輔助函數(shù)在高職數(shù)學(xué)微分教學(xué)中的應(yīng)用

楊文貴 趙青波

（三門(mén)峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，河南 三門(mén)峽 472000）

輔助函數(shù)在高職數(shù)學(xué)微分教學(xué)中的應(yīng)用

楊文貴 趙青波

（三門(mén)峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部，河南 三門(mén)峽 472000）

高職院校的學(xué)生的基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力相對(duì)來(lái)說(shuō)比較差，然而微分知識(shí)在高職數(shù)學(xué)教學(xué)又非常重要，那么教師就必須采用一定手段。在本文中主要介紹輔助函數(shù)在高職數(shù)學(xué)微分教學(xué)中的應(yīng)用，通過(guò)已知的微分中值定理，解決一些對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)較為困難的問(wèn)題。

高職數(shù)學(xué)；微分；輔助函數(shù)

由于高職院校的學(xué)生的基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力相對(duì)來(lái)說(shuō)比較差，然而微分知識(shí)的高職數(shù)學(xué)教學(xué)又非常重要，在高職微分一些知識(shí)教學(xué)中，如果教師采用直接講授方法進(jìn)行講授的話(huà)，學(xué)生可能無(wú)法接受，所以教師必須采取一些新的教學(xué)方法，進(jìn)行深入淺出地講解。

在這篇論文中，主要介紹利用微分中值定理來(lái)解決一些對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)較為困難的問(wèn)題。微分中值定理又稱(chēng)為微分學(xué)基本定理，包含羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）中值定理等三個(gè)微分中值定理。微分中值定理是微積分教學(xué)中的核心內(nèi)容，在教學(xué)上對(duì)學(xué)生有較高的要求，由此可見(jiàn)，微分中值定理在微分教學(xué)中的重要性。對(duì)于我們高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，盡管不要求他們能夠掌握住定理的證明，但是高職學(xué)生也應(yīng)該了解它們，并掌握住它們的一些應(yīng)用。

目前，存在的文獻(xiàn)中關(guān)于構(gòu)造輔助函數(shù)的應(yīng)用主要是針對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生和本科院校的工科學(xué)生，據(jù)我了解，針對(duì)于高職學(xué)生的，還沒(méi)有相關(guān)的文獻(xiàn)。所以，本文針對(duì)高職數(shù)學(xué)所做的輔助函數(shù)構(gòu)造的應(yīng)用是新的，也是對(duì)于以前的文獻(xiàn)的很好補(bǔ)充。輔助函數(shù)即是輔助解決問(wèn)題所用的函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是在講授一元函數(shù)微分中值定理之后出現(xiàn)的一種重要方法，在文獻(xiàn)中從不同角度進(jìn)行了論述，對(duì)于微分中值定理證明中關(guān)于輔助函數(shù)的做法也進(jìn)行了討論。微分中值定理的理解和應(yīng)用是教學(xué)中的難點(diǎn)，因此如何應(yīng)用中值定理證明一些問(wèn)題也給一些教師和學(xué)生帶來(lái)不少困惑，本文通過(guò)例子總結(jié)一下在教學(xué)過(guò)程中做輔助函數(shù)的一些體會(huì)，希望能引起同行的共鳴。

本文將分為三個(gè)部分進(jìn)行論述：第1部分：為了方便后面的論述，我們將給出三個(gè)微分中值定理。第2部分：我們將介紹利用微分中值定理和構(gòu)造一些合適輔助函數(shù)，來(lái)證明一些等式問(wèn)題。在第3部分：通過(guò)一些簡(jiǎn)單變形，同時(shí)利用微分中值定理和輔助函數(shù)，來(lái)證明一些不等式問(wèn)題。最后，做一個(gè)簡(jiǎn)短的結(jié)論。

