圖4所示。圖3和圖4顯示，采用模糊推理后，變化規律有明顯的變化，更符合不同搜索階段要求。

圖3 迭代次數T與的關系

圖4 迭代比例與G的關系

2.3 FGSA算法流程

本文提出的FGSA算法在GSA算法基礎上，運用模糊推理自適應調整引力常數衰減指數，通過修正引力常數變化規律，在搜索前期引力相對較大，使得粒子具有較大加速度，搜索范圍更廣，有利于跳出局部極值點；在搜索后期，引力常數相對較小，使得粒子加速度相對變小，進入細搜索階段，有利于得到最優解。綜上所述，算法流程如圖5所示。

圖5 基于模糊控制的萬有引力搜索算法流程

3 基于FGSA的FOPID參數優化

3.1 目標函數

采用常用的離散形式ITAE指標最為控制參數優化的目標函數，其定義為：

其中，xref為參考頻率值；x為頻率響應曲線；Ns為采樣點數；Ltime為時間序列。ITAE指標越小，對應的動態響應效果越好。

3.2 參數優化流程

運用FGSA優化PID控制參數，其優化變量為控制參數。以FOPID控制參數優化為例，優化變量用向量表達為在優化過程中，優化變量映射為FGSA中的粒子位置向量，向量維數D=5。FGSA優化FOPID控制參數具體步驟如下：

Step 1：算法初始化。設置算法參數，包括群體規模N、最大迭代次數T、引力常數初值G0、衰減指數初始值0；確定優化控制參數范圍在此區間初始化群體位置初始化歷史最優適應度值fopt和最優解Xopt，設置迭代次數t=0；

Step2：計算當前迭代比例及隸屬度函數值；

Step3：按照式(13)和式(14)更新值；

Step4：按照式(15)計算粒子適應度

Step5：求出群體最優目標函數值和對應的粒子位置如果則

Step 6：依據式(6)計算粒子質量依據式(7)-(9)計算粒子引力依據式(10)計算加速度

Step 7：依據式(11)更新粒子速度和位置；

Step 8：t=t+1；如果t

4 實例研究

本文以某抽水蓄能電站機組調節系統為研究對象，按照前文建模方法建立水泵水輪機調節系統仿真模型，進行不同水頭下空載開度頻率擾動試驗。該仿真模型控制器可設置為PID控制或FOPID控制。該抽水蓄能電站的最大水頭217m，額定水頭195m。本文選擇205m和210m兩種水頭進行空載頻率擾動仿真試驗，頻率擾動值為+2Hz。分別采用不同的優化算法對PID和FOPID控制器參數進行優化，并比較PSO-PID、PSO-FOPID、GSA-FOPID、FGSA-FOPID四種組合策略的控制效果。

PSO參數設置為：群體規模N=20，最大迭代次數T=100，控制參數c1=2，c2=2，動態權重從1到0線性遞減；GSA參數設置為：N=20，T=100，G0=20，α=6；FGSA參數設置為：N=20，T=100，G0=20，α0=6。不同組合策略的和控制指標結果對比見表2～表3；機組頻率的動態響應曲線對比如圖6～圖7所示；適應度函數值的迭代過程曲線如圖8～圖9所示。

表2 FOPID與PID不同算法空載頻率擾動控制參數和品質對比（水頭205m）

表3 FOPID與PID不同算法空載頻率擾動控制參數和品質對比（水頭210m）

圖6 空載工況+2Hz頻率擾動下的頻率動態響應（水頭205m）

圖7 空載工況+2Hz頻率擾動下的頻率動態響應（水頭210m）

圖8 空載工況+2Hz頻率擾動下的適應度收斂曲線(水頭205m)

圖9 空載工況+2Hz頻率擾動下的適應度收斂曲線(水頭210m)

從試驗結果可以看出，對比不同水頭下的結果可以發現，各控制策略在205m水頭試驗得到的控制指標普遍劣于210m水頭指標，說明抽水蓄能機組低水頭更難穩定，這與水泵水輪機的反“S”特性有關。對比PSO-PID和PSO-FOPID結果，可以發現兩種水頭試驗中，FOPID控制效果均優于PID控制，穩定時間和超調量等控制指標提升明顯，說明FOPID在抽水蓄能機組控制中具有更好的應用前景。

對比GSA-FOPID和FGSA-FOPID結果，可以發現FGSA優化效果優于GSA，驗證了FGSA在控制參數優化中的優異性能。對比PSO、GSA和FGSA的迭代收斂過程，可以發現FGSA尋優能力和收斂性能更佳。

5 結論

針對抽水蓄能機組的控制問題，利用FOPID控制對于非線性控制對象具有適用性的特點，本文在抽水蓄能機組控制中引入了FOPID控制，并提出了一種模糊引力搜索算法對控制參數進行優化。通過仿真試驗結果的對比分析，初步得到如下結論：

（1）仿真試驗表明FOPID比PID更適合抽水蓄能機組控制，能有效提升機組低水頭控制品質；

（2）通過模糊推理自適應調整引力常數衰減系數，有效提高了FGSA的優化能力，在控制參數優化中取得了較好效果；

（3）本文提出的FGSA-FOPID組合控制策略能有效提升抽水蓄能機組的控制品質，具有較好的工程應用前景。

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Study on Fractional Order PID Control and Parameter Optimization of Pumped Storage Unit

CAO Jian, LI Chaoshun, ZHANG Nan, ZENG Tan, CHEN Haibing, ZHU Yaowei
(School of Hydropower and Information Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

Because of the complex structure, complicated operation modes and frequently switching of operating conditions, the pumped storage unit (PSU) is easily tends to fall into the “S”feature area. Compared to conventional hydroelectric generating unit, it faces more stability problemsand risk of deteriorating the power supply quality and stability of the entire grid. Respect to the disadvantages of PID control on PSU, this paper proposed fractional PID (FOPID) control and corresponding parameter optimization method. In order to improve the effectiveness of parameter optimization of FOPID control, a fuzzy gravitational search algorithm (FGSA) is proposed. In the searching process, the FGSA tunes the gravitational attenuation index adaptively by fuzzy inference. By controlling the value of the gravitational constant, the exploration and exploitation of the algorithm can be adjusted dynamically as to improve the ability of the algorithm to optimize parameters. An actual pumped storage power station unit is taken into consideration in our country. Based on comparisons of the control strategies combined of different optimization methods and PID control rules, it’s found that the proposed FGSA-FOPID control strategy can effectively improve the dynamic performance of pumped storage unit regulating system under unload condition with speed disturbance.

pumped storage unit; fractional PID; parameter optimization; fuzzy gravitational search algorithm; unload condition

TK730.4+1

A

1000-3983(2016)02-0050-07

2015-04-01

曹健(1994-)，華中科技大學在校本科，主要從事水電機組建模、仿真與控制方面的研究工作。

審稿人：樸秀日

國家自然科學基金（51479076），中央高校基本科研業務費（2015QN214）