齒輪傳動雙轉子固有頻率影響因素分析

車永強，王　　鑫，呂海禎，劉　　歡，張善鵬

齒輪傳動雙轉子固有頻率影響因素分析

車永強1，王鑫1，呂海禎1，劉歡1，張善鵬2

（1.國網山東省電力公司電力科學研究院，濟南250003；2.山東中實易通集團有限公司，濟南250003）

根據有限元法，應用MATLAB軟件，考慮彎扭耦合振動，建立齒輪—轉子五自由度運動模型，通過求解系統運動微分方程，分析了齒輪嚙合剛度、齒輪傳動比和軸承剛度對齒輪—轉子系統固有頻率的影響。

齒輪傳動雙轉子；齒輪嚙合剛度；軸承剛度；傳動比；固有頻率

0　引言

齒輪傳動是旋轉機械中應用最廣泛的傳動機構，它工作可靠、傳動比恒定，能滿足現代工業高速度大功率傳動的要求［1］。因此，齒輪傳動的轉子系統獲得了廣泛的應用并已成為轉子系統中重要的一類傳動。

齒輪傳動雙轉子系統，既有彎曲振動，又有扭轉振動。由于轉子之間的齒輪嚙合作用，各轉子的彎振和扭振產生了耦合，各轉子的振動也不再相互獨立，而是相互影響、相互制約的，齒輪、軸承和轉子已成為系統不可分割的組成部分。因此在分析帶齒輪的高速旋轉機械時，應該考慮齒輪的嚙合作用，并把齒輪副作為轉子系統的一部分來進行動力特性分析［2］。

應用MATLAB軟件，考慮彎扭五自由度，推導軸單元、圓盤單元、齒輪副單元和軸承單元的運動微分方程，耦合得到齒輪—轉子的運動微分方程，通過求解該微分方程，研究齒輪嚙合剛度、齒輪傳動比和軸承剛度對齒輪-轉子系統固有頻率的影響。

1　齒輪傳動雙轉子模型

圖1為齒輪傳動的雙轉子系統結構示意圖，圖中轉子1為主動轉子，轉子2為被動轉子，兩轉子之間通過齒輪副連接。該齒輪傳動轉子模型結構參數見表1、表2。應用轉子動力學的有限元理論，將該模型離散成為軸承、軸、圓盤、齒輪副等單元，在每個單元上設置一定節點，單元與單元之間通過節點連接。對于軸單元，設置2個節點，分別位于軸單元的兩個端點；對于圓盤單元，設置1個節點，位于圓盤的中心；對于軸承單元，設置1個節點，位于軸頸中心。然后對每個單元進行分析，得到各單元的運動微分方程，最后通過廣義坐標，將所有單元的運動微分方程組合到一起。

圖1　　齒輪傳動的渦輪—發電機系統結構

表1　系統各軸段的長度和直徑

表2　　系統齒輪、圓盤、軸承結構參數

考慮系統的彎扭耦合振動［4］，每個節點都有2個平動、2個彎曲、1個扭轉共5個自由度，則該節點的廣義坐標可以表示為式中：x、y、θx、θy為x、y方向的平動位移和彎角；φ為軸向的扭角。

應用拉格朗日方程，得到各單元的運動微分方程［3］，然后組合，得到了齒輪—轉子系統的運動微分方程

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；F為廣義力矩陣。

2　　轉子系統模態分析

轉子臨界轉速是指與轉子及其支承系統的橫向或扭轉振動固有頻率相同的轉速。轉子在臨界轉速附近工作時，轉軸會產生很大的撓度或扭轉角，同時發生強烈振動，使機件破壞。轉子在遠離臨界轉速運轉時，振幅很小，工作平穩可靠［5］。只有避開轉子的臨界轉速才能保證轉子穩定運行。所以計算臨界轉速具有重要的意義。

