數學王國的探索者
——記浙江大學“青年千人計劃”特聘研究員劉東文

本刊記者 杜月嬌

數學王國的探索者
——記浙江大學“青年千人計劃”特聘研究員劉東文

本刊記者 杜月嬌

專家簡介：

劉東文，浙江大學“青年千人計劃”特聘研究員。1987年1月生，安徽人。2002.09～2006.06，中國科學技術大學本科；2006.08～2011.06，香港科技大學博士；2011.08～2012.07，廈門大學助理教授；2012.0～2015.08，康涅狄格大學博士后。2015年9月就聘于浙江大學。主要研究方向是針對抽象調和分析、自守形和表示論做出了若干推廣。兼任美國數學會《數學評論》評論員、德國《數學文摘》評論員。2010年以來發表論文7篇，多次參加國家學術會議，并受邀在韓國高等研究院、日本九州大學、康涅狄格大學、耶魯大學、廈門大學、香港科技大學等地進行學術報告。回國后承擔項目：國家自然科學基金青年科學基金項目“高維adele和算術曲面”（2013～2015）；浙江大學基本科研業務費專項資金項目“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”（2016.1～2017.12）。

2010年8月19日，在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數學家大會上，越南數學家吳寶珠獲得國際數學界大獎——菲爾茨獎。他“通過引入新的代數—幾何學方法，證明了朗蘭茲綱領自守形式中的基本引理”，該成果于2009年被美國《時代》周刊列為年度十大科學發現之一。

“朗蘭茲綱領”“自守形”，同樣的關鍵詞，也出現在浙江大學“青年千人計劃”特聘研究員劉東文的履歷中。29歲的他，“研齡”不長，卻折服于數論之魅力，做好了在自守形和表示論領域內“打持久戰”的準備。

享受“朗蘭茲”的江湖

2002年9月，15歲的劉東文走進中國科學技術大學少年班。“我是安徽人，離中國科學技術大學比較近，恰好我當時也符合少年班的報考條件，就試了一下。”在記者的好奇里，劉東文并沒有講述一個神童的成長故事，只是輕描淡寫地說了幾句。按照少年班的規矩，劉東文在學習了一年的基礎課之后，選擇了基礎數學方向。

“我更喜歡理論一點的東西。”他說，轉而又給記者分析起自己的研究方向。“表示論是一個很寬的理解方向，分支很多。一般來說，表示論其實是通過研究一個對象在另一個空間上的作用來研究對象本身。”這種借力打力的方式，讓劉東文覺得趣味盎然。而自守形則是其中的核心方向，“對每一個素數，比如3，你可以考慮三進制數或者五進制數等。也就是說，對每一個素數，都可以考慮這個素數上對應的李群，以及它的表示。當你把所有素數的表示放在一起，最直接的意義就是可以去考慮這些表示的整體性質，給出一個自守表示，得到一個L函數。我們的目的就是用表示論的方法去研究L函數的性質。”

現在的劉東文，可以清晰直觀地去分析，但當年的他卻只能一步步摸索。2006年6月，劉東文本科畢業，兩個月后，他前往香港科技大學繼續在基礎數學方面深造，師從朱永昌教授。“我真正的數學訓練其實就是在香港科技大學攻讀博士學位那幾年開始的，在朱老師身上學到了很多東西，讓我懂得判別什么樣的數學是好的。”在朱永昌教授的建議下，劉東文選擇了無窮維李群。他在博士論文中研究了一般數域上loop群的拓撲和代數結構，誘導了cuspidal Eisenstein級數，在Godemen條件下證明了常數項的絕對收斂，從而證明了級數本身的幾乎處處收斂性。他們還計算并討論了常數項和傅里葉系數。“一直以來，大家做的都是有限維李群方向，無窮維李群方向的研究人群很少，是屬于比較新的進展。”

