MB8變形鎂合金超聲疲勞試樣解析設(shè)計(jì)

鄧海鵬，　何柏林

(華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 南昌 330013)

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MB8變形鎂合金超聲疲勞試樣解析設(shè)計(jì)

鄧海鵬，何柏林

(華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 南昌 330013)

對(duì)MB8變形鎂合金超聲疲勞試樣進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。為了減小試樣振幅，使試樣產(chǎn)生較少的熱量，減輕冷卻系統(tǒng)壓力的同時(shí)防止試樣產(chǎn)生相變等組織變化，將試樣設(shè)計(jì)成變截面形狀。根據(jù)試樣振動(dòng)位移方程、邊界條件和位移連續(xù)條件推導(dǎo)出試樣諧振長(zhǎng)度與其他尺寸的關(guān)系，計(jì)算出一系列超聲疲勞試樣的尺寸。結(jié)果表明：變截面圓柱和板狀試樣隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度增大，諧振長(zhǎng)度減小，圓弧過(guò)渡半徑增大；對(duì)于無(wú)中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度減小而減??；對(duì)于含有中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M隨著中間等截面段長(zhǎng)度減小而減小。

變形鎂合金；超聲疲勞；試樣；解析計(jì)算

鎂合金作為一種輕質(zhì)結(jié)構(gòu)材料，廣泛應(yīng)用于交通領(lǐng)域等工程結(jié)構(gòu)中。在實(shí)際服役過(guò)程中，很多零部件因承受低幅、高頻循環(huán)載荷的作用，會(huì)發(fā)生超高周疲勞斷裂失效[1-3〗[4-5]。

超高周疲勞實(shí)驗(yàn)原理與常規(guī)疲勞實(shí)驗(yàn)不同，所采用的試樣形狀尺寸必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格設(shè)計(jì)，使試樣具有特定的固有頻率和振動(dòng)特性。只有嚴(yán)格設(shè)計(jì)的試樣安裝在疲勞試驗(yàn)機(jī)上才能與變幅桿發(fā)生諧振，達(dá)到高頻加載的效果[6-8]；因此，超聲疲勞試樣的正確設(shè)計(jì)是進(jìn)行超聲疲勞試驗(yàn)的重要前提。本工作對(duì)MB8鎂合金圓柱和板狀超聲疲勞試樣進(jìn)行解析設(shè)計(jì)，為MB8變形鎂合金及其他鎂合金超高周疲勞性能實(shí)驗(yàn)研究提供參考。

1　超聲疲勞實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及實(shí)驗(yàn)原理

圖1所示為典型的超聲疲勞縱向拉壓實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要由七個(gè)部分組成，分別為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)、超聲發(fā)生器、換能器、變幅桿、光纖位移傳感器和放大器。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于高頻振動(dòng)超聲疲勞試樣會(huì)產(chǎn)生大量熱量，所以超聲疲勞拉壓實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)還要配備冷卻輔助系統(tǒng)對(duì)試樣進(jìn)行冷卻，冷卻介質(zhì)可以采用壓縮冷凝空氣或水。

超聲疲勞實(shí)驗(yàn)過(guò)程及原理如下：計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)通過(guò)電信號(hào)控制超聲發(fā)生器；超聲發(fā)生器根據(jù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的電信號(hào)將低頻正弦交流電轉(zhuǎn)換成高頻交流電；換能器通過(guò)磁致伸縮作用將高頻交流電轉(zhuǎn)換成高頻機(jī)械振動(dòng)；高頻機(jī)械振動(dòng)通過(guò)固有頻率為20 kHz左右的變幅桿將振動(dòng)位移放大到所需水平；具有20 kHz一階固有頻率的超聲疲勞試樣與變幅桿連接并發(fā)生共振；光纖位移傳感器和放大器檢測(cè)試樣端部振動(dòng)位移、振動(dòng)頻率和振動(dòng)周次。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)高頻電流大小，利用振動(dòng)位移與電流的正比例關(guān)系從而調(diào)節(jié)試樣振動(dòng)位移和應(yīng)力。

2　MB8鎂合金超聲疲勞試樣解析設(shè)計(jì)

固有頻率除了和材料密度和彈性模量等性能有關(guān)外，還與材料的形狀尺寸有關(guān)。為了使試樣獲得20 kHz的一階固有頻率，同時(shí)使試樣中間段應(yīng)力放大，必須對(duì)超聲疲勞試樣進(jìn)行設(shè)計(jì)。下面以MB8變形鎂合金材料為例，對(duì)圓柱狀和板狀超聲疲勞試樣進(jìn)行解析計(jì)算。為了在相同應(yīng)力下使用小的振幅，減輕試樣發(fā)熱，將圓柱狀和板狀超聲疲勞試樣設(shè)計(jì)成變截面。

