漸開線函數表的程序化處理

王文革 趙龍

漸開線函數表的程序化處理

王文革 趙龍

（山東科技職業學院 濰坊 261053）

采用牛頓迭代法對齒輪漸開線函數表進行程序化處理，把反漸開線函數的求值過程編制成子程序，可避免查閱漸開線函數表，這樣在用計算機編制程序對齒輪進行優化設計和齒形加工進行有關數值計算時可以直接調用，本程序用VisualBasic語言編制。

漸開線函數表；程序化；牛頓迭代法；VisualBasic語言

在齒輪設計、加工過程中經常用到齒形漸開線函數θ=tgα-α，其中θ為齒形曲線上某點對應的漸開線展角，α為該點的壓力角，漸開線函數θ=tgα-α為超越函數，不能通過普通計算求值，特別是已知展角θ求壓力角α的情況，因此，一般的機械設計資料都提供漸開線函數表，方便使用者查閱，對表中沒有的數據要進行插值計算，精度與效率都比較低。在用計算機編程對齒輪傳動優化設計或齒形加工進行有關計算時，查表法更是限制了程序的編制，因此有必要對漸開線函數表進行程序化處理，方便編制程序對齒輪優化設計和進行齒形數值計算。

1 漸開線函數性質研究

1.1 函數構造及有解判斷

對于已知展角θ（θ=θ0θ0為大于零的已知數）求壓力角α，根據漸開線函數得到θ0=tgα-α，為此構造函數f（α）=tgα-α-θ0，則在f（α）=0時的自變量值即為所求的壓力角α值，根據壓力角的定義和正切函數的定義域和值域可知f（α）的定義域為[0，π/2），值域為[-θ0，+∞），所以f（α）=tgα-α-θ0的圖像與 x軸有交點，即方程 tgα-α-θ0=0 有解。

1.2 f（α）的單調性研究

對f（α）求一次導數得到f′（α）=1/cos2α-1，在α∈[0，π/2]范圍內，可知f′（α）≥0，所以f（α）為單調遞增函數，結合前述1可知α有唯一解。

1.3 f（α）的凸凹性研究

對f′（α）=1/cos2α-1繼續求導數得到f″（α）=2sinα/cos3α，在α∈[0，π/2）范圍內，可知f″（α）≥0，所以f（α）為凹函數。

1.4 f（α）圖像形態研究

綜合前面1、2、3的結論可知在α∈[0，π/2）范圍內，f（α）的圖像為一條與x軸有交點的單調遞增凹曲線，如圖1所示。

圖1

2 α0值求解方法

2.1 迭代規則

對于如圖1所示的函數圖像可用牛頓迭代法求f（α）=0時的自變量α0值，如圖2在曲線上取一點，作為迭代起始點，過該點作f（α）的切線與橫軸交于（αi+1，0）點，過（αi+1，0）點作垂直線與f（α）交于（αi+1，f（αi+1，0）），過該點再做切線，得到新的交點（αi+1，0），如此重復，則αi+1值就無限接近于所求的α0，根據幾何關系（如圖2所示）迭代公式為：αi+1=αi-f（αi）/f'（αi），設定f（αi+1）＜j時迭代終止，j為預先給定的小正數。

2.2 迭代起始點的確定

圖2

從圖 2 可以看出，迭代起始點（α1，0）必須在（α0，0）的右側，即必須有α1＞α0，迭代才能順利進行，可以通過驗算是否有f（α1）＞0判斷α1＞α0是否成立，起始點的具體確定可采用二分法，首先取區間[0，π/2）的中點π/4，驗算f（π/4）＞0是否成立，如果成立，以（π/4，f（π/4））點為迭代初始點，如果不成立取區間[π/4，π/2）的中點繼續驗算，直到找到f（α＞0）的點作為迭代起始點。

3 使用說明

（1）展角θ以10進制數輸入。

（2）迭代終止精度以一個接近于零的小正數表示，根據程序使用實踐，當迭代精度j=10-4時計算結果精度已超過查表精度；當終止精度j=10-8時，因f′（α）=1/cos2α-1趨近于零，αi+1=αi-f（αi）/f′（αi）會發生溢出從而出現卡機現象，所以，程序運行使用時可輸入10-4-10-7間的小正數作為迭代終止條件，為防止誤輸入造成卡機，在輸入精度后加入了一條判斷語句：“If j＜=0.0000001 Then j=0.0000001”即 j值過小或錯誤輸入時，程序自動設定迭代精度為j=10-7。

（3）壓力角α以10進制度數、度分秒和弧度三種方式輸出，重新計算時，精度值可重新輸入，也可使用原精度值。運行界面及結果如圖3所示。

圖3

[1]林卓然.VisualBasic程序設計教程[M].北京：電子工業出版社，2004.

[2]鄭文緯，等.機械原理[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3]黃家驤.優化方法與機械優化設計[M].廣州：華南工學院出版社，1986.

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1004-7344（2016）33-0282-01

2016-11-13