眾所周知，Eisenstein級數在自守形理論中起到非常重要的作用。它不僅決定了自守形空間的連續譜，而且還通過取留數可以給出離散譜中所有的非cuspidal表示。另一方面，著名的Langlands-Shahidi方法對Langlands functoriality和拉馬努金猜想都有重要的應用，然而卻只能夠解決有限的幾種情況。為了得到更廣泛的結果，Garland首先提出把Eisenstein級數的理論推廣到無窮維Kac-Moody群上，并對affine Kac-Moody群，也就是所謂loop群在有理數域的情況奠定了基礎。基于Garland的這個想法，近年來關于loop群上的Eisenstein級數理論取得了很多進展，并且在表述論和數論領域吸引了越來越多的注意。為了將來在數論上的應用，首先需要建立嚴謹的理論基礎，那么第一個步驟則是研究loop群上的測度理論和Eisenstein級數的解析性質。在這種背景之下，劉東文在博士期間去挖掘loop群上Eisenstein級數的常數項和傅里葉系數具有非常重要的意義。如果考慮從Borel子群誘導出的Eisenstein級數，那么其常數項由所謂的affine Gindikin-Karpelevich公式給出。在有限維的情況下，Gindikin-Karpelevich公式就是Langlands-Shahidi方法的起點。

“這里面，我們所關心的朗蘭茲綱領，從某種意義上說，是一種大一統理論。會把分析、數論、幾何等數學里不同的分支統一起來，去揭示數學里面一種很普遍的現象，甚至把一些看起來不相關的東西和算術聯系到一起。在有限維的群上，對于Langlands-Shahidi方法，我們能用的例子幾乎都用完了，很難再得到新的結果，所以考慮無窮維的群也是大勢所趨，因為可以有更多的對象可以利用，就會出現一些新的可能性。”劉東文的“可能性”，是回歸到解析性質的研究，進一步對級數本身的絕對收斂證明做出更加細致的分析。借鑒朗蘭茲綱領的技巧，他實現了對常數項和級數本身的比較，最終在一些條件下對一般數域的情況證明了Eisenstein級數的絕對收斂，并且猜測這些條件可以被放寬。這些結果將發表在Transactions of the AMS上。

這只是一個開始，隨著研究的進展，劉東文在和L.Carbone,H.Garland,D. Gourevich,K-H.Lee,S.Miller等人的合作中，把Eisenstein級數理論推廣到了更一般的Kac-Moody群上。“我們在Godemen條件下證明了常數項在Tits cone上是絕對收斂的，并寫出了Gindikin-Karpelevich公式。特別地，對于秩為2的雙曲Kac-Moody群，我們得到了Eisenstein級數本身的收斂性，并證明了cuspidal Eisenstein級數是一個整函數。而對于一般的情形，我們收斂性的問題歸結到關于Kac-Moody代數和秩為3的Frenkel-Feingold代數。另外，我們對有限域上秩為2的Kac-Moody群的Eisenstein級數也做了一些有趣的工作。”他習慣用“有趣”來形容這些在檻外人看來異常艱深的研究，并繼續用朗蘭茲綱領舉例，“著名的費馬大定理就用到了自守形表示，朗蘭茲綱領在其中起到了非常重要的作用。”他認為，這種作用極有創見性，需要去了解很多東西，當不同的分支交叉起來，“你會看到不同的領域是怎樣被統一的”，他很享受這種過程。

能夠應用到“朗蘭茲綱領”的理論非常多，它們圍繞著自守形，形成了一個獨特的“江湖”。劉東文一直在其中探索新的應用，在與Y.Zhu的合作中，他們在更自然的條件下證明了loop辛群上theta函數的絕對收斂，并討論了它的模性質。這項工作發表在Journal of Algebra。受到這一工作的啟發，他們觀察到一些punctured算術曲面上的向量叢的同構類可以用loop群的算術商來刻畫，而定義在這些算術商上的theta函數可以理解為無窮維torus上的線叢的截面，從幾何的觀點給出了loop theta函數的解釋，發表在Mathematical ResearchLetters。而在對loop群結構的研究中，他們分類了典型loop群的共軛類，并發表在Proceedings of the AMS上。