圖1　超聲疲勞縱向拉壓實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)[9]Fig.1　Test system of ultrasonic fatigue longitudinal tension and compression[9]

2.1變截面圓柱狀超聲疲勞試樣

2.1.1無(wú)中間等截面段圓柱試樣

圖2　無(wú)中間等截面段圓柱試樣Fig.2　　　　Cylindrical specimen without uniform cross section in the middle

圖2變截面圓柱試樣的一維縱向振動(dòng)方程：

(1)

式中：t為時(shí)間；ρ為試樣材料的密度；S(x)為試樣在x坐標(biāo)下的截面積；u(x,t)為試樣在x坐標(biāo)下的振動(dòng)位移；F(x,t)為試樣在x位置坐標(biāo)下截面所受的力。式(1)中：

(2)

u(x,t)=U(x)*eiwt

(3)

式(2)中Ed為試樣的動(dòng)態(tài)彈性模量；式(3)中U(x)為坐標(biāo)為x位置的振動(dòng)位移幅值；將式(2)，(3)帶入式(1)：

U″(x)+p(x)U′(x)+k2U(x)=0

(4)

式(4)中：

(5)

式(5)中，f為試樣諧振頻率。假設(shè)：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(6)，(7)，(8)，(9)，(10)帶入式(4)中可以解得：

(12)

(13)

式(12)和(13)中，C1,C2,C3和C4是位移方程化成通解后得到的常數(shù)，根據(jù)邊界條件和連續(xù)性條件：

(14)

(15)

式(14)中，A0表示試樣在端部振動(dòng)幅值，可以解得諧振長(zhǎng)度L2為：

(16)

過(guò)渡段曲線(xiàn)方程為：

(17)

將曲線(xiàn)上的點(diǎn)(L1，R2)帶入方程(17)中，可以解得：

(18)

根據(jù)式(13)位移通解U(x)可以求得變截面段應(yīng)變通解：

(19)

上式中：

(20)

由式(19)，可以求得：

εmax=βA0φ(L1,L2)

(21)

σmax=Edεmax=EdβA0φ(L1,L2)

(22)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(23)

(24)

MB8變形鎂合金物理性能及求解L2和R0相關(guān)參數(shù)如下：

Ed=45GPa,ρ=1870kg/m3,f=20kHz

(25)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(16)和式(18)中，可以得到無(wú)中間等截面段的變截面圓柱狀試樣尺寸結(jié)果(見(jiàn)表1)。

表1　無(wú)中間等截面段圓柱試樣計(jì)算結(jié)果

由表1可知：對(duì)于相同R1和R2的無(wú)中間等截面段圓柱試樣，諧振長(zhǎng)度、位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而減小，圓弧過(guò)渡半徑隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而增大。

2.1.2有中間等截面段圓柱試樣

有中間等截面段圓柱試樣如圖3所示。

圖3　有中間等截面段圓柱狀試樣Fig.3　　　　Cylindrical specimen with uniform cross section in the middle

圖3試樣的U(x)通解為:

(26)

U(x)=A0φ

(27)

(28)

式(26)，(27)，(28)中：

(29)

將邊界條件和連續(xù)性條件帶入式(27)中，解得諧振長(zhǎng)度L3為：

(30)

R0計(jì)算結(jié)果為：

(31)

根據(jù)式(26)中U(x)通解，求得最大應(yīng)力σmax：

(32)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)CS和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(33)

(34)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(30)和(31)中，可以得到有中間等截面段的變截面圓柱狀試樣尺寸計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表2)。

表2　有中間等截面段圓柱狀試樣計(jì)算結(jié)果

由表2可知：對(duì)于相同L1，R1和R2的有中間等截面段圓柱試樣，諧振長(zhǎng)度隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而減小，圓弧過(guò)渡半徑隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而增大；對(duì)于相同L2，R1和R2的有中間等截面段圓柱試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長(zhǎng)度的減小而減小。

2.2變截面板狀超聲疲勞板狀試樣

2.2.1無(wú)中間等截面段板狀試樣

對(duì)于圖4無(wú)中間段等截面段板狀試樣有：

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

圖4　無(wú)中間等截面段板狀試樣Fig.4　Plate specimen without uniform cross section in the middle

該類(lèi)型試樣縱向振動(dòng)位移方程：

U″(x)+2αU′(x)+k2U(x)=0

(40)