計算轉子的臨界轉速，實際上就是求微分方程的齊次解，此時系統的廣義力F不予考慮，可認為0，由方程（2）得，單轉子系統的運動微分方程的齊次式為

方程（3）是一個二階運動微分方程，可以通過變換將其轉化為一階運動微分方程，引入狀態向量

則方程（3）可變換為

式中：0和I分別為0矩陣和1矩陣，且大小等于整體質量矩陣。

降階后的方程（5）為一階齊次運動微分方程，A為特征矩陣。通過求解特征矩陣A的特征值就可以得到齒輪—轉子系統的臨界轉速［6］。應用MATLAB軟件求解特征矩陣A的特征值和特征向量，得到的都是復數，包含實部和虛部。其中，特征值的虛部代表的是某一轉速下齒輪—轉子系統的同步渦動頻率，包括彎振固有頻率和扭振固有頻率；特征值的實部代表系統的穩定性。特征向量也分彎振和扭振，與彎振對應的特征向量的實部和虛部，分別代表x、y方向的振幅，與扭振對應的特征向量的虛部，代表沿軸向的扭角。

同時，為準確區分轉子的彎振固有頻率和扭振固有頻率，需要做出Campbell圖。Campbell圖是一種用來判斷轉子工作時是否出現共振，以確定轉子出現共振的頻率和階次、共振轉速和激勵源的工程解法。Campbell圖中橫軸代表轉子系統的轉速、縱軸代表彎振和扭振固有頻率，Ω=ω的斜線表示轉子轉速等于渦動轉速。如果Ω=ω線和固有頻率線相交，表示可能會發生共振。在Campbell圖中，當考慮系統的陀螺力矩時，彎振的正向渦動線與反向渦動線成對出現；不考慮系統的陀螺力矩時，彎振的正向渦動線與反向渦動線重合，為一水平直線。而陀螺力矩對扭振沒有影響，因此扭振渦動線始終表現為一條水平直線。

3　固有頻率影響因素分析

齒輪傳動雙轉子的不平衡響應最大振幅波峰一般發生在齒輪—轉子系統的各階彎振固有頻率和扭振固有頻率處，因此，關注對齒輪—轉子系統的彎振固有頻率和扭振固有頻率的影響因素，更有實際意義。

3.1齒輪嚙合剛度的影響

齒輪嚙合剛度是指齒輪嚙合時輪齒抵抗變形的能力。嚙合剛度直接影響齒輪副單元的剛度，從而影響齒輪—轉子系統的固有頻率。為分析齒輪嚙合剛度對系統固有頻率的影響，通過改變嚙合剛度，數量級從102到1016，分別做出了對應的彎振固有頻率和扭振固有頻率的Campbell圖。圖2給出的是隨齒輪嚙合剛度變化的齒輪—轉子系統扭振固有頻率變化圖；圖3給出的是隨齒輪嚙合剛度變化的齒輪—轉子系統彎振固有頻率變化圖。

圖2　　扭振固有頻率—齒輪嚙合剛度圖

圖3　　彎振固有頻率—齒輪嚙合剛度圖

從圖2看出，隨著齒輪嚙合剛度的增加，系統的扭振固有頻率也在增大。這是因為齒輪嚙合剛度的增加，提升了齒輪—轉子系統的整體扭轉剛度，系統的各階扭振固有頻率也就隨之增大。其中1階扭振固有頻率的增幅最大，說明系統的1階扭振固有頻率對嚙合剛度最敏感。但當嚙合剛度增大到108以后，所有扭振固有頻率不再變化，都表現為一條水平直線，這是因為此時的齒輪嚙合剛度已經遠高于系統本身的剛度，齒輪嚙合剛度對系統的影響已趨于穩定。從圖3看出，隨著齒輪嚙合剛度的變化，系統彎振固有頻率幾乎沒有變化。這說明齒輪嚙合剛度主要影響的是系統扭振固有頻率，而對系統彎振固有頻率則沒有影響。

3.2齒輪傳動比的影響

圖4（a）和圖4（b）分別給出了傳動比為1和10時，隨轉速增加，系統彎振固有頻率和扭振固有頻率的變化曲線。對比兩圖可以發現，齒輪傳動比的不同，并不影響扭振渦動線，即始終為一條水平直線，而部分彎振渦動線變化較大，另一部分彎振渦動線基本不變，尤其在傳動比為10時，正向渦動線與反向渦動線更加偏離。

圖4　　不同傳動比下的系統Campbell圖

齒輪傳動比的改變，實際上是改變了從動轉子2的工作轉速，從而改變了轉子2的陀螺效應，對轉子2影響更大；而轉子1的轉速和陀螺效應并沒有變化。那么圖4（a）和圖4（b）中不發生變化的彎振渦動線對應的應該是轉子1，正反向渦動線偏離更大的對應的應該是轉子2。