劉東文博士

從算術曲面上尋求突破

上世紀50年代，著名的Tate's thesis中，J.Tate用局部緊群的調和分析理論和adele的語言來研究Hecke L函數的性質，證明了它的解析延拓和函數方程。這一經典工作可以視為現代自守形理論的基礎。而作為局部緊群調和分析理論的另一個代表性的應用，A.Weil引入了Weil指標和Weil表示，給出了二次互反律的解析證明。這些工作對現代表示論的發展產生了無法估量的深遠影響。從數論和算術的觀點來看，經典調和分析理論為整體域，也就是算術曲線的函數域的研究提供了有力的工具。

“我們的想法是希望用解析的方法來研究更高維的算術對象，在二維的情形，也就是算術曲面。”提到這個想法，又要說到Y.Zhu了。依然是與之合作，劉東文將調和分析推廣到非局部緊致交換群，乃至比局部緊致交換群更高一層的范疇上。“類似于它的Ind-Pro范疇，我們把這個范疇叫做LCA（2）。LCA（2）里的對象非常豐富，比如它包含所有的二維局部域。”劉東文介紹。他們將這些對象引入了測度理論和Bruhat-Schwartz函數空間，從而可以進一步定義傅里葉變換。他們也推廣了Weil指標的概念，得到了曲面上的一些二次互反律。“我們猜想，另一個潛在的應用可能會給出算術曲面某種形式的Riemann-Roch定理。”在計劃書里，劉東文認真寫道。

對于一位數學研究者來說，方法是十分重要的，尤其是這種需要代入多個數學分支的研究。劉東文通過代數的方法，利用Milnor K理論和Kato余數同態等工具，在算術曲面上推廣了tame符號，并證明了這些局部定義在K群上的符號滿足若干互反律。在混合特征的情形下，給出了Kato余數同態的具體公式，還發現了它和Contou-Carrere符號的密切聯系，發表在Advances in Mathemtics上。

這些都是對無窮維代數群上自守形的研究，但劉東文并非只抱定無窮維，相反，他對傳統的有限維代數群自守形理論也有所涉獵。對于同樣大小的dual pair酉群來說，從Rallis內積公式得到的zeta積分給出一些自守L函數的中心值，可以進而對志村簇等一些算術對象提供有用的信息。劉東文的一項進展，就是計算了實李群U（2,1）上的某種zeta積分。在計算過程中，他們一方面用joint harmonics來得到Weil表示的矩陣系數，另一方面用Schmid算子、Riemann微分方程和超幾何級數等工具來得到離散級數表示的矩陣系數。其中的公式由離散級數表示的Harish-Chandra參數給出。這是在現有文獻中所沒有出現過的新結果。

做起來會覺得枯燥嗎？當記者在他的講解中忍不住有此一問時，劉東文老老實實地回答：“主要問題不是枯燥，是壓力比較大。”即使研齡不長，他也已經深刻體會到，要做好一項理論研究，需要花費很多時間和精力去做準備，越是難的問題就需要越多的準備，而且還不一定能夠做出結果。“我們要在發表文章的數量和質量之間做選擇，真正做好需要對數學保持比較好的品位，不能為了發表文章就灌水。當然，也不能從一開始就貿然去做一些特別大的問題，這也不現實。確定了自己認為比較重要的方向之后，我們就需要一步步去積累。再龐大的理論系統，都是從一個個細節積累出來的。我要一邊學習，一邊做力所能及的問題，打好基礎。然后在適當的時候去嘗試深入的研究。”

對他來說，這一領域本來就處于起步階段，盡管做出了一些很有意義的成果，并得到越來越多國內外同行的關注，依然有很多的新的問題需要解決。而那廣闊的未知，將是他未來的發展空間。

挖掘潛力股

2011年6月，獲得香港科技大學基礎數學博士學位后，劉東文入聘廈門大學助理教授職位。一年后，遠赴美國康涅狄格大學從事博士后研究，直到2015年9月回國至浙江大學任職。“現在國內的工作環境越來越好，對科研項目的支持力度很大，回來是一個挺好的選擇。而選擇浙大，還有一個個人原因。”劉東文補了一句，“我太太是杭州人”。

新的學年開始，劉東文也在浙江大學基本科研業務費專項資金項目的支持下，開展起“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”研究。