將已知條件式(35)，(36)，(37)，(38)和(39)帶入式(40)中，求得通解：

U(x)=A0φ(L1,L2)sinh(βx)exp(αx)

(41)

(42)

式(40)中：

(43)

將邊界條件和位移連續(xù)條件帶入式(41)和(42)，可以解得諧振長(zhǎng)度L2為：

(44)

變截面段曲線(xiàn)方程：

(45)

將曲線(xiàn)上的點(diǎn)(L1，b2/2)帶入曲線(xiàn)方程(45)，可以解得：

(46)

根據(jù)式(41)和(42)中U(x)的通解，求得最大應(yīng)力σmax：

(47)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(48)

(49)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(44)和(46)中，可以得到無(wú)中間等截面段的變截面板狀試樣尺寸計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表3)。

表3　無(wú)中間等截面段板狀試樣計(jì)算結(jié)果

由表3可知：對(duì)于相同b1和b2的無(wú)中間等截面段板狀試樣，諧振長(zhǎng)度、位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而減小，圓弧過(guò)渡半徑隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而增大。

2.2.2有中間等截面段板狀試樣

有中間等截面段板狀試樣如圖5所示。

圖5試樣U(x)通解為:

(50)

U(x)=C5exp[(β-α)(x-L1)]+C6

(51)

(52)

上述三式中：

C2=A0βφ

(53)

(54)

(55)

將邊界條件和連續(xù)位移條件帶入到式(50)，(51)，(52)中，解得諧振長(zhǎng)度L3為：

(56)

R0計(jì)算結(jié)果為：

(57)

根據(jù)式(50)，(51)和(52)中U(x)通解，求得最大應(yīng)力σmax：

=Edβkφ(L1,L2,L3)A0

(58)

上式中：

(59)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(60)

(61)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(56)和(57)中，可以得到有中間等截面段的變截面板狀試樣尺寸計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)表4)。

由表4可知：對(duì)于相同L1，b1和b2的有中間等截面段圓柱試樣，諧振長(zhǎng)度隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而減小，圓弧過(guò)渡半徑隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度的增大而增大；對(duì)于相同L2，b1和b2的有中間等截面段圓柱試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長(zhǎng)度的減小而減小。

表4　有中間等截面段板狀試樣計(jì)算結(jié)果

3　結(jié)論

(1)鎂合金熔點(diǎn)和相變溫度低，高頻加載產(chǎn)生的內(nèi)耗會(huì)使試樣溫度急劇升高，引起組織變化。MB8鎂合金超聲疲勞試樣為了減小試樣振幅，使試樣產(chǎn)生較少的熱量，減輕冷卻系統(tǒng)壓力的同時(shí)防止試樣產(chǎn)生相變等組織變化，將試樣設(shè)計(jì)成變截面形狀。變截面試樣可以在較小的振幅下獲得較大的應(yīng)力。

(2)變截面圓柱和板狀試樣隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度增大，諧振長(zhǎng)度減小，圓弧過(guò)渡半徑增大。對(duì)于無(wú)中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過(guò)渡段長(zhǎng)度減小而減小。對(duì)于含有中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長(zhǎng)度減小而減小。

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Design of Ultrasonic Fatigue Specimen of MB8 Wrought Magnesium Alloy by Analytic Method

DENG Haipeng，HE Bolin

(College of Mechanical and Electrical Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

Ultrasonic fatigue specimen of MB8 wrought magnesium alloy was designed by calculation. In order to reduce the vibration amplitude, heat and pressure of the cooling system and also to protect the phase change, the sample was designed into variable cross-section. Based on the vibration displacement equation, boundary condition and displacement continuity condition, the relationship between the resonant length and other dimensions of the sample was derived. A series of size of ultrasonic fatigue specimens was calculated, which provided reference for the research of ultrasonic fatigue test of magnesium alloy. The results show that the resonance length decreases with the increase of the length of transition section, and the arc transition radius increases with the increase of the length of arc transition section.With the decrease of the length of arc transition section, Cs and M decreases for the specimen without uniform cross section in middle. With the decrease of the length of uniform cross section in the middle, Cs and M decreased for the specimen with uniform cross section in the middle.

wrought magnesium alloy；ultrasonic fatigue；specimen；analytic calculation

(責(zé)任編輯：徐永祥)

2015-12-30；

2016-03-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(51365014)；江西省自然科學(xué)基金(20151BAB206007)

鄧海鵬(1992—)，男，碩士，主要從事金屬材料疲勞性能研究，(E-mail)1227871078@qq.com。

10.11868/j.issn.1005-5053.2016.4.009

V216.3

A

1005-5053(2016)04-0064-07