當主動轉子1轉速為0時，齒輪傳動比的改變，對轉子2的轉速沒有影響，并不會引起系統固有頻率的改變。因此為分析傳動比的影響，假定轉子1的轉速為5 000 r/min，在這個轉速下，通過改變齒輪傳動比，從1/6到10，做出了轉子2的前5階同步正向和反向渦動頻率的變化圖，如圖5所示。

從圖5中可以看出，隨著傳動比的增加，轉子2的同步正向渦動頻率線與同步反向渦動頻率線的偏差越來越大。因此齒輪傳動比的增加，一方面提高了轉子同步正向渦動固有頻率，另一方面減小了轉子同步反向渦動固有頻率。

3.3軸承剛度的影響

為便于分析，所建立的齒輪—轉子系統模型中的4個軸承的剛度數量級一致，均為109N·m-1。通過改變軸承剛度，數量級從102N·m-1到1014N·m-1，分別做出了對應的彎振固有頻率和扭振固有頻率的Campbell圖。圖6為隨軸承剛度變化，齒輪—轉子系統在同步渦動線上的彎振固有頻率變化圖；圖7為隨軸承剛度變化，系統的扭振固有頻率變化圖。

圖5　　轉子2的前5階渦動頻率隨傳動比的變化

從圖6中可以看出，當軸承剛度為102～108區間時，隨軸承剛度的增加，系統的彎振固有頻率也增加，這是因為軸承剛度的增加，提高了齒輪—轉子整個系統的剛度；但當軸承剛度增加到109之后，系統的彎振固有頻率，不再發生變化，趨于穩定，這是因為此時軸承剛度已大于轉子本身的剛度，在這個數量級下，系統的彎振固有頻率較穩定。

從圖7中可以看出，為隨著軸承剛度的增加，系統的扭振固有頻率并沒有發生變化，這是因為，軸承剛度的變化，并不會引起系統扭轉剛度的變化。

圖6　　系統彎振固有頻率—軸承剛度圖

圖7　　系統扭振固有頻率—軸承剛度圖

3.4其他齒輪參數的影響

齒輪參數的改變，影響齒輪嚙合剛度的大小。通過計算發現，在傳動比不變的前提下，改變齒輪的齒數、模數、壓力角、重合度、厚度，會引起齒輪嚙合剛度較小的變化。但由于所建立的齒輪—轉子系統模型的嚙合剛度的數量級為109，在這個數量級下，系統彎振固有頻率和扭振固有頻率都相對較穩定，不會發生太大變化。因此，可以認為齒 為變化的范圍較小，對齒輪嚙合剛度影響很小，可認為對系統固有頻率影響很小。

［1]李良軍.機械設計［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2]李國平.齒輪—軸承—轉子系統振動特性的研究［D］.長春：東北大學，2005.

［3]車永強，徐靜霞，錢小東，等.齒輪傳動轉子系統彎扭耦合振動研究［J］.機電工程，2012，29（6）：632-635，649.

［4]蔣慶磊，吳大轉，譚善光，等.齒輪傳動多轉子耦合系統振動特性研究［J］.振動工程學報，2010，23（3）：254-259.

［5]鐘一諤.轉子動力學［M］.北京：清華大學出版社，1987.

［6]韓玉強，石守紅，張鎖懷.齒輪耦合對轉子-軸承系統固有特性的影響［J］.機械科學與技術，2003，22（1）：66-70.

Influencing Factors Analysis on the Natural Frequency of Geared Double Rotor System

CHE Yongqiang1，WANG Xin1，LV Haizhen1，LIU Huan1，ZHANG Shanpeng2
（1.State Grid Shandong Electric Power Research Institute，Jinan 250003，China；
2.Shandong Zhongshi Yitong Group Co.，Ltd.，Jinan 250003，China）

Based on the finite element method of MATLAB software，5 degree freedom motion model of the gear-rotor is established considered coupled bending and torsional vibration.By solving differential equations of motion，the influence of the gear mesh stiffness，gear ratio and bearing stiffness on the natural frequency of the gear rotor system is analyzed.

geared double rotor；gear mesh stiffness；bearing stiffness；gear ratio；natural frequency

TH132.4

B

1007-9904（2016）06-0056-04

2016-02-22

車永強（1986）男，從事汽輪機節能與熱試研究工作。