一、基本的已知結(jié)論

在這個(gè)部分，我們主要是給出微分的三個(gè)中值定理，幾個(gè)定理在后面的運(yùn)用起到了至關(guān)重要的作用。費(fèi)馬引理：可設(shè)一個(gè)函數(shù)f（m）在點(diǎn)u0處的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是有定義的，并且在f（u0）是有定義的，而且在f（u0）處導(dǎo)數(shù)存在，如果對(duì)于任意的f（u）≤f（u0）或者f（u）≥f（u0），則就有f（u0）=0。函數(shù)y=y（u）是一條連續(xù)的曲線(xiàn)，并且兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值相等，也就是說(shuō)f（m）=f（n），我們可以很容易發(fā)現(xiàn)在函數(shù)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，函數(shù)都有水平的切線(xiàn)，如果記該點(diǎn)為（a，f（a）則就有f'（a）=0現(xiàn)在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)就是：弦MN平行x軸，即弦的斜率為零， 注意：該定理并沒(méi)有說(shuō)明a的具體位置，只是說(shuō)a位于開(kāi)區(qū)間定義域之間某個(gè)位置，（a可以是一個(gè)，也可以是兩個(gè)或者兩個(gè)以上）微分中值定理是微分學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限，在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微，可導(dǎo)的函數(shù)必連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)必不可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)求函數(shù)極限的過(guò)程。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，那就有此函數(shù)為常函數(shù)。推論1 如果在區(qū)間（m，n）上有f'（u）=0，那就有f（u）為一個(gè)常數(shù)。任意兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相同的函數(shù)一定為常數(shù)，此推論的幾何意義就是說(shuō)，斜率都為零的曲線(xiàn)是一條垂直于y軸的直線(xiàn)。推論2 假設(shè)在（m，n）內(nèi)有φ'（x）=φ'（x），則有φ'（x）=φ'（x）+c（c為常數(shù)），此推論的幾何意義就是說(shuō)：φ（x）和φ（x）為兩條平行的曲線(xiàn)。

定理1（羅爾中值定理） 若函數(shù)f滿(mǎn)足如下條件：

（1）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）f在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f'（ξ）=0.

定理2（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)f滿(mǎn)足如下條件：

（1）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）f在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（3）f（a）≠f（b），

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

為了方便起見(jiàn)，我們利用輔助函數(shù)的方法給出拉格朗日中值定理的一個(gè)簡(jiǎn)單證明。首先，我們看到拉格朗日中值定理與羅爾定理的條件就第三條不同。

根據(jù)定理2的條件，我們可以看到，F(xiàn)（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（a）=F（b）。利用羅爾定理，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'（ξ）=0，即有定理2的結(jié)論。

定理3（柯西中值定理）若函數(shù)f滿(mǎn)足如下條件：

（1）f與g都在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，

（2）f與g都在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（3）f'與g'內(nèi)不同時(shí)為零，

（4）g（a）≠g（b），

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

分析 需作一輔助函數(shù)F（x），滿(mǎn)足Rolle中值定理。

證：作輔助函數(shù)

由于f（x）和g（x）都在［a，b］，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（a）=F（b）=0.根據(jù)Rolle中值定理，有

這里必有g(shù)'（ξ）≠0.否則由上式，g'（ξ）=0也必有F'（ξ）=0，從而與定理?xiàng)l件

（3）相矛盾。

二、輔助函數(shù)來(lái)解決一些等式問(wèn)題

主要是構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，使其滿(mǎn)足某一些微分學(xué)（這里主要是微分中值定理）的條件，然后根據(jù)定理可得出結(jié)論，或做些變形得出結(jié)論.

（一）積分法。

例1 設(shè)f（x）可導(dǎo)，試證f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)之間一定有f（x）+f'（x）的零點(diǎn)。

分析 需構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)F（x），使F'（ξ）=f（ξ）+f'（ξ），或者f（ξ）+f'（ξ）是F'（ξ）的一個(gè)因子，而另一個(gè)因子非零，因?yàn)椋踖xf（x）］'=ex［f（x）+f'（x），故可作輔助函數(shù)F（x）=exf（x）。

例2 設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，0＜a＜b

分析

證 作輔助函數(shù)

F（x）=xf（x），G（x）=lnx。由題設(shè)知：F（經(jīng)）與G（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，滿(mǎn)足Cauchy中值定理的條件。