Siegel-Weil公式在上個世紀首先由Siegel和Weil給出，并在后續的工作中被很多表示論和數論的專家推廣到更一般的形式，其中代表性的工作由S.Kudla，S.Rallis, A.Ichino, W.T.G a n，S.Takeda，Y.Qiu，S.Yamana等人給出。loop群的情況目前唯一的結果則由H.Garland和Y.Zhu給出。而他們，正是劉東文的重要合作者。事實上，劉東文此前的工作，也為該項研究提供了必要的工作基礎，而H.Garland和Y.Zhu也在工作中引用了他們的結果。

“我們首先希望把loop Siegel-Weil公式推廣到isotropic正交群的情形。這種情況下，對theta積分的收斂性問題，我們的主要解決方案是分別研究isotropic和anisotropic的部分，利用仿射李代數和李群的結構來計算正交loop群上的軌道積分。我們打算應用A.Weil的方法以及Garland-Zhu的推廣來比較loop Eisenstein級數和loop theta積分，得到它們的求和項的對應關系，從而證明Siegel-Weil公式。”采訪中，劉東文提到了“theta對應和theta提升”問題，希望從局部和整體兩個層面上進行研究，這些都基于A.Braverman和D.Kazhdan所研究的p進制loop群的spherical Hecke代數和Satake同構。

從局部來說，劉東文要考慮的是p進制域上的一對loop辛群和loop正交群。它們的spherical Hecke代數作用在Weil表示的Schwartz函數空間上并且互相交換。通過theta對應，他們將構造這兩個群的Hecke代數之間的同態，并討論其與Satake同構的聯系。在有限維的情形下，這個同態在regularized Siegel-Weil公式的證明里起到重要的作用。劉東文要做的是將其推廣到loop Siegel-Weil公式中。

整體情況時，他要借助的就是從有限維正交群上的尖形式到loop辛群的theta提升了。在經典的情形下，尖自守表示通過一個Witt tower的theta提升在首次出現的時候總是不可約表示。“在loop情形，我們將考慮由有限維首次出現所給出的loop群。”如果通過計算常數項證明出這一點，那么將成為loop群上第一個尖形式的例子，從而對loop自守形式的研究具有非常重要的意義。

“本項目的預期目標包括在國際刊物上發表高水平的SCI學術論文4～5篇，拓展并完善表示論專業的研究團隊和研究方向，培養表示論方向3～5名優秀的博士生與碩士生，提高項目負責人的學術水平，并為申請國家自然科學基金項目提供有力的支持。”項目書上的每一個字都是劉東文對未來的期許和承諾。他一直都清楚自己所做的是非常有潛力的工作。然而，也正是因為如此，才需要面對更大的挑戰。為此，他長期與無限維李群、傳統自守形這兩個領域的專家都保持著合作與交流，香港科技大學朱永昌（博士導師）、康涅狄格大學Kyu-Hwan Lee（博士后導師）、耶魯大學Howard Garland、羅格斯大學Lisa Carbone,Steve Miller、紐約州立大學阿爾巴尼分校Cristian Lenart等，都是他的合作者。當一切在浙江大學重新開始時，他也期望能夠將這種合作精神發揚光大。“希望能夠在回國3年內定期邀請國際專家到浙江大學進行交流訪問，通過與同行互訪并進行學術報告的方式來進行學術研討，互相了解領域內的進展。條件成熟的情況下希望能夠下組織適當規模的國際學術會議，邀請更多的學者共同交流，促進學科的發展。”當然了，路要一步一步走，全新的2016年，劉東文回國后的事業也將全面展開。他已經有了招收研究生的計劃，正如他一直所強調的，一個新的學科方向，需要很多人去共同努力，才能有長足發展。

“從博士畢業到現在，我一直在打基礎，花很長的時間去尋找值得做的問題。這個找問題的過程對我來說很長很長，雖然也發表了一些文章，但是我覺得水平還沒有到。接下來至少要奮斗10 到15年，真正投入到更重要、更有價值的研究中去。”劉東文一語定出了自己未來的基調。