（二）常數(shù)C值法。

關(guān)于a，b，c的輪換對(duì)稱(chēng)式。令b=x（或令a=x或c=x），得輔助函數(shù)

由題設(shè)與證明知：F'（x）在（ξ1，ξ2）滿(mǎn)足Rolle定理，所以結(jié)論得證。不等式的證明是微積分中的常見(jiàn)問(wèn)題之一，在利用單調(diào)性證明不等式問(wèn)題中，通常情況下是將不等式兩邊相減之后的函數(shù)作為輔助函數(shù)。

三、輔助函數(shù)來(lái)解決一些不等式問(wèn)題

在這一部分，我們利用輔助函數(shù)來(lái)解決一些不等式。這些不等式有時(shí)看著比較簡(jiǎn)單，但是如果不采用輔助函數(shù)證明的話(huà)，還是有一定困難的。我們主要是針對(duì)以下兩種形式的不等式，采用輔助函數(shù)進(jìn)行證明。羅爾定理適合于證明導(dǎo)數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值為等式的問(wèn)題，即在點(diǎn)處使得解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到這個(gè)輔助函數(shù)（即原函數(shù)）F（x），使其滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件成立，需要注意的是有些問(wèn)題還需要尋找滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的閉區(qū)間。介紹用逆推法觀(guān)察得到輔助函數(shù)（原函數(shù)）和利用不定積分求出輔助函數(shù)（原函數(shù)）的方法。

（一）通過(guò)簡(jiǎn)單變形，證明柯西中值定理可以仿照拉格朗日中值定理的證明，我們可以選取有方向的線(xiàn)段m的值的函數(shù)f（n）為為一個(gè)輔助的函數(shù)進(jìn)行證明。函數(shù)單調(diào)性的判定定理很容易判斷較為復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性。從函數(shù)的圖形來(lái)看，增函數(shù)就是向上升高的函數(shù)，減函數(shù)就是函數(shù)下降的函數(shù)。從圖形的幾何意義來(lái)說(shuō)，函數(shù)的斜率就是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)為正時(shí)，函數(shù)圖象遞增向上；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時(shí)，函數(shù)的圖象也就隨之走下坡路了。換句話(huà)說(shuō)，函數(shù)的增減性與一階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系十分密切。

（二）不等式兩端行狀比較相似或?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題

例3 證明：eπ＞πe.

這樣的問(wèn)題都是構(gòu)造輔助函數(shù)，再根據(jù)輔助函數(shù)的單調(diào)性，便可得證此類(lèi)命題。

總結(jié)

在本文中，通過(guò)利用微分中值定理和構(gòu)造合適的輔助函數(shù)來(lái)解決了一些高職數(shù)學(xué)中的難題。同時(shí)我們也指出了在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，要根據(jù)題目中的條件來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)的相應(yīng)方法。

［1］劉勇.高等數(shù)學(xué)中的構(gòu)造輔助函數(shù)［J］.黃山學(xué)院學(xué)報(bào).2009 （11）.

［2］李君士.兩個(gè)微分中值定理證明中輔助函數(shù)的多種作法［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).2004 （34）.

［3］劉文武.兩個(gè)微分中值定理證明中輔助函數(shù)作法探討［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與識(shí).2005（35）.

［4］朱崇軍.徐侃.微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造［J］.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2008（22）.

［5］宋振云.陳少元，涂瓊霞.微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造［J］.高師理科學(xué)刊.2009（29）.

［6］鄭建英.高職數(shù)學(xué)［M］.高等教育出版社.2014.

foundation and learning ability of vocational college students is relatively poor， however the differential knowledge in mathematics teaching in higher vocational education is very important.So teachers must use some means， in this paper， mainly introduces the auxiliary function in the differential of higher vocational mathematics teaching should be used.The known differential mean value theorem to solve some of the higher vocational students is difficult problem.

higher vocational mathematics； differential； auxiliary function

G642

A

1671-864X（2016）07-0179-02